MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreintcl 17535
Description: A nonempty collection of closed sets has a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreintcl ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ 𝐢)

Proof of Theorem mreintcl
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 5334 . . . 4 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐢 ↔ 𝑆 βŠ† 𝐢))
21biimpar 477 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝐢) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐢)
323adant3 1129 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐢)
4 ismre 17530 . . . 4 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢(𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢)))
54simp3bi 1144 . . 3 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢(𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢))
653ad2ant1 1130 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢(𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢))
7 simp3 1135 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
8 neeq1 2995 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 β‰  βˆ… ↔ 𝑆 β‰  βˆ…))
9 inteq 4943 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ ∩ 𝑠 = ∩ 𝑆)
109eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (∩ 𝑠 ∈ 𝐢 ↔ ∩ 𝑆 ∈ 𝐢))
118, 10imbi12d 344 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢) ↔ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑆 ∈ 𝐢)))
1211rspcva 3602 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐢 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢(𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑆 ∈ 𝐢))
13123impia 1114 . 2 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐢 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢(𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ 𝐢)
143, 6, 7, 13syl3anc 1368 1 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  βˆ© cint 4940  β€˜cfv 6533  Moorecmre 17522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-mre 17526
This theorem is referenced by:  mreiincl  17536  mrerintcl  17537  mreincl  17539  mremre  17544  submre  17545  mrcflem  17546  mrelatglb  18512  mreclatBAD  18515  mrelatglbALT  47775  mreclat  47776
  Copyright terms: Public domain W3C validator