Theorem mirbtwn 28744

Description: Property of the image by the point inversion function. Definition 7.5 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirfv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirbtwn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))

Proof of Theorem mirbtwn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirfv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mirfv 28742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))))
11	1, 2, 3, 6, 9, 7	mirreu3 28740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)))
12		riotacl2 7329	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)) → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
14	10, 13	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
15		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − (𝑀‘𝐵)))
16	15	eqeq1d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵)))
17		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (𝑧𝐼𝐵) = ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
18	17	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵)))
19	16, 18	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)) ↔ ((𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))))
20	19	elrab 3629	. . 3 ⊢ ((𝑀‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))} ↔ ((𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))))
21	14, 20	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))))
22	21	simprrd 779	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃!wreu 3342  {crab 3391  ‘cfv 6485  ℩crio 7312  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519  LineGclng 28520  pInvGcmir 28738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-trkgc 28534  df-trkgb 28535  df-trkgcb 28536  df-trkg 28539  df-mir 28739

This theorem is referenced by:  mirmir  28748  mirinv  28752  miriso  28756  mirmir2  28760  mirln  28762  mirln2  28763  mirconn  28764  mirhl2  28767  mircgrextend  28768  mirtrcgr  28769  mirauto  28770  miduniq  28771  krippenlem  28776  ragflat  28790  ragcgr  28793  footexALT  28804  footexlem1  28805  footexlem2  28806  colperpexlem1  28816  colperpexlem3  28818  mideulem2  28820  opphllem  28821  opphllem1  28833  opphllem2  28834  opphllem4  28836  colhp  28856  midbtwn  28865  lmieu  28870  lmiisolem  28882