Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem1 45202
Description: Lemma for stoweid 45264. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 14189. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
stoweidlem1.2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
stoweidlem1.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
stoweidlem1.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
stoweidlem1.6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
stoweidlem1.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
stoweidlem1.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐ด)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)))

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 11211 . . . . 5 1 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
43rpred 13013 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
65nnnn0d 12529 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
74, 6reexpcld 14125 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
82, 7resubcld 11639 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
9 stoweidlem1.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
109nnnn0d 12529 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1110, 6nn0expcld 14206 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„•0)
128, 11reexpcld 14125 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
13 2nn0 12486 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
1413a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
1514, 6nn0mulcld 12534 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
164, 15reexpcld 14125 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„)
172, 16resubcld 11639 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„)
1817, 11reexpcld 14125 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
199nnred 12224 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
2019, 4remulcld 11241 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
2120, 6reexpcld 14125 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
229nncnd 12225 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
233rpcnd 13015 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
249nnne0d 12259 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰  0)
253rpne0d 13018 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
2622, 23, 24, 25mulne0d 11863 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ด) โ‰  0)
2722, 23mulcld 11231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
28 expne0 14056 . . . . 5 (((๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰  0 โ†” (๐พ ยท ๐ด) โ‰  0))
2927, 5, 28syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰  0 โ†” (๐พ ยท ๐ด) โ‰  0))
3026, 29mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰  0)
3118, 21, 30redivcld 12039 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
3332rpred 13013 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3419, 33remulcld 11241 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
3534, 6reexpcld 14125 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
3632rpcnd 13015 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3732rpne0d 13018 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
3822, 36, 24, 37mulne0d 11863 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ท) โ‰  0)
3922, 36mulcld 11231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
40 expne0 14056 . . . . 5 (((๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰  0 โ†” (๐พ ยท ๐ท) โ‰  0))
4139, 5, 40syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰  0 โ†” (๐พ ยท ๐ท) โ‰  0))
4238, 41mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰  0)
432, 35, 42redivcld 12039 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
4419, 6reexpcld 14125 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
4544, 7remulcld 11241 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
462, 45readdcld 11240 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
4712, 46remulcld 11241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โˆˆ โ„)
4847, 21, 30redivcld 12039 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
492, 7readdcld 11240 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
5049, 11reexpcld 14125 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
5112, 50remulcld 11241 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„)
5251, 21, 30redivcld 12039 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
5346, 21, 30redivcld 12039 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
56 exple1 14138 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค 1)
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค 1)
582, 7subge0d 11801 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) โ‰ค 1))
5957, 58mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)))
608, 11, 59expge0d 14126 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
6127, 6expcld 14108 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
6261, 30dividd 11985 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = 1)
6361addlidd 11412 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
64 0red 11214 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
65 0le1 11734 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 1
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
6764, 2, 21, 66leadd1dd 11825 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
6863, 67eqbrtrrd 5162 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰ค (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
692, 21readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
705nnzd 12582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
719nngt0d 12258 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐พ)
723rpgt0d 13016 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
7319, 4, 71, 72mulgt0d 11366 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐พ ยท ๐ด))
74 expgt0 14058 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐พ ยท ๐ด)) โ†’ 0 < ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
7520, 70, 73, 74syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
76 lediv1 12076 . . . . . . . . . 10 ((((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))) โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰ค (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ†” (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
7721, 69, 21, 75, 76syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โ‰ค (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ†” (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
7868, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
7962, 78eqbrtrrd 5162 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
8022, 23, 6mulexpd 14123 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) = ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
8180oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
8281oveq1d 7416 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 + ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
8379, 82breqtrd 5164 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
8412, 53, 60, 83lemulge11d 12148 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
85 1cnd 11206 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8623, 6expcld 14108 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
8785, 86subcld 11568 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
8887, 11expcld 14108 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
8922, 6expcld 14108 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
9089, 86mulcld 11231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
9185, 90addcld 11230 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
9288, 91, 61, 30divassd 12022 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
9384, 92breqtrrd 5166 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
9489, 86mulcomd 11232 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘)))
9594oveq2d 7417 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) = (1 + ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘))))
962renegcld 11638 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„)
97 le0neg2 11720 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค 1 โ†” -1 โ‰ค 0))
981, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 โ‰ค 1 โ†” -1 โ‰ค 0)
