Theorem mapssfset 8824

Description: The value of the set exponentiation (𝐵 ↑_m 𝐴) is a subset of the class of functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by AV, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mapssfset	⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapssfset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfset 8823	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = (𝐵 ↑m 𝐴))
2		eqimss2 4006	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = (𝐵 ↑m 𝐴) → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
4		reldmmap 8808	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑m
5	4	ovprc1 7426	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) = ∅)
6		0ss 4363	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}
7	5, 6	eqsstrdi 3991	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵})
8	3, 7	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801

This theorem is referenced by: (None)