Theorem mgmhmf 18735

Description: A magma homomorphism is a function. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mgmhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mgmhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem mgmhmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		mgmhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	ismgmhm 18734	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))))
6		simprl 770	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
7	5, 6	sylbi 217	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Mgmcmgm 18676   MgmHom cmgmhm 18728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-mgmhm 18730

This theorem is referenced by:  mgmhmf1o  18738  resmgmhm  18749  resmgmhm2  18750  resmgmhm2b  18751  mgmhmco  18752  mgmhmima  18753  mgmhmeql  18754