Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem1 44707
Description: Lemma for stoweid 44769. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 14191. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
stoweidlem1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
stoweidlem1.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
stoweidlem1.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
stoweidlem1.6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
stoweidlem1.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
stoweidlem1.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐ด)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)))

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 11213 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
43rpred 13015 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
65nnnn0d 12531 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
74, 6reexpcld 14127 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
82, 7resubcld 11641 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
9 stoweidlem1.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
109nnnn0d 12531 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1110, 6nn0expcld 14208 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„•0)
128, 11reexpcld 14127 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
13 2nn0 12488 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
1413a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1514, 6nn0mulcld 12536 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
164, 15reexpcld 14127 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
172, 16resubcld 11641 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„)
1817, 11reexpcld 14127 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
199nnred 12226 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
2019, 4remulcld 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
2120, 6reexpcld 14127 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
229nncnd 12227 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
233rpcnd 13017 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
249nnne0d 12261 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  0)
253rpne0d 13020 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
2622, 23, 24, 25mulne0d 11865 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ด) โ‰  0)
2722, 23mulcld 11233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
28 expne0 14058 . . . . 5 (((๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰  0 โ†” (๐พ ยท ๐ด) โ‰  0))
2927, 5, 28syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰  0 โ†” (๐พ ยท ๐ด) โ‰  0))
3026, 29mpbird 256 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰  0)
3118, 21, 30redivcld 12041 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
3332rpred 13015 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3419, 33remulcld 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
3534, 6reexpcld 14127 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
3632rpcnd 13017 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3732rpne0d 13020 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
3822, 36, 24, 37mulne0d 11865 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ท) โ‰  0)
3922, 36mulcld 11233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
40 expne0 14058 . . . . 5 (((๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰  0 โ†” (๐พ ยท ๐ท) โ‰  0))
4139, 5, 40syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰  0 โ†” (๐พ ยท ๐ท) โ‰  0))
4238, 41mpbird 256 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰  0)
432, 35, 42redivcld 12041 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
4419, 6reexpcld 14127 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
4544, 7remulcld 11243 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
462, 45readdcld 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
4712, 46remulcld 11243 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โˆˆ โ„)
4847, 21, 30redivcld 12041 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
492, 7readdcld 11242 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
5049, 11reexpcld 14127 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
5112, 50remulcld 11243 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
5251, 21, 30redivcld 12041 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
5346, 21, 30redivcld 12041 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
56 exple1 14140 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค 1)
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค 1)
582, 7subge0d 11803 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค 1))
5957, 58mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)))
608, 11, 59expge0d 14128 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
6127, 6expcld 14110 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
6261, 30dividd 11987 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = 1)
6361addlidd 11414 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
64 0red 11216 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
65 0le1 11736 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 1
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
6764, 2, 21, 66leadd1dd 11827 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
6863, 67eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰ค (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
692, 21readdcld 11242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
705nnzd 12584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
719nngt0d 12260 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐พ)
723rpgt0d 13018 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
7319, 4, 71, 72mulgt0d 11368 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐พ ยท ๐ด))
74 expgt0 14060 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐พ ยท ๐ด)) โ†’ 0 < ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
7520, 70, 73, 74syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
76 lediv1 12078 . . . . . . . . . 10 ((((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))) โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰ค (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ†” (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
7721, 69, 21, 75, 76syl112anc 1374 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰ค (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ†” (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
7868, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
7962, 78eqbrtrrd 5172 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
8022, 23, 6mulexpd 14125 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) = ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
8180oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
8281oveq1d 7423 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
8379, 82breqtrd 5174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
8412, 53, 60, 83lemulge11d 12150 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
85 1cnd 11208 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8623, 6expcld 14110 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
8785, 86subcld 11570 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
8887, 11expcld 14110 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
8922, 6expcld 14110 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
9089, 86mulcld 11233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
9185, 90addcld 11232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
9288, 91, 61, 30divassd 12024 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
