MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirbtwn 27019
Description: Property of the image by the point inversion function. Definition 7.5 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirfv.b (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirbtwn (𝜑𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))

Proof of Theorem mirbtwn
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝐴)
9 mirfv.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mirfv 27017 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (𝑧𝑃 ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))))
111, 2, 3, 6, 9, 7mirreu3 27015 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑧𝑃 ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)))
12 riotacl2 7249 . . . . 5 (∃!𝑧𝑃 ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)) → (𝑧𝑃 ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) ∈ {𝑧𝑃 ∣ ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝑃 ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) ∈ {𝑧𝑃 ∣ ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
1410, 13eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ {𝑧𝑃 ∣ ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
15 oveq2 7283 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑀𝐵) → (𝐴 𝑧) = (𝐴 (𝑀𝐵)))
1615eqeq1d 2740 . . . . 5 (𝑧 = (𝑀𝐵) → ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ↔ (𝐴 (𝑀𝐵)) = (𝐴 𝐵)))
17 oveq1 7282 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑀𝐵) → (𝑧𝐼𝐵) = ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
1817eleq2d 2824 . . . . 5 (𝑧 = (𝑀𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵)))
1916, 18anbi12d 631 . . . 4 (𝑧 = (𝑀𝐵) → (((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)) ↔ ((𝐴 (𝑀𝐵)) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))))
2019elrab 3624 . . 3 ((𝑀𝐵) ∈ {𝑧𝑃 ∣ ((𝐴 𝑧) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))} ↔ ((𝑀𝐵) ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 (𝑀𝐵)) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))))
2114, 20sylib 217 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐵) ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 (𝑀𝐵)) = (𝐴 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))))
2221simprrd 771 1 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  ∃!wreu 3066  {crab 3068  cfv 6433  crio 7231  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  distcds 16971  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  pInvGcmir 27013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkg 26814  df-mir 27014
This theorem is referenced by:  mirmir  27023  mirinv  27027  miriso  27031  mirmir2  27035  mirln  27037  mirln2  27038  mirconn  27039  mirhl2  27042  mircgrextend  27043  mirtrcgr  27044  mirauto  27045  miduniq  27046  krippenlem  27051  ragflat  27065  ragcgr  27068  footexALT  27079  footexlem1  27080  footexlem2  27081  colperpexlem1  27091  colperpexlem3  27093  mideulem2  27095  opphllem  27096  opphllem1  27108  opphllem2  27109  opphllem4  27111  colhp  27131  midbtwn  27140  lmieu  27145  lmiisolem  27157
  Copyright terms: Public domain W3C validator