Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfdmssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfdmssre 45988
Description: The domain of a measurable function is a subset of the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
mbfdmssre (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mbfdmssre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf1 25649 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
21simplbi 497 . 2 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3 elpmi2 45203 . 2 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
42, 3syl 17 1 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wral 3060  wss 3950  ccnv 5682  dom cdm 5683  ran crn 5684  cima 5686  ccom 5687  (class class class)co 7429  pm cpm 8863  cc 11149  cr 11150  (,)cioo 13383  cre 15132  cim 15133  volcvol 25488  MblFncmbf 25639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-pm 8865  df-mbf 25644
This theorem is referenced by:  mbfresmf  46727
  Copyright terms: Public domain W3C validator