![]() |
Mathbox for Andrew Salmon |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mulvval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of the operation of scalar multiplication. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulvval | โข ((๐ด โ ๐ถ โง ๐ต โ ๐ท) โ (๐ด.๐ฃ๐ต) = (๐ฃ โ โ โฆ (๐ด ยท (๐ตโ๐ฃ)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elex 3490 | . 2 โข (๐ด โ ๐ถ โ ๐ด โ V) | |
2 | elex 3490 | . 2 โข (๐ต โ ๐ท โ ๐ต โ V) | |
3 | fveq1 6899 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ฆโ๐ฃ) = (๐ตโ๐ฃ)) | |
4 | oveq12 7433 | . . . . 5 โข ((๐ฅ = ๐ด โง (๐ฆโ๐ฃ) = (๐ตโ๐ฃ)) โ (๐ฅ ยท (๐ฆโ๐ฃ)) = (๐ด ยท (๐ตโ๐ฃ))) | |
5 | 3, 4 | sylan2 591 | . . . 4 โข ((๐ฅ = ๐ด โง ๐ฆ = ๐ต) โ (๐ฅ ยท (๐ฆโ๐ฃ)) = (๐ด ยท (๐ตโ๐ฃ))) |
6 | 5 | mpteq2dv 5252 | . . 3 โข ((๐ฅ = ๐ด โง ๐ฆ = ๐ต) โ (๐ฃ โ โ โฆ (๐ฅ ยท (๐ฆโ๐ฃ))) = (๐ฃ โ โ โฆ (๐ด ยท (๐ตโ๐ฃ)))) |
7 | df-mulv 43905 | . . 3 โข .๐ฃ = (๐ฅ โ V, ๐ฆ โ V โฆ (๐ฃ โ โ โฆ (๐ฅ ยท (๐ฆโ๐ฃ)))) | |
8 | reex 11235 | . . . 4 โข โ โ V | |
9 | 8 | mptex 7239 | . . 3 โข (๐ฃ โ โ โฆ (๐ด ยท (๐ตโ๐ฃ))) โ V |
10 | 6, 7, 9 | ovmpoa 7580 | . 2 โข ((๐ด โ V โง ๐ต โ V) โ (๐ด.๐ฃ๐ต) = (๐ฃ โ โ โฆ (๐ด ยท (๐ตโ๐ฃ)))) |
11 | 1, 2, 10 | syl2an 594 | 1 โข ((๐ด โ ๐ถ โง ๐ต โ ๐ท) โ (๐ด.๐ฃ๐ต) = (๐ฃ โ โ โฆ (๐ด ยท (๐ตโ๐ฃ)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3471 โฆ cmpt 5233 โcfv 6551 (class class class)co 7424 โcr 11143 ยท cmul 11149 .๐ฃctimesr 43899 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-rep 5287 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pr 5431 ax-cnex 11200 ax-resscn 11201 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-ral 3058 df-rex 3067 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4325 df-if 4531 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4911 df-iun 5000 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-id 5578 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-mulv 43905 |
This theorem is referenced by: mulvfv 43911 mulvfn 43914 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |