Theorem mreintcl 17653

Description: A nonempty collection of closed sets has a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreintcl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreintcl

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpw2g 5351	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐶))
2	1	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
3	2	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
4		ismre 17648	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
5	4	simp3bi 1147	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
6	5	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
7		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
8		neeq1 3009	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9		inteq 4973	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ∩ 𝑠 = ∩ 𝑆)
10	9	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∩ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∩ 𝑆 ∈ 𝐶))
11	8, 10	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶) ↔ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)))
12	11	rspcva 3633	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶))
13	12	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)
14	3, 6, 7, 13	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∩ cint 4970  ‘cfv 6573  Moorecmre 17640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-mre 17644

This theorem is referenced by:  mreiincl  17654  mrerintcl  17655  mreincl  17657  mremre  17662  submre  17663  mrcflem  17664  mrelatglb  18630  mreclatBAD  18633  mrelatglbALT  48668  mreclat  48669