Theorem mirbtwn 28636

Description: Property of the image by the point inversion function. Definition 7.5 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirfv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirbtwn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))

Proof of Theorem mirbtwn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirfv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mirfv 28634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))))
11	1, 2, 3, 6, 9, 7	mirreu3 28632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)))
12		riotacl2 7319	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)) → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
14	10, 13	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
15		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − (𝑀‘𝐵)))
16	15	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵)))
17		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (𝑧𝐼𝐵) = ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
18	17	eleq2d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵)))
19	16, 18	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)) ↔ ((𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))))
20	19	elrab 3642	. . 3 ⊢ ((𝑀‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))} ↔ ((𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))))
21	14, 20	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))))
22	21	simprrd 773	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃!wreu 3344  {crab 3395  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28405  Itvcitv 28411  LineGclng 28412  pInvGcmir 28630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-trkgc 28426  df-trkgb 28427  df-trkgcb 28428  df-trkg 28431  df-mir 28631

This theorem is referenced by:  mirmir  28640  mirinv  28644  miriso  28648  mirmir2  28652  mirln  28654  mirln2  28655  mirconn  28656  mirhl2  28659  mircgrextend  28660  mirtrcgr  28661  mirauto  28662  miduniq  28663  krippenlem  28668  ragflat  28682  ragcgr  28685  footexALT  28696  footexlem1  28697  footexlem2  28698  colperpexlem1  28708  colperpexlem3  28710  mideulem2  28712  opphllem  28713  opphllem1  28725  opphllem2  28726  opphllem4  28728  colhp  28748  midbtwn  28757  lmieu  28762  lmiisolem  28774