Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulvval 42086
Description: Value of the operation of scalar multiplication. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
mulvval ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem mulvval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3450 . 2 (𝐴𝐶𝐴 ∈ V)
2 elex 3450 . 2 (𝐵𝐷𝐵 ∈ V)
3 fveq1 6773 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑣) = (𝐵𝑣))
4 oveq12 7284 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑦𝑣) = (𝐵𝑣)) → (𝑥 · (𝑦𝑣)) = (𝐴 · (𝐵𝑣)))
53, 4sylan2 593 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑥 · (𝑦𝑣)) = (𝐴 · (𝐵𝑣)))
65mpteq2dv 5176 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))))
7 df-mulv 42083 . . 3 .𝑣 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦𝑣))))
8 reex 10962 . . . 4 ℝ ∈ V
98mptex 7099 . . 3 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))) ∈ V
106, 7, 9ovmpoa 7428 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))))
111, 2, 10syl2an 596 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑣))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870   · cmul 10876  .𝑣ctimesr 42077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-mulv 42083
This theorem is referenced by:  mulvfv  42089  mulvfn  42092
  Copyright terms: Public domain W3C validator