Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfdmssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdmssre 40729
Description: The domain of a measurable function is a subset of the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
mbfdmssre (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mbfdmssre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf1 23612 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
21simplbi 485 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3 elpmi2 39933 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
42, 3syl 17 1 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wral 3061  wss 3723  ccnv 5249  dom cdm 5250  ran crn 5251  cima 5253  ccom 5254  (class class class)co 6796  pm cpm 8014  cc 10140  cr 10141  (,)cioo 12380  cre 14045  cim 14046  volcvol 23451  MblFncmbf 23602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-pm 8016  df-mbf 23607
This theorem is referenced by:  mbfresmf  41463
  Copyright terms: Public domain W3C validator