Theorem qaa 26484

Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qaa	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 12982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		qsscn 12979	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
3		1z 12619	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zq 12973	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℚ
6		plyid 26366	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
7	2, 5, 6	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℚ)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9		plyconst 26363	. . . . . 6 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
10	2, 9	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11		qaddcl 12984	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
12	11	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13		qmulcl 12986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
14	13	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15		qnegcl 12985	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℚ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
18	8, 10, 12, 14, 17	plysub 26376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19		peano2cn 11377	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
20	1, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21		fnresi 6664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22		df-idp 26346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
23	22	fneq1i 6632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
24	21, 23	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xp Fn ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26		fnconstg 6766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27		cnex 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29		inidm 4179	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
30	22	fveq1i 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31		fvresi 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
32	30, 31	eqtrid 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
33	32	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34		fvconst2g 7200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
35	25, 26, 28, 28, 29, 33, 34	ofval 7685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
36	20, 35	mpdan 699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37		ax-1cn 11153	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		pncan2 11459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
39	1, 37, 38	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41		ax-1ne0 11164	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
43	40, 42	eqnetrd 3025	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44		ne0p 26364	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
45	20, 43, 44	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46		eldifsn 4753	. . . 4 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
47	18, 45, 46	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
48	22	fveq1i 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp‘𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49		fvresi 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
50	48, 49	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
51	50	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
52		fvconst2g 7200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
53	25, 26, 28, 28, 29, 51, 52	ofval 7685	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
54	1, 53	mpdan 699	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
55	1	subidd 11552	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
56	54, 55	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57		fveq1 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓‘𝐴) = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
58	57	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
59	58	rspcev 3581	. . 3 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
60	47, 56, 59	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
61		elqaa 26483	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
62	1, 60, 61	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589   I cid 5555   × cxp 5659   ↾ cres 5663   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  -cneg 11437  ℤcz 12586  ℚcq 12967  0_𝑝c0p 25828  Polycply 26341  X_pcidp 26342  𝔸caa 26475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-0p 25829  df-ply 26345  df-idp 26346  df-coe 26347  df-dgr 26348  df-aa 26476

This theorem is referenced by:  qssaa  26485