MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgmhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgmhmf 18710
Description: A magma homomorphism is a function. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgmhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mgmhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mgmhmf (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem mgmhmf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmhmf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
2 mgmhmf.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑇)
3 eqid 2737 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
4 eqid 2737 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
51, 2, 3, 4ismgmhm 18709 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)))))
6 simprl 771 . 2 (((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)))) → 𝐹:𝐵𝐶)
75, 6sylbi 217 1 (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Mgmcmgm 18651   MgmHom cmgmhm 18703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-mgmhm 18705
This theorem is referenced by:  mgmhmf1o  18713  resmgmhm  18724  resmgmhm2  18725  resmgmhm2b  18726  mgmhmco  18727  mgmhmima  18728  mgmhmeql  18729
  Copyright terms: Public domain W3C validator