Theorem mirf 27602

Description: Point inversion as function. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mirf	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)

Proof of Theorem mirf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riotaex 7317	. . 3 ⊢ (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝑦))) ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝑦))) ∈ V)
3		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
4		mirval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		mirval.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
6		mirval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
7		mirval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		mirval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		mirval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
10		mirval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mirval 27597	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))))
12	3, 11	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝑦) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))))
13	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
15		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 3, 15	mirfv 27598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (𝑀‘𝑥) = (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝑥))))
17	4, 5, 6, 13, 15, 14	mirreu3 27596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → ∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝑥)))
18		riotacl 7331	. . . 4 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝑥)) → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝑥))) ∈ 𝑃)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝑥))) ∈ 𝑃)
20	16, 19	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → (𝑀‘𝑥) ∈ 𝑃)
21	2, 12, 20	fmpt2d 7071	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝑃⟶𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃!wreu 3351  Vcvv 3445   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  ℩crio 7312  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  Itvcitv 27375  LineGclng 27376  pInvGcmir 27594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkg 27395  df-mir 27595

This theorem is referenced by:  mircl  27603  mirf1o  27611  mirbtwni  27613  mirbtwnb  27614  mirauto  27626  miduniq2  27629  krippenlem  27632