Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  addrcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addrcom 41766
Description: Vector addition is commutative. (Contributed by Andrew Salmon, 28-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
addrcom ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴))

Proof of Theorem addrcom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addrfn 41763 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ)
2 addrfn 41763 . . 3 ((𝐵𝐷𝐴𝐶) → (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ)
32ancoms 462 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ)
4 addcomgi 41747 . . . . . 6 ((𝐴𝑥) + (𝐵𝑥)) = ((𝐵𝑥) + (𝐴𝑥))
5 addrfv 41760 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐴𝑥) + (𝐵𝑥)))
6 addrfv 41760 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷𝐴𝐶𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥) = ((𝐵𝑥) + (𝐴𝑥)))
763com12 1125 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥) = ((𝐵𝑥) + (𝐴𝑥)))
84, 5, 73eqtr4a 2804 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥))
983expia 1123 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥)))
109ralrimiv 3104 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥))
11 eqfnfv 6852 . . 3 (((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ∧ (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥)))
1210, 11syl5ibrcom 250 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ∧ (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴)))
131, 3, 12mp2and 699 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061   Fn wfn 6375  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728   + caddc 10732  +𝑟cplusr 41748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-addf 10808
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-addr 41754
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator