Theorem mbfdmssre 45987

Description: The domain of a measurable function is a subset of the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mbfdmssre	⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Proof of Theorem mbfdmssre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismbf1 25596	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
2	1	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
3		elpmi2 45202	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   ⊆ wss 3931  ^◡ccnv 5664  dom cdm 5665  ran crn 5666   “ cima 5668   ∘ ccom 5669  (class class class)co 7413   ↑_pm cpm 8849  ℂcc 11135  ℝcr 11136  (,)cioo 13369  ℜcre 15119  ℑcim 15120  volcvol 25435  MblFncmbf 25586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-pm 8851  df-mbf 25591

This theorem is referenced by:  mbfresmf  46726