Theorem mulvfn 42092

Description: Scalar multiplication producees a function. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvfn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)

Proof of Theorem mulvfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7308	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6576	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ
4		mulvval 42086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))))
5	4	fneq1d 6526	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ))
6	3, 5	mpbiri 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   · cmul 10876  ._𝑣ctimesr 42077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-mulv 42083

This theorem is referenced by: (None)