MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qaa 26355
Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
qaa (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qcn 13001 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 qsscn 12998 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℂ
3 1z 12643 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
4 zq 12992 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ ℚ
6 plyid 26238 . . . . . . 7 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
72, 5, 6mp2an 692 . . . . . 6 Xp ∈ (Poly‘ℚ)
87a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9 plyconst 26235 . . . . . 6 ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
102, 9mpan 690 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11 qaddcl 13003 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
1211adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13 qmulcl 13005 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15 qnegcl 13004 . . . . . . 7 (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
165, 15ax-mp 5 . . . . . 6 -1 ∈ ℚ
1716a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
188, 10, 12, 14, 17plysub 26248 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19 peano2cn 11429 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
201, 19syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21 fnresi 6695 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22 df-idp 26218 . . . . . . . . . . . 12 Xp = ( I ↾ ℂ)
2322fneq1i 6663 . . . . . . . . . . 11 (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
2421, 23mpbir 231 . . . . . . . . . 10 Xp Fn ℂ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26 fnconstg 6794 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27 cnex 11232 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29 inidm 4226 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
3022fveq1i 6905 . . . . . . . . . . 11 (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31 fvresi 7191 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3230, 31eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
3332adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34 fvconst2g 7220 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
3525, 26, 28, 28, 29, 33, 34ofval 7705 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
3620, 35mpdan 687 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37 ax-1cn 11209 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
38 pncan2 11511 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
391, 37, 38sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
4036, 39eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41 ax-1ne0 11220 . . . . . . 7 1 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
4340, 42eqnetrd 3007 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44 ne0p 26236 . . . . 5 (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
4520, 43, 44syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46 eldifsn 4784 . . . 4 ((Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
4718, 45, 46sylanbrc 583 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
4822fveq1i 6905 . . . . . . . 8 (Xp𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49 fvresi 7191 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
5048, 49eqtrid 2788 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (Xp𝐴) = 𝐴)
5150adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp𝐴) = 𝐴)
52 fvconst2g 7220 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
5325, 26, 28, 28, 29, 51, 52ofval 7705 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
541, 53mpdan 687 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴𝐴))
551subidd 11604 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴𝐴) = 0)
5654, 55eqtrd 2776 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57 fveq1 6903 . . . . 5 (𝑓 = (Xpf − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓𝐴) = ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
5857eqeq1d 2738 . . . 4 (𝑓 = (Xpf − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓𝐴) = 0 ↔ ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
5958rspcev 3621 . . 3 (((Xpf − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
6047, 56, 59syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0)
61 elqaa 26354 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓𝐴) = 0))
621, 60, 61sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2939  wrex 3069  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  {csn 4624   I cid 5575   × cxp 5681  cres 5685   Fn wfn 6554  cfv 6559  (class class class)co 7429  f cof 7692  cc 11149  0cc0 11151  1c1 11152   + caddc 11154   · cmul 11156  cmin 11488  -cneg 11489  cz 12609  cq 12986  0𝑝c0p 25694  Polycply 26213  Xpcidp 26214  𝔸caa 26346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-q 12987  df-rp 13031  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-0p 25695  df-ply 26217  df-idp 26218  df-coe 26219  df-dgr 26220  df-aa 26347
This theorem is referenced by:  qssaa  26356
  Copyright terms: Public domain W3C validator