Theorem ne0p 26434

Description: A test to show that a polynomial is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ne0p	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem ne0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pval 25900	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)
2		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹‘𝐴) = (0𝑝‘𝐴))
3	2	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ (0𝑝‘𝐴) = 0))
4	1, 3	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹‘𝐴) = 0))
5	4	necon3d 2978	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝))
6	5	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  ℂcc 11125  0cc0 11127  0_𝑝c0p 25898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-mulcl 11189  ax-i2m1 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-0p 25899

This theorem is used by:  dgrmulc  26498  qaa  26554  iaa  26558  aareccl  26559  dchrfi  27489  sqrtnnaa  47718  sqrtnzqaa  47719  cjnpoly  47744