Theorem mapssfset 8597

Description: The value of the set exponentiation (𝐵 ↑_m 𝐴) is a subset of the class of functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by AV, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mapssfset	⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapssfset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfset 8596	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = (𝐵 ↑m 𝐴))
2		eqimss2 3974	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = (𝐵 ↑m 𝐴) → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
4		reldmmap 8582	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
5	4	ovprc1 7294	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅)
6		0ss 4327	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
7	5, 6	eqsstrdi 3971	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
8	3, 7	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575

This theorem is referenced by: (None)