Theorem qaa 24919

Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qaa	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 12350	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		qsscn 12347	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
3		1z 12000	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zq 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℚ
6		plyid 24806	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
7	2, 5, 6	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℚ)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9		plyconst 24803	. . . . . 6 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
10	2, 9	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11		qaddcl 12352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
12	11	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13		qmulcl 12354	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
14	13	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15		qnegcl 12353	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℚ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
18	8, 10, 12, 14, 17	plysub 24816	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19		peano2cn 10801	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21		fnresi 6448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22		df-idp 24786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
23	22	fneq1i 6420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
24	21, 23	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xp Fn ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26		fnconstg 6541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27		cnex 10607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29		inidm 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
30	22	fveq1i 6646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31		fvresi 6912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
32	30, 31	syl5eq 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
33	32	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34		fvconst2g 6941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
35	25, 26, 28, 28, 29, 33, 34	ofval 7398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
36	20, 35	mpdan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37		ax-1cn 10584	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		pncan2 10882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
39	1, 37, 38	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41		ax-1ne0 10595	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
43	40, 42	eqnetrd 3054	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44		ne0p 24804	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
45	20, 43, 44	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46		eldifsn 4680	. . . 4 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
47	18, 45, 46	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
48	22	fveq1i 6646	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp‘𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49		fvresi 6912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
50	48, 49	syl5eq 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
51	50	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
52		fvconst2g 6941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
53	25, 26, 28, 28, 29, 51, 52	ofval 7398	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
54	1, 53	mpdan 686	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
55	1	subidd 10974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
56	54, 55	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57		fveq1 6644	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓‘𝐴) = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
58	57	eqeq1d 2800	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
59	58	rspcev 3571	. . 3 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
60	47, 56, 59	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
61		elqaa 24918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
62	1, 60, 61	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525   I cid 5424   × cxp 5517   ↾ cres 5521   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  -cneg 10860  ℤcz 11969  ℚcq 12336  0_𝑝c0p 24273  Polycply 24781  X_pcidp 24782  𝔸caa 24910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-0p 24274  df-ply 24785  df-idp 24786  df-coe 24787  df-dgr 24788  df-aa 24911

This theorem is referenced by:  qssaa  24920