stoweidlem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stoweidlem1 43432

Description: Lemma for stoweid 43494. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 13872. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stoweidlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
stoweidlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
stoweidlem1.6	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
stoweidlem1.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
stoweidlem1.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐴)

**Assertion**
Ref	Expression
stoweidlem1	⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))

**Proof of Theorem stoweidlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3		stoweidlem1.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
4	3	rpred 12701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		stoweidlem1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
7	4, 6	reexpcld 13809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℝ)
8	2, 7	resubcld 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐴↑𝑁)) ∈ ℝ)
9		stoweidlem1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 12223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ₀)
11	10, 6	nn0expcld 13889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ₀)
12	8, 11	reexpcld 13809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
13		2nn0 12180	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
15	14, 6	nn0mulcld 12228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
16	4, 15	reexpcld 13809	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
17	2, 16	resubcld 11333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
18	17, 11	reexpcld 13809	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
19	9	nnred 11918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
20	19, 4	remulcld 10936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ)
21	20, 6	reexpcld 13809	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
22	9	nncnd 11919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
23	3	rpcnd 12703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
24	9	nnne0d 11953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
25	3	rpne0d 12706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
26	22, 23, 24, 25	mulne0d 11557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐴) ≠ 0)
27	22, 23	mulcld 10926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ)
28		expne0 13742	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≠ 0))
29	27, 5, 28	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≠ 0))
30	26, 29	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≠ 0)
31	18, 21, 30	redivcld 11733	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
32		stoweidlem1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
33	32	rpred 12701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
34	19, 33	remulcld 10936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
35	34, 6	reexpcld 13809	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
36	32	rpcnd 12703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
37	32	rpne0d 12706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
38	22, 36, 24, 37	mulne0d 11557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
39	22, 36	mulcld 10926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
40		expne0 13742	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
41	39, 5, 40	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
42	38, 41	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
43	2, 35, 42	redivcld 11733	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
44	19, 6	reexpcld 13809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℝ)
45	44, 7	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) ∈ ℝ)
46	2, 45	readdcld 10935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))) ∈ ℝ)
47	12, 46	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) ∈ ℝ)
48	47, 21, 30	redivcld 11733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
49	2, 7	readdcld 10935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐴↑𝑁)) ∈ ℝ)
50	49, 11	reexpcld 13809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ)
51	12, 50	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) ∈ ℝ)
52	51, 21, 30	redivcld 11733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
53	46, 21, 30	redivcld 11733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
54		stoweidlem1.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
55		stoweidlem1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
56		exple1 13822	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ≤ 1)
57	4, 54, 55, 6, 56	syl31anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ≤ 1)
58	2, 7	subge0d 11495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (1 − (𝐴↑𝑁)) ↔ (𝐴↑𝑁) ≤ 1))
59	57, 58	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 − (𝐴↑𝑁)))
60	8, 11, 59	expge0d 13810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
61	27, 6	expcld 13792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
62	61, 30	dividd 11679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = 1)
63	61	addid2d 11106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
64		0red 10909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
65		0le1 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
67	64, 2, 21, 66	leadd1dd 11519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
68	63, 67	eqbrtrrd 5094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
69	2, 21	readdcld 10935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
70	5	nnzd 12354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
71	9	nngt0d 11952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
72	3	rpgt0d 12704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
73	19, 4, 71, 72	mulgt0d 11060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐾 · 𝐴))
74		expgt0 13744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 · 𝐴)) → 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
75	20, 70, 73, 74	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
76		lediv1 11770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))) → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
77	21, 69, 21, 75, 76	syl112anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
78	68, 77	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
79	62, 78	eqbrtrrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
80	22, 23, 6	mulexpd 13807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
81	80	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))))
82	81	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = ((1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
83	79, 82	breqtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ ((1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
84	12, 53, 60, 83	lemulge11d 11842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
85		1cnd 10901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
86	23, 6	expcld 13792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
87	85, 86	subcld 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
88	87, 11	expcld 13792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℂ)
89	22, 6	expcld 13792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑𝑁) ∈ ℂ)
90	89, 86	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
91	85, 90	addcld 10925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))) ∈ ℂ)
92	88, 91, 61, 30	divassd 11716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
93	84, 92	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
94	89, 86	mulcomd 10927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐾↑𝑁)))
95	94	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))) = (1 + ((𝐴↑𝑁) · (𝐾↑𝑁))))
96	2	renegcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
97		le0neg2 11414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
98	1, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
