Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliccico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliccico 43509
Description: A closed interval and a left-closed, right-open interval with the same real bounds, have the same Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
voliccico.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
voliccico.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
voliccico (𝜑 → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem voliccico
StepHypRef Expression
1 iftrue 4471 . . . . . 6 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
21adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
3 voliccico.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 11002 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54subidd 11318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
65eqcomd 2746 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (𝐵𝐵))
76ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (𝐵𝐵))
8 iffalse 4474 . . . . . . 7 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
98adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
10 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝜑)
11 voliccico.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
1310, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
16 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
1712, 13, 15, 16lenlteq 42872 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
18 oveq2 7277 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
2010, 17, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
217, 9, 203eqtr4d 2790 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
222, 21pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
2322eqcomd 2746 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2411adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
253adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 volicc 43508 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
2724, 25, 14, 26syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵𝐴))
28 volico 43493 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2911, 3, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3029adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3123, 27, 303eqtr4d 2790 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
32 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝜑)
33 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
3432, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
3532, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3634, 35ltnled 11120 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
3733, 36mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
38 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
3911rexrd 11024 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
403rexrd 11024 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
41 icc0 13124 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
4342adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
4438, 43mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
453adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4611adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4745, 46, 38ltled 11121 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵𝐴)
4846rexrd 11024 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4945rexrd 11024 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
50 ico0 13122 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
5148, 49, 50syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
5247, 51mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5344, 52eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
5453fveq2d 6773 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5532, 37, 54syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5631, 55pm2.61dan 810 1 (𝜑 → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  c0 4262  ifcif 4465   class class class wbr 5079  cfv 6431  (class class class)co 7269  cr 10869  0cc0 10870  *cxr 11007   < clt 11008  cle 11009  cmin 11203  [,)cico 13078  [,]cicc 13079  volcvol 24623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fi 9146  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-dju 9658  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-xneg 12845  df-xadd 12846  df-xmul 12847  df-ioo 13080  df-ico 13082  df-icc 13083  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-rlim 15194  df-sum 15394  df-rest 17129  df-topgen 17150  df-psmet 20585  df-xmet 20586  df-met 20587  df-bl 20588  df-mopn 20589  df-top 22039  df-topon 22056  df-bases 22092  df-cmp 22534  df-ovol 24624  df-vol 24625
This theorem is referenced by:  vonn0icc  44195
  Copyright terms: Public domain W3C validator