Theorem lvolneatN 40173

Description: No lattice volume is an atom. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolneat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lvolneat.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvolneatN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lvolneatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39948	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		lvolneat.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
4	2, 3	lvolbase 40163	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	2, 5	latref 18464	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
7	1, 4, 6	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
8		lvolneat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	5, 8, 3	lvolnleat 40168	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
10	9	3expia 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑋))
11	7, 10	mt2d 136	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  Basecbs 17236  lecple 17284  Latclat 18454  Atomscatm 39848  HLchlt 39935  LVolsclvol 40078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-proset 18317  df-poset 18336  df-plt 18351  df-lub 18367  df-glb 18368  df-join 18369  df-meet 18370  df-p0 18446  df-lat 18455  df-clat 18522  df-oposet 39761  df-ol 39763  df-oml 39764  df-covers 39851  df-ats 39852  df-atl 39883  df-cvlat 39907  df-hlat 39936  df-llines 40083  df-lplanes 40084  df-lvols 40085

This theorem is referenced by: (None)