Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulvfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulvfn 40948
Description: Scalar multiplication producees a function. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
mulvfn ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)

Proof of Theorem mulvfn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7164 . . 3 (𝐴 · (𝐵𝑥)) ∈ V
2 eqid 2820 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥)))
31, 2fnmpti 6465 . 2 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))) Fn ℝ
4 mulvval 40942 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))))
54fneq1d 6420 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ((𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))) Fn ℝ))
63, 5mpbiri 260 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114  cmpt 5120   Fn wfn 6324  cfv 6329  (class class class)co 7131  cr 10512   · cmul 10518  .𝑣ctimesr 40933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5304  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-nul 4268  df-if 4442  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4813  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5434  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-mulv 40939
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator