Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem1 44651
Description: Lemma for stoweid 44713. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 14187. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem1.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem1.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem1.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
stoweidlem1.6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
stoweidlem1.7 (𝜑𝐴 ≤ 1)
stoweidlem1.8 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 11209 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
43rpred 13011 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12527 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
74, 6reexpcld 14123 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
82, 7resubcld 11637 . . 3 (𝜑 → (1 − (𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
9 stoweidlem1.2 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
109nnnn0d 12527 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
1110, 6nn0expcld 14204 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
128, 11reexpcld 14123 . 2 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
13 2nn0 12484 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
1514, 6nn0mulcld 12532 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
164, 15reexpcld 14123 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
172, 16resubcld 11637 . . . 4 (𝜑 → (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
1817, 11reexpcld 14123 . . 3 (𝜑 → ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
199nnred 12222 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2019, 4remulcld 11239 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ)
2120, 6reexpcld 14123 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
229nncnd 12223 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
233rpcnd 13013 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
249nnne0d 12257 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ 0)
253rpne0d 13016 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2622, 23, 24, 25mulne0d 11861 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝐴) ≠ 0)
2722, 23mulcld 11229 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ)
28 expne0 14054 . . . . 5 (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≠ 0))
2927, 5, 28syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≠ 0))
3026, 29mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≠ 0)
3118, 21, 30redivcld 12037 . 2 (𝜑 → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
3332rpred 13011 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3419, 33remulcld 11239 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
3534, 6reexpcld 14123 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
3632rpcnd 13013 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3732rpne0d 13016 . . . . 5 (𝜑𝐷 ≠ 0)
3822, 36, 24, 37mulne0d 11861 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
3922, 36mulcld 11229 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
40 expne0 14054 . . . . 5 (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
4139, 5, 40syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
4238, 41mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
432, 35, 42redivcld 12037 . 2 (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
4419, 6reexpcld 14123 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
4544, 7remulcld 11239 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
462, 45readdcld 11238 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) ∈ ℝ)
4712, 46remulcld 11239 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ∈ ℝ)
4847, 21, 30redivcld 12037 . . . 4 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
492, 7readdcld 11238 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
5049, 11reexpcld 14123 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
5112, 50remulcld 11239 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) ∈ ℝ)
5251, 21, 30redivcld 12037 . . . 4 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
5346, 21, 30redivcld 12037 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≤ 1)
56 exple1 14136 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ≤ 1)
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1374 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≤ 1)
582, 7subge0d 11799 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (1 − (𝐴𝑁)) ↔ (𝐴𝑁) ≤ 1))
5957, 58mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (1 − (𝐴𝑁)))
608, 11, 59expge0d 14124 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)))
6127, 6expcld 14106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
6261, 30dividd 11983 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = 1)
6361addlidd 11410 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
64 0red 11212 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
65 0le1 11732 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 1)
6764, 2, 21, 66leadd1dd 11823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
6863, 67eqbrtrrd 5170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
692, 21readdcld 11238 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
705nnzd 12580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
719nngt0d 12256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐾)
723rpgt0d 13014 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
7319, 4, 71, 72mulgt0d 11364 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐾 · 𝐴))
74 expgt0 14056 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 · 𝐴)) → 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
7520, 70, 73, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
76 lediv1 12074 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))) → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
7721, 69, 21, 75, 76syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
7868, 77mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
7962, 78eqbrtrrd 5170 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
8022, 23, 6mulexpd 14121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))
8180oveq2d 7419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))))
8281oveq1d 7418 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
8379, 82breqtrd 5172 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
8412, 53, 60, 83lemulge11d 12146 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
85 1cnd 11204 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8623, 6expcld 14106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
8785, 86subcld 11566 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
8887, 11expcld 14106 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℂ)
8922, 6expcld 14106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℂ)
9089, 86mulcld 11229 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
9185, 90addcld 11228 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) ∈ ℂ)
9288, 91, 61, 30divassd 12020 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
9384, 92breqtrrd 5174 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
9489, 86mulcomd 11230 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)) = ((𝐴𝑁) · (𝐾𝑁)))
9594oveq2d 7419 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) = (1 + ((𝐴𝑁) · (𝐾𝑁))))
962renegcld 11636 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
97 le0neg2 11718 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
981, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
9965, 98mpbi 229 . . . . . . . . . 10 -1 ≤ 0
10099a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ≤ 0)
1014, 6, 54expge0d 14124 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝑁))
10296, 64, 7, 100, 101letrd 11366 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ≤ (𝐴𝑁))
103 bernneq 14187 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ (𝐴𝑁)) → (1 + ((𝐴𝑁) · (𝐾𝑁))) ≤ ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)))
1047, 11, 102, 103syl3anc 1372 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + ((𝐴𝑁) · (𝐾𝑁))) ≤ ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)))
10595, 104eqbrtrd 5168 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) ≤ ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)))
10646, 50, 12, 60, 105lemul2ad 12149 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ≤ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))))
107 lediv1 12074 . . . . . 6 (((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ∈ ℝ ∧ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) ∈ ℝ ∧ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))) → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ≤ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) ↔ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
10847, 51, 21, 75, 107syl112anc 1375 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ≤ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) ↔ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
109106, 108mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
11012, 48, 52, 93, 109letrd 11366 . . 3 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
11185, 86addcld 11228 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
11287, 111mulcomd 11230 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁)) · (1 + (𝐴𝑁))) = ((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁))))
113112oveq1d 7418 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) · (1 + (𝐴𝑁)))↑(𝐾𝑁)) = (((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁)))↑(𝐾𝑁)))
11487, 111, 11mulexpd 14121 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) · (1 + (𝐴𝑁)))↑(𝐾𝑁)) = (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))))
115 subsq 14169 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((𝐴𝑁)↑2)) = ((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁))))
11685, 86, 115syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1↑2) − ((𝐴𝑁)↑2)) = ((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁))))
117 sq1 14154 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
118117a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1↑2) = 1)
11923, 14, 6expmuld 14109 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 · 2)) = ((𝐴𝑁)↑2))
1205nncnd 12223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
121 2cnd 12285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
122120, 121mulcomd 11230 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
123122oveq2d 7419 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 · 2)) = (𝐴↑(2 · 𝑁)))
124119, 123eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑁)↑2) = (𝐴↑(2 · 𝑁)))
125118, 124oveq12d 7421 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1↑2) − ((𝐴𝑁)↑2)) = (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))))
126116, 125eqtr3d 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁))) = (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))))
127126oveq1d 7418 . . . . 5 (𝜑 → (((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁)))↑(𝐾𝑁)) = ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)))
128113, 114, 1273eqtr3d 2781 . . . 4 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) = ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)))
129128oveq1d 7418 . . 3 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
130110, 129breqtrd 5172 . 2 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
13118, 2jca 513 . . . 4 (𝜑 → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
132 exple1 14136 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(2 · 𝑁)) ≤ 1)
1334, 54, 55, 15, 132syl31anc 1374 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑(2 · 𝑁)) ≤ 1)
1342, 16subge0d 11799 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑁)) ≤ 1))
135133, 134mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))))
13617, 11, 135expge0d 14124 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)))
137 1m1e0 12279 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
1384, 15, 54expge0d 14124 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑(2 · 𝑁)))
139137, 138eqbrtrid 5181 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 1) ≤ (𝐴↑(2 · 𝑁)))
1402, 2, 16, 139subled 11812 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ≤ 1)
141 exple1 14136 . . . . 5 ((((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ∧ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ≤ 1) ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ≤ 1)
14217, 135, 140, 11, 141syl31anc 1374 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ≤ 1)
143131, 136, 142jca32 517 . . 3 (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∧ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ≤ 1)))
14435, 21jca 513 . . 3 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ))
14532rpgt0d 13014 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐷)
14619, 33, 71, 145mulgt0d 11364 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (𝐾 · 𝐷))
147 expgt0 14056 . . . . 5 (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 · 𝐷)) → 0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁))
14834, 70, 146, 147syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁))
14964, 19, 71ltled 11357 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
15064, 33, 145ltled 11357 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
15119, 33, 149, 150mulge0d 11786 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝐷))
152 stoweidlem1.8 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐴)
15333, 4, 19, 149, 152lemul2ad 12149 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≤ (𝐾 · 𝐴))
154 leexp1a 14135 . . . . 5 ((((𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · 𝐷) ∧ (𝐾 · 𝐷) ≤ (𝐾 · 𝐴))) → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
15534, 20, 6, 151, 153, 154syl32anc 1379 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
156148, 155jca 513 . . 3 (𝜑 → (0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∧ ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
157 lediv12a 12102 . . 3 ((((((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∧ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ≤ 1)) ∧ ((((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ) ∧ (0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∧ ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))) → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
158143, 144, 156, 157syl12anc 836 . 2 (𝜑 → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
15912, 31, 43, 130, 158letrd 11366 1 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5146  (class class class)co 7403  cc 11103  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11243  cle 11244  cmin 11439  -cneg 11440   / cdiv 11866  cn 12207  2c2 12262  0cn0 12467  cz 12553  +crp 12969  cexp 14022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-seq 13962  df-exp 14023
This theorem is referenced by:  stoweidlem25  44675
  Copyright terms: Public domain W3C validator