Theorem voliccico 45955

Description: A closed interval and a left-closed, right-open interval with the same real bounds, have the same Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliccico.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
voliccico.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
voliccico	⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem voliccico

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4537	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
3		voliccico.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	subidd 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
6	5	eqcomd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝐵 − 𝐵))
7	6	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (𝐵 − 𝐵))
8		iffalse 4540	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
10		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝜑)
11		voliccico.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	10, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
17	12, 13, 15, 16	lenlteq 45314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
18		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
20	10, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐵))
21	7, 9, 20	3eqtr4d 2785	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
22	2, 21	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
23	22	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
24	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		volicc 45954	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
27	24, 25, 14, 26	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
28		volico 45939	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
29	11, 3, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
31	23, 27, 30	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
32		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝜑)
33		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐵)
34	32, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	32, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	34, 35	ltnled 11406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵))
37	33, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
38		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
39	11	rexrd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
40	3	rexrd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
41		icc0 13432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
42	39, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
44	38, 43	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = ∅)
45	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
46	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
47	45, 46, 38	ltled 11407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
48	46	rexrd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
49	45	rexrd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
50		ico0 13430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
52	47, 51	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
53	44, 52	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,]𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
54	53	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 𝐴) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
55	32, 37, 54	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
56	31, 55	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∅c0 4339  ifcif 4531   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  volcvol 25512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514

This theorem is referenced by:  vonn0icc  46644