Theorem mulvval 42045

Description: Value of the operation of scalar multiplication. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvval	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem mulvval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3448	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3448	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
3		fveq1 6766	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
4		oveq12 7277	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑦‘𝑣) = (𝐵‘𝑣)) → (𝑥 · (𝑦‘𝑣)) = (𝐴 · (𝐵‘𝑣)))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 · (𝑦‘𝑣)) = (𝐴 · (𝐵‘𝑣)))
6	5	mpteq2dv 5176	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))
7		df-mulv 42042	. . 3 ⊢ .𝑣 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦‘𝑣))))
8		reex 10950	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	mptex 7092	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))) ∈ V
10	6, 7, 9	ovmpoa 7419	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))
11	1, 2, 10	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  ℝcr 10858   · cmul 10864  ._𝑣ctimesr 42036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pr 5351  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-mulv 42042

This theorem is referenced by:  mulvfv  42048  mulvfn  42051