Theorem mreintcl 17535

Description: A nonempty collection of closed sets has a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreintcl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreintcl

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpw2g 5343	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐶))
2	1	biimpar 478	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
3	2	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
4		ismre 17530	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
5	4	simp3bi 1147	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
6	5	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
7		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
8		neeq1 3003	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9		inteq 4952	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ∩ 𝑠 = ∩ 𝑆)
10	9	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∩ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∩ 𝑆 ∈ 𝐶))
11	8, 10	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶) ↔ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)))
12	11	rspcva 3610	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶))
13	12	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)
14	3, 6, 7, 13	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  ∩ cint 4949  ‘cfv 6540  Moorecmre 17522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-mre 17526

This theorem is referenced by:  mreiincl  17536  mrerintcl  17537  mreincl  17539  mremre  17544  submre  17545  mrcflem  17546  mrelatglb  18509  mreclatBAD  18512  mrelatglbALT  47574  mreclat  47575