Theorem mgmhmf 18901

Description: A magma homomorphism is a function. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mgmhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mgmhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem mgmhmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		mgmhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	ismgmhm 18900	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))))
6		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
7	5, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  +_gcplusg 17443  Mgmcmgm 18829   MgmHom cmgmhm 18894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8863  df-mgmhm 18896

This theorem is used by:  mgmhmf1o  18904  resmgmhm  18915  resmgmhm2  18916  resmgmhm2b  18917  mgmhmco  18918  mgmhmima  18919  mgmhmeql  18920