Theorem mulvval 44450

Description: Value of the operation of scalar multiplication. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvval	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem mulvval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3471	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
3		fveq1 6859	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
4		oveq12 7398	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑦‘𝑣) = (𝐵‘𝑣)) → (𝑥 · (𝑦‘𝑣)) = (𝐴 · (𝐵‘𝑣)))
5	3, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 · (𝑦‘𝑣)) = (𝐴 · (𝐵‘𝑣)))
6	5	mpteq2dv 5203	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))
7		df-mulv 44447	. . 3 ⊢ .𝑣 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · (𝑦‘𝑣))))
8		reex 11165	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	mptex 7199	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))) ∈ V
10	6, 7, 9	ovmpoa 7546	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))
11	1, 2, 10	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑣))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073   · cmul 11079  ._𝑣ctimesr 44441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-mulv 44447

This theorem is referenced by:  mulvfv  44453  mulvfn  44456