Theorem mulvval 45639

Description: Value of the operation of scalar multiplication. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvval	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem mulvval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3475	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3475	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
3		fveq1 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
4		oveq12 7449	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑦‘𝑣) = (𝐵‘𝑣)) → (𝑥 · (𝑦‘𝑣)) = (𝐴 · (𝐵‘𝑣)))
5	3, 4	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 · (𝑦‘𝑣)) = (𝐴 · (𝐵‘𝑣)))
6	5	mpteq2dv 5202	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))
7		df-mulv 45636	. . 3 ⊢ .𝑣 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦‘𝑣))))
8		reex 11315	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	mptex 7249	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))) ∈ V
10	6, 7, 9	ovmpoa 7596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))
11	1, 2, 10	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223   · cmul 11229  ._𝑣ctimesr 45630

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-mulv 45636

This theorem is used by:  mulvfv  45642  mulvfn  45645