9965, 98mpbi 229 . . . . . . . . . 10 -1 โ‰ค 0
10099a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -1 โ‰ค 0)
1014, 6, 54expge0d 14126 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
10296, 64, 7, 100, 101letrd 11368 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
103 bernneq 14189 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง -1 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘)) โ†’ (1 + ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘))) โ‰ค ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
1047, 11, 102, 103syl3anc 1368 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐พโ†‘๐‘))) โ‰ค ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
10595, 104eqbrtrd 5160 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘))) โ‰ค ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
10646, 50, 12, 60, 105lemul2ad 12151 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))))
107 lediv1 12076 . . . . . 6 (((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โˆˆ โ„ โˆง (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„ โˆง (((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))) โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) โ†” ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
10847, 51, 21, 75, 107syl112anc 1371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) โ†” ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))))
109106, 108mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท (1 + ((๐พโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
11012, 48, 52, 93, 109letrd 11368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
11185, 86addcld 11230 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1 + (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
11287, 111mulcomd 11232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 + (๐ดโ†‘๐‘))) = ((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))))
113112oveq1d 7416 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 + (๐ดโ†‘๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) = (((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
11487, 111, 11mulexpd 14123 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 + (๐ดโ†‘๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) = (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))))
115 subsq 14171 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2)) = ((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))))
11685, 86, 115syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2)) = ((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))))
117 sq1 14156 . . . . . . . . 9 (1โ†‘2) = 1
118117a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) = 1)
11923, 14, 6expmuld 14111 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ ยท 2)) = ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2))
1205nncnd 12225 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
121 2cnd 12287 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
122120, 121mulcomd 11232 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท 2) = (2 ยท ๐‘))
123122oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ ยท 2)) = (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))
124119, 123eqtr3d 2766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2) = (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))
125118, 124oveq12d 7419 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1โ†‘2) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘2)) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))))
126116, 125eqtr3d 2766 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))) = (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))))
127126oveq1d 7416 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 + (๐ดโ†‘๐‘)) ยท (1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
128113, 114, 1273eqtr3d 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
129128oveq1d 7416 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) ยท ((1 + (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘))) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) = (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
130110, 129breqtrd 5164 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
13118, 2jca 511 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„))
132 exple1 14138 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค 1) โˆง (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)) โ‰ค 1)
1334, 54, 55, 15, 132syl31anc 1370 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)) โ‰ค 1)
1342, 16subge0d 11801 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โ†” (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)) โ‰ค 1))
135133, 134mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))))
13617, 11, 135expge0d 14126 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)))
137 1m1e0 12281 . . . . . . 7 (1 โˆ’ 1) = 0
1384, 15, 54expge0d 14126 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))
139137, 138eqbrtrid 5173 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ 1) โ‰ค (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))
1402, 2, 16, 139subled 11814 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โ‰ค 1)
141 exple1 14138 . . . . 5 ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โˆง (1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘))) โ‰ค 1) โˆง (๐พโ†‘๐‘) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค 1)
14217, 135, 140, 11, 141syl31anc 1370 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค 1)
143131, 136, 142jca32 515 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆง ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค 1)))
14435, 21jca 511 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„))
14532rpgt0d 13016 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ท)
14619, 33, 71, 145mulgt0d 11366 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐พ ยท ๐ท))
147 expgt0 14058 . . . . 5 (((๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐พ ยท ๐ท)) โ†’ 0 < ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘))
14834, 70, 146, 147syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘))
14964, 19, 71ltled 11359 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐พ)
15064, 33, 145ltled 11359 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
15119, 33, 149, 150mulge0d 11788 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐พ ยท ๐ท))
152 stoweidlem1.8 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰ค ๐ด)
15333, 4, 19, 149, 152lemul2ad 12151 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐ท) โ‰ค (๐พ ยท ๐ด))
154 leexp1a 14137 . . . . 5 ((((๐พ ยท ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (๐พ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (0 โ‰ค (๐พ ยท ๐ท) โˆง (๐พ ยท ๐ท) โ‰ค (๐พ ยท ๐ด))) โ†’ ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
15534, 20, 6, 151, 153, 154syl32anc 1375 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘))
156148, 155jca 511 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 < ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆง ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))
157 lediv12a 12104 . . 3 ((((((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โˆง ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค 1)) โˆง ((((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„) โˆง (0 < ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โˆง ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘) โ‰ค ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)))) โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)))
158143, 144, 156, 157syl12anc 834 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘(2 ยท ๐‘)))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) / ((๐พ ยท ๐ด)โ†‘๐‘)) โ‰ค (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)))
15912, 31, 43, 130, 158letrd 11368 1 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘))โ†‘(๐พโ†‘๐‘)) โ‰ค (1 / ((๐พ ยท ๐ท)โ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11245   โ‰ค cle 11246   โˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  2c2 12264  โ„•0cn0 12469  โ„คcz 12555  โ„+crp 12971  โ†‘cexp 14024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025
This theorem is referenced by:  stoweidlem25  45226
  Copyright terms: Public domain W3C validator