9384, 92breqtrrd 5176 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
9489, 86mulcomd 11234 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
9594oveq2d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) = (1 + ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘))))
962renegcld 11640 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
97 le0neg2 11722 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค 1 โ†” -1 โ‰ค 0))
981, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 โ‰ค 1 โ†” -1 โ‰ค 0)
9965, 98mpbi 229 . . . . . . . . . 10 -1 โ‰ค 0
10099a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -1 โ‰ค 0)
1014, 6, 54expge0d 14128 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
10296, 64, 7, 100, 101letrd 11370 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
103 bernneq 14191 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง -1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)) โ†’ (1 + ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘))) โ‰ค ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
1047, 11, 102, 103syl3anc 1371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘))) โ‰ค ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
10595, 104eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) โ‰ค ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
10646, 50, 12, 60, 105lemul2ad 12153 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))))
107 lediv1 12078 . . . . . 6 (((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โˆˆ โ„ โˆง (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„ โˆง (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))) โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) โ†” ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
10847, 51, 21, 75, 107syl112anc 1374 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) โ†” ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
109106, 108mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
11012, 48, 52, 93, 109letrd 11370 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
11185, 86addcld 11232 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
11287, 111mulcomd 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 + (๐ดโ†‘๐‘))) = ((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))))
113112oveq1d 7423 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 + (๐ดโ†‘๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) = (((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
11487, 111, 11mulexpd 14125 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 + (๐ดโ†‘๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) = (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))))
115 subsq 14173 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2)) = ((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))))
11685, 86, 115syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2)) = ((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))))
117 sq1 14158 . . . . . . . . 9 (1โ†‘2) = 1
118117a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) = 1)
11923, 14, 6expmuld 14113 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ ยท 2)) = ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2))
1205nncnd 12227 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
121 2cnd 12289 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
122120, 121mulcomd 11234 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท 2) = (2 ยท ๐‘))
123122oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ ยท 2)) = (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))
124119, 123eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2) = (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))
125118, 124oveq12d 7426 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2)) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))))
126116, 125eqtr3d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))))
127126oveq1d 7423 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
128113, 114, 1273eqtr3d 2780 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
129128oveq1d 7423 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
130110, 129breqtrd 5174 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
13118, 2jca 512 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„))
132 exple1 14140 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)) โ‰ค 1)
1334, 54, 55, 15, 132syl31anc 1373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)) โ‰ค 1)
1342, 16subge0d 11803 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โ†” (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)) โ‰ค 1))
135133, 134mpbird 256 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))))
13617, 11, 135expge0d 14128 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
137 1m1e0 12283 . . . . . . 7 (1 โˆ’ 1) = 0
1384, 15, 54expge0d 14128 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))
139137, 138eqbrtrid 5183 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ 1) โ‰ค (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))
1402, 2, 16, 139subled 11816 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โ‰ค 1)
141 exple1 14140 . . . . 5 ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โˆง (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โ‰ค 1) โˆง (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค 1)
14217, 135, 140, 11, 141syl31anc 1373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค 1)
143131, 136, 142jca32 516 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆง ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค 1)))
14435, 21jca 512 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„))
14532rpgt0d 13018 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ท)
14619, 33, 71, 145mulgt0d 11368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐พ ยท ๐ท))
147 expgt0 14060 . . . . 5 (((๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐พ ยท ๐ท)) โ†’ 0 < ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘))
14834, 70, 146, 147syl3anc 1371 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘))
14964, 19, 71ltled 11361 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐พ)
15064, 33, 145ltled 11361 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
15119, 33, 149, 150mulge0d 11790 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐พ ยท ๐ท))
152 stoweidlem1.8 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐ด)
15333, 4, 19, 149, 152lemul2ad 12153 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ท) โ‰ค (๐พ ยท ๐ด))
154 leexp1a 14139 . . . . 5 ((((๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค (๐พ ยท ๐ท) โˆง (๐พ ยท ๐ท) โ‰ค (๐พ ยท ๐ด))) โ†’ ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
15534, 20, 6, 151, 153, 154syl32anc 1378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
156148, 155jca 512 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 < ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆง ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
157 lediv12a 12106 . . 3 ((((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆง ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค 1)) โˆง ((((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„) โˆง (0 < ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆง ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)))
158143, 144, 156, 157syl12anc 835 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)))
15912, 31, 43, 130, 158letrd 11370 1 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„+crp 12973  โ†‘cexp 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027
This theorem is referenced by:  stoweidlem25  44731
  Copyright terms: Public domain W3C validator