Theorem qaa 25388

Description: Every rational number is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qaa	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Proof of Theorem qaa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 12632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		qsscn 12629	. . . . . . 7 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
3		1z 12280	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zq 12623	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℚ
6		plyid 25275	. . . . . . 7 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ) → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
7	2, 5, 6	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ Xp ∈ (Poly‘ℚ)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp ∈ (Poly‘ℚ))
9		plyconst 25272	. . . . . 6 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
10	2, 9	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℚ))
11		qaddcl 12634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℚ)
13		qmulcl 12636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℚ)
15		qnegcl 12635	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
16	5, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℚ
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
18	8, 10, 12, 14, 17	plysub 25285	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ))
19		peano2cn 11077	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
21		fnresi 6545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ
22		df-idp 25255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
23	22	fneq1i 6514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp Fn ℂ ↔ ( I ↾ ℂ) Fn ℂ)
24	21, 23	mpbir 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ Xp Fn ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → Xp Fn ℂ)
26		fnconstg 6646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (ℂ × {𝐴}) Fn ℂ)
27		cnex 10883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ℂ ∈ V)
29		inidm 4149	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
30	22	fveq1i 6757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Xp‘(𝐴 + 1)) = (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1))
31		fvresi 7027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
32	30, 31	syl5eq 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℂ → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → (Xp‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
34		fvconst2g 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘(𝐴 + 1)) = 𝐴)
35	25, 26, 28, 28, 29, 33, 34	ofval 7522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
36	20, 35	mpdan 683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = ((𝐴 + 1) − 𝐴))
37		ax-1cn 10860	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
38		pncan2 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
39	1, 37, 38	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((𝐴 + 1) − 𝐴) = 1)
40	36, 39	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) = 1)
41		ax-1ne0 10871	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
42	41	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 1 ≠ 0)
43	40, 42	eqnetrd 3010	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0)
44		ne0p 25273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℂ ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘(𝐴 + 1)) ≠ 0) → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
45	20, 43, 44	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝)
46		eldifsn 4717	. . . 4 ⊢ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ≠ 0𝑝))
47	18, 45, 46	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
48	22	fveq1i 6757	. . . . . . . 8 ⊢ (Xp‘𝐴) = (( I ↾ ℂ)‘𝐴)
49		fvresi 7027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (( I ↾ ℂ)‘𝐴) = 𝐴)
50	48, 49	syl5eq 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
51	50	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (Xp‘𝐴) = 𝐴)
52		fvconst2g 7059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝐴) = 𝐴)
53	25, 26, 28, 28, 29, 51, 52	ofval 7522	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
54	1, 53	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
55	1	subidd 11250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
56	54, 55	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0)
57		fveq1 6755	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → (𝑓‘𝐴) = ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴))
58	57	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0))
59	58	rspcev 3552	. . 3 ⊢ (((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴})) ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
60	47, 56, 59	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
61		elqaa 25387	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
62	1, 60, 61	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558   I cid 5479   × cxp 5578   ↾ cres 5582   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136  ℤcz 12249  ℚcq 12617  0_𝑝c0p 24738  Polycply 25250  X_pcidp 25251  𝔸caa 25379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-0p 24739  df-ply 25254  df-idp 25255  df-coe 25256  df-dgr 25257  df-aa 25380

This theorem is referenced by:  qssaa  25389