Theorem mapssfset 8849

Description: The value of the set exponentiation (𝐵 ↑_m 𝐴) is a subset of the class of functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by AV, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mapssfset	⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapssfset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfset 8848	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = (𝐵 ↑m 𝐴))
2		eqimss2 3997	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = (𝐵 ↑m 𝐴) → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
4		reldmmap 8833	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
5	4	ovprc1 7451	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅)
6		0ss 4358	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
7	5, 6	eqsstrdi 3982	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
8	3, 7	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ⟶wf 6534  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8827

This theorem is referenced by: (None)