Theorem voliccico 46573

Description: A closed interval and a left-closed, right-open interval with the same real bounds, have the same Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliccico.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
voliccico.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
voliccico	⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem voliccico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4486	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
2	1	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
3		voliccico.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	subidd 11530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
6	5	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐵 − 𝐵))
7	6	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (𝐵 − 𝐵))
8		iffalse 4489	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
9	8	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
10		simpll 776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝜑)
11		voliccico.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	10, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
15	14	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
16		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
17	12, 13, 15, 16	lenlteq 45939	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
18		oveq2 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
19	18	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
20	10, 17, 19	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
21	7, 9, 20	3eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
22	2, 21	pm2.61dan 822	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
23	22	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
24	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		volicc 46572	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
27	24, 25, 14, 26	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
28		volico 46557	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
29	11, 3, 28	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
30	29	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
31	23, 27, 30	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
32		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜑)
33		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
34	32, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	32, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	34, 35	ltnled 11330	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
37	33, 36	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
38		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
39	11	rexrd 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
40	3	rexrd 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
41		icc0 13397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
42	39, 40, 41	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
43	42	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
44	38, 43	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
45	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
46	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
47	45, 46, 38	ltled 11331	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
48	46	rexrd 11232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
49	45	rexrd 11232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
50		ico0 13395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
51	48, 49, 50	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
52	47, 51	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
53	44, 52	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
54	53	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
55	32, 37, 54	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
56	31, 55	pm2.61dan 822	1 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∅c0 4285  ifcif 4480   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  [,)cico 13351  [,]cicc 13352  volcvol 25525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-rest 17451  df-topgen 17472  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-top 22954  df-topon 22971  df-bases 23006  df-cmp 23447  df-ovol 25526  df-vol 25527

This theorem is referenced by:  vonn0icc  47262