MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgmhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgmhmf 18723
Description: A magma homomorphism is a function. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgmhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mgmhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mgmhmf (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem mgmhmf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmhmf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
2 mgmhmf.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑇)
3 eqid 2735 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
4 eqid 2735 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
51, 2, 3, 4ismgmhm 18722 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)))))
6 simprl 771 . 2 (((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)))) → 𝐹:𝐵𝐶)
75, 6sylbi 217 1 (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Mgmcmgm 18664   MgmHom cmgmhm 18716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-mgmhm 18718
This theorem is referenced by:  mgmhmf1o  18726  resmgmhm  18737  resmgmhm2  18738  resmgmhm2b  18739  mgmhmco  18740  mgmhmima  18741  mgmhmeql  18742
  Copyright terms: Public domain W3C validator