MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreintcl 16463
Description: A nonempty collection of closed sets has a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreintcl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝐶)

Proof of Theorem mreintcl
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 4958 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐶𝑆𝐶))
21biimpar 463 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
323adant3 1126 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
4 ismre 16458 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
54simp3bi 1141 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
653ad2ant1 1127 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
7 simp3 1132 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
8 neeq1 3005 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9 inteq 4614 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 𝑠 = 𝑆)
109eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → ( 𝑠𝐶 𝑆𝐶))
118, 10imbi12d 333 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶) ↔ (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆𝐶)))
1211rspcva 3458 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆𝐶))
13123impia 1109 . 2 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝐶)
143, 6, 7, 13syl3anc 1476 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297   cint 4611  cfv 6031  Moorecmre 16450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-mre 16454
This theorem is referenced by:  mreiincl  16464  mrerintcl  16465  mreincl  16467  mremre  16472  submre  16473  mrcflem  16474  mrelatglb  17392  mreclatBAD  17395
  Copyright terms: Public domain W3C validator