Theorem mgmhmf 45338

Description: A magma homomorphism is a function. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mgmhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mgmhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem mgmhmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		mgmhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	ismgmhm 45337	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))))
6		simprl 768	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
7	5, 6	sylbi 216	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Mgmcmgm 18324   MgmHom cmgmhm 45331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-mgmhm 45333

This theorem is referenced by:  mgmhmf1o  45341  resmgmhm  45352  resmgmhm2  45353  resmgmhm2b  45354  mgmhmco  45355  mgmhmima  45356  mgmhmeql  45357