Theorem mgmhmf 18624

Description: A magma homomorphism is a function. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mgmhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mgmhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem mgmhmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		mgmhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	ismgmhm 18623	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))))
6		simprl 770	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑆)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑦)))) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
7	5, 6	sylbi 217	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MgmHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mgmcmgm 18565   MgmHom cmgmhm 18617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-mgmhm 18619

This theorem is referenced by:  mgmhmf1o  18627  resmgmhm  18638  resmgmhm2  18639  resmgmhm2b  18640  mgmhmco  18641  mgmhmima  18642  mgmhmeql  18643