Theorem addrcom 45297

Description: Vector addition is commutative. (Contributed by Andrew Salmon, 28-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
addrcom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴))

Proof of Theorem addrcom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addrfn 45294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ)
2		addrfn 45294	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ)
3	2	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ)
4		addcomgi 45278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥)) = ((𝐵‘𝑥) + (𝐴‘𝑥))
5		addrfv 45291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥)))
6		addrfv 45291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥) = ((𝐵‘𝑥) + (𝐴‘𝑥)))
7	6	3com12 1141	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥) = ((𝐵‘𝑥) + (𝐴‘𝑥)))
8	4, 5, 7	3eqtr4a 2821	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥))
9	8	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥)))
10	9	ralrimiv 3153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥))
11		eqfnfv 7022	. . 3 ⊢ (((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ∧ (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ) → ((𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ((𝐴+𝑟𝐵)‘𝑥) = ((𝐵+𝑟𝐴)‘𝑥)))
12	10, 11	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ∧ (𝐵+𝑟𝐴) Fn ℝ) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴)))
13	1, 3, 12	mp2and 712	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝐵+𝑟𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123   + caddc 11127  +_𝑟cplusr 45279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-addr 45285

This theorem is used by: (None)