Theorem mulvfn 45223

Description: Scalar multiplication producees a function. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvfn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)

Proof of Theorem mulvfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7456	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6685	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ
4		mulvval 45217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))))
5	4	fneq1d 6635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ))
6	3, 5	mpbiri 261	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5197   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   · cmul 11123  ._𝑣ctimesr 45208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-mulv 45214

This theorem is used by: (None)