99	65, 98	mpbi 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ≤ 0
100	99	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ≤ 0)
101	4, 6, 54	expge0d 13810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
102	96, 64, 7, 100, 101	letrd 11062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ≤ (𝐴↑𝑁))
103		bernneq 13872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ -1 ≤ (𝐴↑𝑁)) → (1 + ((𝐴↑𝑁) · (𝐾↑𝑁))) ≤ ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
104	7, 11, 102, 103	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝐴↑𝑁) · (𝐾↑𝑁))) ≤ ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
105	95, 104	eqbrtrd 5092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁))) ≤ ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)))
106	46, 50, 12, 60, 105	lemul2ad 11845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) ≤ (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))))
107		lediv1 11770	. . . . . 6 ⊢ (((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) ∈ ℝ ∧ (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) ∈ ℝ ∧ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))) → ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) ≤ (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) ↔ ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
108	47, 51, 21, 75, 107	syl112anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) ≤ (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) ↔ ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
109	106, 108	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · (1 + ((𝐾↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
110	12, 48, 52, 93, 109	letrd 11062	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
111	85, 86	addcld 10925	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
112	87, 111	mulcomd 10927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁)) · (1 + (𝐴↑𝑁))) = ((1 + (𝐴↑𝑁)) · (1 − (𝐴↑𝑁))))
113	112	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁)) · (1 + (𝐴↑𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) = (((1 + (𝐴↑𝑁)) · (1 − (𝐴↑𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)))
114	87, 111, 11	mulexpd 13807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁)) · (1 + (𝐴↑𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) = (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))))
115		subsq 13854	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((𝐴↑𝑁)↑2)) = ((1 + (𝐴↑𝑁)) · (1 − (𝐴↑𝑁))))
116	85, 86, 115	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1↑2) − ((𝐴↑𝑁)↑2)) = ((1 + (𝐴↑𝑁)) · (1 − (𝐴↑𝑁))))
117		sq1 13840	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
118	117	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = 1)
119	23, 14, 6	expmuld 13795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 · 2)) = ((𝐴↑𝑁)↑2))
120	5	nncnd 11919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
121		2cnd 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
122	120, 121	mulcomd 10927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
123	122	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 · 2)) = (𝐴↑(2 · 𝑁)))
124	119, 123	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁)↑2) = (𝐴↑(2 · 𝑁)))
125	118, 124	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1↑2) − ((𝐴↑𝑁)↑2)) = (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))))
126	116, 125	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 + (𝐴↑𝑁)) · (1 − (𝐴↑𝑁))) = (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))))
127	126	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 + (𝐴↑𝑁)) · (1 − (𝐴↑𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) = ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)))
128	113, 114, 127	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) = ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)))
129	128	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) · ((1 + (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
130	110, 129	breqtrd 5096	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
131	18, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
132		exple1 13822	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(2 · 𝑁)) ≤ 1)
133	4, 54, 55, 15, 132	syl31anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(2 · 𝑁)) ≤ 1)
134	2, 16	subge0d 11495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑁)) ≤ 1))
135	133, 134	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))))
136	17, 11, 135	expge0d 13810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)))
137		1m1e0 11975	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
138	4, 15, 54	expge0d 13810	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑(2 · 𝑁)))
139	137, 138	eqbrtrid 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) ≤ (𝐴↑(2 · 𝑁)))
140	2, 2, 16, 139	subled 11508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ≤ 1)
141		exple1 13822	. . . . 5 ⊢ ((((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ∧ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ≤ 1) ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ₀) → ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ 1)
142	17, 135, 140, 11, 141	syl31anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ 1)
143	131, 136, 142	jca32 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ∧ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ 1)))
144	35, 21	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ))
145	32	rpgt0d 12704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐷)
146	19, 33, 71, 145	mulgt0d 11060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐾 · 𝐷))
147		expgt0 13744	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 · 𝐷)) → 0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁))
148	34, 70, 146, 147	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁))
149	64, 19, 71	ltled 11053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
150	64, 33, 145	ltled 11053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
151	19, 33, 149, 150	mulge0d 11482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝐷))
152		stoweidlem1.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐴)
153	33, 4, 19, 149, 152	lemul2ad 11845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≤ (𝐾 · 𝐴))
154		leexp1a 13821	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (0 ≤ (𝐾 · 𝐷) ∧ (𝐾 · 𝐷) ≤ (𝐾 · 𝐴))) → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
155	34, 20, 6, 151, 153, 154	syl32anc 1376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
156	148, 155	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∧ ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
157		lediv12a 11798	. . 3 ⊢ ((((((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ∧ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ 1)) ∧ ((((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ) ∧ (0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∧ ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))) → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
158	143, 144, 156, 157	syl12anc 833	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
159	12, 31, 43, 130, 158	letrd 11062	1 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁))↑(𝐾↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2942 class class class wbr 5070 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 ℝcr 10801 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 -cneg 11136 / cdiv 11562 ℕcn 11903 2c2 11958 ℕ₀cn0 12163 ℤcz 12249 ℝ⁺crp 12659 ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-iun 4923 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-om 7688 df-2nd 7805 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-er 8456 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-n0 12164 df-z 12250 df-uz 12512 df-rp 12660 df-seq 13650 df-exp 13711

This theorem is referenced by: stoweidlem25 43456

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