MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ne0p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ne0p 25552
Description: A test to show that a polynomial is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ne0p ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)

Proof of Theorem ne0p
StepHypRef Expression
1 0pval 25019 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝𝐴) = 0)
2 fveq1 6838 . . . . 5 (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹𝐴) = (0𝑝𝐴))
32eqeq1d 2738 . . . 4 (𝐹 = 0𝑝 → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ (0𝑝𝐴) = 0))
41, 3syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 = 0𝑝 → (𝐹𝐴) = 0))
54necon3d 2962 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐹𝐴) ≠ 0 → 𝐹 ≠ 0𝑝))
65imp 407 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) ≠ 0) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cfv 6493  cc 11045  0cc0 11047  0𝑝c0p 25017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-mulcl 11109  ax-i2m1 11115
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-0p 25018
This theorem is referenced by:  dgrmulc  25616  qaa  25667  iaa  25669  aareccl  25670  dchrfi  26587
  Copyright terms: Public domain W3C validator