Theorem mbfdmssre 45988

Description: The domain of a measurable function is a subset of the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mbfdmssre	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mbfdmssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf1 25649	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		elpmi2 45203	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3060   ⊆ wss 3950  ^◡ccnv 5682  dom cdm 5683  ran crn 5684   “ cima 5686   ∘ ccom 5687  (class class class)co 7429   ↑_pm cpm 8863  ℂcc 11149  ℝcr 11150  (,)cioo 13383  ℜcre 15132  ℑcim 15133  volcvol 25488  MblFncmbf 25639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-fv 6567  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-pm 8865  df-mbf 25644

This theorem is referenced by:  mbfresmf  46727