Theorem mbfdmssre 42276

Description: The domain of a measurable function is a subset of the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mbfdmssre	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mbfdmssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf1 24217	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
2	1	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		elpmi2 41479	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2108  ∀wral 3136   ⊆ wss 3934  ^◡ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549   “ cima 5551   ∘ ccom 5552  (class class class)co 7148   ↑_pm cpm 8399  ℂcc 10527  ℝcr 10528  (,)cioo 12730  ℜcre 14448  ℑcim 14449  volcvol 24056  MblFncmbf 24207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-pm 8401  df-mbf 24212

This theorem is referenced by:  mbfresmf  43007