Theorem ne0p 26266

Description: A test to show that a polynomial is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ne0p	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem ne0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0pval 25725	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)
2		fveq1 6919	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹‘𝐴) = (0𝑝‘𝐴))
3	2	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ (0𝑝‘𝐴) = 0))
4	1, 3	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹‘𝐴) = 0))
5	4	necon3d 2967	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝))
6	5	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  0cc0 11184  0_𝑝c0p 25723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-mulcl 11246  ax-i2m1 11252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-0p 25724

This theorem is referenced by:  dgrmulc  26331  qaa  26383  iaa  26385  aareccl  26386  dchrfi  27317