Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulvval 43908
Description: Value of the operation of scalar multiplication. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
mulvval ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐ด.๐‘ฃ๐ต) = (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฃ,๐ด   ๐‘ฃ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฃ)   ๐ท(๐‘ฃ)

Proof of Theorem mulvval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3490 . 2 (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐ด โˆˆ V)
2 elex 3490 . 2 (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ ๐ต โˆˆ V)
3 fveq1 6899 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ) = (๐ตโ€˜๐‘ฃ))
4 oveq12 7433 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ) = (๐ตโ€˜๐‘ฃ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ)) = (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ)))
53, 4sylan2 591 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ)) = (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ)))
65mpteq2dv 5252 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ))) = (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))))
7 df-mulv 43905 . . 3 .๐‘ฃ = (๐‘ฅ โˆˆ V, ๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ))))
8 reex 11235 . . . 4 โ„ โˆˆ V
98mptex 7239 . . 3 (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))) โˆˆ V
106, 7, 9ovmpoa 7580 . 2 ((๐ด โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ V) โ†’ (๐ด.๐‘ฃ๐ต) = (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))))
111, 2, 10syl2an 594 1 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐ด.๐‘ฃ๐ต) = (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3471   โ†ฆ cmpt 5233  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„cr 11143   ยท cmul 11149  .๐‘ฃctimesr 43899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-mulv 43905
This theorem is referenced by:  mulvfv  43911  mulvfn  43914
  Copyright terms: Public domain W3C validator