Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulvfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulvfn 42074
Description: Scalar multiplication producees a function. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
mulvfn ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)

Proof of Theorem mulvfn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7305 . . 3 (𝐴 · (𝐵𝑥)) ∈ V
2 eqid 2740 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥)))
31, 2fnmpti 6574 . 2 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))) Fn ℝ
4 mulvval 42068 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))))
54fneq1d 6524 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ((𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))) Fn ℝ))
63, 5mpbiri 257 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2110  cmpt 5162   Fn wfn 6427  cfv 6432  (class class class)co 7272  cr 10881   · cmul 10887  .𝑣ctimesr 42059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-mulv 42065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator