Theorem ne0p 26153

Description: A test to show that a polynomial is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ne0p	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem ne0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pval 25616	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)
2		fveq1 6831	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹‘𝐴) = (0𝑝‘𝐴))
3	2	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ (0𝑝‘𝐴) = 0))
4	1, 3	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹‘𝐴) = 0))
5	4	necon3d 2954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝))
6	5	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  ℂcc 11025  0cc0 11027  0_𝑝c0p 25614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-mulcl 11089  ax-i2m1 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-0p 25615

This theorem is referenced by:  dgrmulc  26217  qaa  26271  iaa  26273  aareccl  26274  dchrfi  27206  nthrucw  47318  cjnpoly  47323