Theorem mulvfn 44900

Description: Scalar multiplication producees a function. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvfn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)

Proof of Theorem mulvfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7400	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6641	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ
4		mulvval 44894	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))))
5	4	fneq1d 6591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ))
6	3, 5	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) Fn ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5166   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   · cmul 11043  ._𝑣ctimesr 44885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-mulv 44891

This theorem is referenced by: (None)