Theorem subrfn 45657

Description: Vector subtraction produces a function. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
subrfn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴-𝑟𝐵) Fn ℝ)

Proof of Theorem subrfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7479	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6707	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ
4		subrval 45651	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴-𝑟𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥))))
5	4	fneq1d 6657	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴-𝑟𝐵) Fn ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ))
6	3, 5	mpbiri 261	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴-𝑟𝐵) Fn ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229   − cmin 11571  -_𝑟cminusr 45642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-subr 45648

This theorem is used by: (None)