Theorem mrcflem 17555

Description: The domain and codomain of the function expression for Moore closures. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mrcflem	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠}):𝒫 𝑋⟶𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐶   𝑥,𝑋,𝑠

Proof of Theorem mrcflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
2		ssrab2 4077	. . . 4 ⊢ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝐶
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝐶)
4		sseq2 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝑠 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑋))
5		mre1cl 17543	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
7		elpwi 4609	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
9	4, 6, 8	elrabd 3685	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑋 ∈ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠})
10	9	ne0d 4335	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠} ≠ ∅)
11		mreintcl 17544	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝐶 ∧ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠} ≠ ∅) → ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠} ∈ 𝐶)
12	1, 3, 10, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠} ∈ 𝐶)
13	12	fmpttd 7116	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑠 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑠}):𝒫 𝑋⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  {crab 3431   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  ∩ cint 4950   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Moorecmre 17531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-mre 17535

This theorem is referenced by:  fnmrc  17556  mrcfval  17557  mrcf  17558