Theorem qaa 26375

Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qaa	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 13022	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		qsscn 13019	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
3		1z 12667	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zq 13013	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℚ
6		plyid 26260	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
7	2, 5, 6	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℚ)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9		plyconst 26257	. . . . . 6 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
10	2, 9	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11		qaddcl 13024	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13		qmulcl 13026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15		qnegcl 13025	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℚ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
18	8, 10, 12, 14, 17	plysub 26270	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19		peano2cn 11456	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21		fnresi 6704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22		df-idp 26240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
23	22	fneq1i 6671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
24	21, 23	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xp Fn ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26		fnconstg 6804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27		cnex 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29		inidm 4248	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
30	22	fveq1i 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31		fvresi 7202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
32	30, 31	eqtrid 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34		fvconst2g 7234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
35	25, 26, 28, 28, 29, 33, 34	ofval 7719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
36	20, 35	mpdan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37		ax-1cn 11236	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		pncan2 11537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
39	1, 37, 38	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41		ax-1ne0 11247	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
43	40, 42	eqnetrd 3014	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44		ne0p 26258	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
45	20, 43, 44	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46		eldifsn 4811	. . . 4 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
47	18, 45, 46	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
48	22	fveq1i 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp‘𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49		fvresi 7202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
50	48, 49	eqtrid 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
52		fvconst2g 7234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
53	25, 26, 28, 28, 29, 51, 52	ofval 7719	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
54	1, 53	mpdan 686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
55	1	subidd 11629	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
56	54, 55	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57		fveq1 6914	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓‘𝐴) = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
58	57	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
59	58	rspcev 3635	. . 3 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
60	47, 56, 59	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
61		elqaa 26374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
62	1, 60, 61	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648   I cid 5592   × cxp 5693   ↾ cres 5697   Fn wfn 6563  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443   ∘_f cof 7706  ℂcc 11176  0cc0 11178  1c1 11179   + caddc 11181   · cmul 11183   − cmin 11514  -cneg 11515  ℤcz 12633  ℚcq 13007  0_𝑝c0p 25715  Polycply 26235  X_pcidp 26236  𝔸caa 26366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-inf2 9704  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-pre-sup 11256

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-se 5651  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-isom 6577  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7708  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-er 8757  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-sup 9505  df-inf 9506  df-oi 9573  df-card 10002  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-div 11942  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-n0 12548  df-z 12634  df-uz 12898  df-q 13008  df-rp 13052  df-fz 13562  df-fzo 13706  df-fl 13837  df-mod 13915  df-seq 14047  df-exp 14107  df-hash 14374  df-cj 15142  df-re 15143  df-im 15144  df-sqrt 15278  df-abs 15279  df-clim 15528  df-rlim 15529  df-sum 15729  df-0p 25716  df-ply 26239  df-idp 26240  df-coe 26241  df-dgr 26242  df-aa 26367

This theorem is referenced by:  qssaa  26376