Theorem ismir 28936

Description: Property of the image by the point inversion function. Definition 7.5 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
mirval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirfv.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirfv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ismir.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ismir.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵))
ismir.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ismir	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑀‘𝐵))

Proof of Theorem ismir

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		mirval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		mirval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		mirval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		mirval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		mirval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		mirval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		mirfv.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
9		mirfv.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mirfv 28933	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))))
11		ismir.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵))
12		ismir.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
13		ismir.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
14	1, 2, 3, 6, 9, 7	mirreu3 28931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)))
15		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐶))
16	15	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵)))
17		oveq1 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝐼𝐵) = (𝐶𝐼𝐵))
18	17	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
19	16, 18	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵)) ↔ ((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
20	19	riota2 7392	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑃 ∧ ∃!𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) → (((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) = 𝐶))
21	13, 14, 20	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) ↔ (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) = 𝐶))
22	11, 12, 21	mpbi2and 724	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑧 ∈ 𝑃 ((𝐴 − 𝑧) = (𝐴 − 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑧𝐼𝐵))) = 𝐶)
23	10, 22	eqtr2d 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃!wreu 3367  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  pInvGcmir 28929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkg 28722  df-mir 28930

This theorem is referenced by:  mirmir  28939  mireq  28942  mirinv  28943  miriso  28947  mirmir2  28951  mirauto  28961  colmid  28965  krippenlem  28967  midexlem  28969  mideulem2  29015  opphllem  29016  midcom  29091  trgcopyeulem  29116