MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qaa 25483
Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
qaa (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qcn 12703 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 qsscn 12700 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℂ
3 1z 12350 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
4 zq 12694 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ ℚ
6 plyid 25370 . . . . . . 7 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
72, 5, 6mp2an 689 . . . . . 6 Xp ∈ (Poly‘ℚ)
87a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9 plyconst 25367 . . . . . 6 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
102, 9mpan 687 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11 qaddcl 12705 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
1211adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13 qmulcl 12707 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15 qnegcl 12706 . . . . . . 7 (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
165, 15ax-mp 5 . . . . . 6 -1 ∈ ℚ
1716a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
188, 10, 12, 14, 17plysub 25380 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19 peano2cn 11147 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21 fnresi 6561 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22 df-idp 25350 . . . . . . . . . . . 12 Xp = ( I ↾ ℂ)
2322fneq1i 6530 . . . . . . . . . . 11 (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
2421, 23mpbir 230 . . . . . . . . . 10 Xp Fn ℂ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26 fnconstg 6662 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27 cnex 10952 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29 inidm 4152 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
3022fveq1i 6775 . . . . . . . . . . 11 (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31 fvresi 7045 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3230, 31eqtrid 2790 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3332adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34 fvconst2g 7077 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
3525, 26, 28, 28, 29, 33, 34ofval 7544 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
3620, 35mpdan 684 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37 ax-1cn 10929 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
38 pncan2 11228 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
391, 37, 38sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
4036, 39eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41 ax-1ne0 10940 . . . . . . 7 1 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
4340, 42eqnetrd 3011 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44 ne0p 25368 . . . . 5 (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
4520, 43, 44syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46 eldifsn 4720 . . . 4 ((Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
4718, 45, 46sylanbrc 583 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
4822fveq1i 6775 . . . . . . . 8 (Xp𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49 fvresi 7045 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
5048, 49eqtrid 2790 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (Xp𝐴) = 𝐴)
5150adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp𝐴) = 𝐴)
52 fvconst2g 7077 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
5325, 26, 28, 28, 29, 51, 52ofval 7544 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
541, 53mpdan 684 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
551subidd 11320 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴𝐴) = 0)
5654, 55eqtrd 2778 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57 fveq1 6773 . . . . 5 (𝑓 = (Xpf − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓𝐴) = ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
5857eqeq1d 2740 . . . 4 (𝑓 = (Xpf − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓𝐴) = 0 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
5958rspcev 3561 . . 3 (((Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
6047, 56, 59syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
61 elqaa 25482 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
621, 60, 61sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3432  cdif 3884  wss 3887  {csn 4561   I cid 5488   × cxp 5587  cres 5591   Fn wfn 6428  cfv 6433  (class class class)co 7275  f cof 7531  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cmin 11205  -cneg 11206  cz 12319  cq 12688  0𝑝c0p 24833  Polycply 25345  Xpcidp 25346  𝔸caa 25474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-0p 24834  df-ply 25349  df-idp 25350  df-coe 25351  df-dgr 25352  df-aa 25475
This theorem is referenced by:  qssaa  25484
  Copyright terms: Public domain W3C validator