Theorem mapssfset 8856

Description: The value of the set exponentiation (𝐵 ↑_m 𝐴) is a subset of the class of functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by AV, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mapssfset	⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapssfset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfset 8855	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = (𝐵 ↑m 𝐴))
2		eqimss2 3993	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = (𝐵 ↑m 𝐴) → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
4		reldmmap 8838	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
5	4	ovprc1 7456	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅)
6		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
7	5, 6	eqsstrdi 3978	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
8	3, 7	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ⟶wf 6533  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-map 8832

This theorem is used by: (None)