Theorem qaa 25483

Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qaa	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 12703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		qsscn 12700	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
3		1z 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zq 12694	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℚ
6		plyid 25370	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
7	2, 5, 6	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℚ)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9		plyconst 25367	. . . . . 6 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
10	2, 9	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11		qaddcl 12705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
12	11	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13		qmulcl 12707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15		qnegcl 12706	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℚ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
18	8, 10, 12, 14, 17	plysub 25380	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19		peano2cn 11147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21		fnresi 6561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22		df-idp 25350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
23	22	fneq1i 6530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
24	21, 23	mpbir 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xp Fn ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26		fnconstg 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27		cnex 10952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29		inidm 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
30	22	fveq1i 6775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31		fvresi 7045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
32	30, 31	eqtrid 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
33	32	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34		fvconst2g 7077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
35	25, 26, 28, 28, 29, 33, 34	ofval 7544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
36	20, 35	mpdan 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37		ax-1cn 10929	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		pncan2 11228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
39	1, 37, 38	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41		ax-1ne0 10940	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
43	40, 42	eqnetrd 3011	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44		ne0p 25368	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
45	20, 43, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46		eldifsn 4720	. . . 4 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
47	18, 45, 46	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
48	22	fveq1i 6775	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp‘𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49		fvresi 7045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
50	48, 49	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
51	50	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
52		fvconst2g 7077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
53	25, 26, 28, 28, 29, 51, 52	ofval 7544	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
54	1, 53	mpdan 684	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
55	1	subidd 11320	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
56	54, 55	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57		fveq1 6773	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓‘𝐴) = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
58	57	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
59	58	rspcev 3561	. . 3 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
60	47, 56, 59	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
61		elqaa 25482	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
62	1, 60, 61	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561   I cid 5488   × cxp 5587   ↾ cres 5591   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206  ℤcz 12319  ℚcq 12688  0_𝑝c0p 24833  Polycply 25345  X_pcidp 25346  𝔸caa 25474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-idp 25350  df-coe 25351  df-dgr 25352  df-aa 25475

This theorem is referenced by:  qssaa  25484