Theorem mirbtwn 28935

Description: Property of the image by the point inversion function. Definition 7.5 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirfv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mirbtwn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))

Proof of Theorem mirbtwn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirfv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mirfv 28933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))))
11	1, 2, 3, 6, 9, 7	mirreu3 28931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)))
12		riotacl2 7383	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)) → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
14	10, 13	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))})
15		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − (𝑀‘𝐵)))
16	15	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵)))
17		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (𝑧𝐼𝐵) = ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))
18	17	eleq2d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵)))
19	16, 18	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑀‘𝐵) → (((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)) ↔ ((𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))))
20	19	elrab 3650	. . 3 ⊢ ((𝑀‘𝐵) ∈ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))} ↔ ((𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))))
21	14, 20	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 − (𝑀‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))))
22	21	simprrd 785	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑀‘𝐵)𝐼𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃!wreu 3367  {crab 3416  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  pInvGcmir 28929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkg 28722  df-mir 28930

This theorem is referenced by:  mirmir  28939  mirinv  28943  miriso  28947  mirmir2  28951  mirln  28953  mirln2  28954  mirconn  28955  mirhl2  28958  mircgrextend  28959  mirtrcgr  28960  mirauto  28961  miduniq  28962  krippenlem  28967  ragflat  28984  ragcgr  28987  footexALT  28998  footexlem1  28999  footexlem2  29000  colperpexlem1  29011  colperpexlem3  29013  mideulem2  29015  opphllem  29016  opphllem1  29028  opphllem2  29029  opphllem4  29031  oppmir  29036  colhp  29052  midbtwn  29088  lmieu  29093  lmiisolem  29105  ragsupplcgra  29148