Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulvval 42840
Description: Value of the operation of scalar multiplication. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
mulvval ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐ด.๐‘ฃ๐ต) = (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฃ,๐ด   ๐‘ฃ,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐ถ(๐‘ฃ)   ๐ท(๐‘ฃ)

Proof of Theorem mulvval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3465 . 2 (๐ด โˆˆ ๐ถ โ†’ ๐ด โˆˆ V)
2 elex 3465 . 2 (๐ต โˆˆ ๐ท โ†’ ๐ต โˆˆ V)
3 fveq1 6845 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ) = (๐ตโ€˜๐‘ฃ))
4 oveq12 7370 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ) = (๐ตโ€˜๐‘ฃ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ)) = (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ)))
53, 4sylan2 594 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ)) = (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ)))
65mpteq2dv 5211 . . 3 ((๐‘ฅ = ๐ด โˆง ๐‘ฆ = ๐ต) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ))) = (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))))
7 df-mulv 42837 . . 3 .๐‘ฃ = (๐‘ฅ โˆˆ V, ๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘ฃ))))
8 reex 11150 . . . 4 โ„ โˆˆ V
98mptex 7177 . . 3 (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))) โˆˆ V
106, 7, 9ovmpoa 7514 . 2 ((๐ด โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ V) โ†’ (๐ด.๐‘ฃ๐ต) = (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))))
111, 2, 10syl2an 597 1 ((๐ด โˆˆ ๐ถ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐ด.๐‘ฃ๐ต) = (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐ด ยท (๐ตโ€˜๐‘ฃ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058   ยท cmul 11064  .๐‘ฃctimesr 42831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-mulv 42837
This theorem is referenced by:  mulvfv  42843  mulvfn  42846
  Copyright terms: Public domain W3C validator