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Theorem dchrfi 25533
Description: The group of Dirichlet characters is a finite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabl.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrfi.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrfi (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)

Proof of Theorem dchrfi
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8391 . . . 4 {0} ∈ Fin
2 cnex 10416 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
4 ovexd 7010 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) ∈ V)
5 1cnd 10434 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
6 eqidd 2780 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))))
7 fconstmpt 5464 . . . . . . . . 9 (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
93, 4, 5, 6, 8offval2 7244 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∘𝑓 − (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
10 ssid 3880 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
12 1cnd 10434 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
13 phicl 15962 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
1413nnnn0d 11767 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
15 plypow 24498 . . . . . . . . 9 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∈ (Poly‘ℂ))
1611, 12, 14, 15syl3anc 1351 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∈ (Poly‘ℂ))
17 ax-1cn 10393 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
18 plyconst 24499 . . . . . . . . 9 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
1910, 17, 18mp2an 679 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
20 plysubcl 24515 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∘𝑓 − (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℂ))
2116, 19, 20sylancl 577 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∘𝑓 − (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℂ))
229, 21eqeltrrd 2868 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∈ (Poly‘ℂ))
23 0cn 10431 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
24 neg1ne0 11563 . . . . . . . 8 -1 ≠ 0
25130expd 13318 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(ϕ‘𝑁)) = 0)
2625oveq1d 6991 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = (0 − 1))
27 oveq1 6983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 0 → (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) = (0↑(ϕ‘𝑁)))
2827oveq1d 6991 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
29 eqid 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
30 ovex 7008 . . . . . . . . . . . 12 ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6595 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) = ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
3223, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) = ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1)
33 df-neg 10673 . . . . . . . . . 10 -1 = (0 − 1)
3426, 32, 333eqtr4g 2840 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) = -1)
3534neeq1d 3027 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) ≠ 0 ↔ -1 ≠ 0))
3624, 35mpbiri 250 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) ≠ 0)
37 ne0p 24500 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ≠ 0𝑝)
3823, 36, 37sylancr 578 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ≠ 0𝑝)
3929mptiniseg 5932 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) “ {0}) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})
4023, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) “ {0}) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}
4140eqcomi 2788 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) “ {0})
4241fta1 24600 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ≠ 0𝑝) → ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ≤ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))))
4322, 38, 42syl2anc 576 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ≤ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))))
4443simpld 487 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin)
45 unfi 8580 . . . 4 (({0} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin) → ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ∈ Fin)
461, 44, 45sylancr 578 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ∈ Fin)
47 eqid 2779 . . . 4 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
48 eqid 2779 . . . 4 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
4947, 48znfi 20408 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
50 mapfi 8615 . . 3 ((({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ∈ Fin ∧ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin) → (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Fin)
5146, 49, 50syl2anc 576 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Fin)
52 dchrabl.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
53 dchrfi.b . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
54 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
5552, 47, 53, 48, 54dchrf 25520 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
5655ffnd 6345 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
57 df-ne 2969 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑓𝑥) = 0)
58 fvex 6512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
5958elsn 4456 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ∈ {0} ↔ (𝑓𝑥) = 0)
6057, 59xchbinxr 327 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑓𝑥) ∈ {0})
61 oveq1 6983 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) = ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)))
6261oveq1d 6991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑓𝑥) → ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
6362eqeq1d 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0 ↔ (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0))
64 simpl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
65 ffvelrn 6674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
6655, 64, 65syl2an 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
6752, 47, 53dchrmhm 25519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
68 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑓𝐷)
6967, 68sseldi 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
7014ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
71 simprl 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
72 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
7372, 48mgpbas 18968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
74 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
75 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
7673, 74, 75mhmmulg 18052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑓‘((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥)) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)))
7769, 70, 71, 76syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓‘((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥)) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)))
78 nnnn0 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7947zncrng 20393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
81 crngring 19031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
8382ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
84 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
85 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
8684, 85unitgrp 19140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp)
8783, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp)
8847, 84znunithash 20413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
8988, 14eqeltrd 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ ℕ0)
90 fvex 6512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V
91 hashclb 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V → ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin ↔ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ ℕ0))
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin ↔ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ ℕ0)
9389, 92sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
9493ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
95 simprr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓𝑥) ≠ 0)
9652, 47, 53, 48, 84, 68, 71dchrn0 25528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((𝑓𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
9795, 96mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9884, 85unitgrpbas 19139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
99 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10098, 99oddvds2 18454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp ∧ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10187, 94, 97, 100syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10288ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
103101, 102breqtrd 4955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (ϕ‘𝑁))
10413ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
105104nnzd 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ)
106 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
107 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10898, 99, 106, 107oddvds 18437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (ϕ‘𝑁) ↔ ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
10987, 97, 105, 108syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (ϕ‘𝑁) ↔ ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
110103, 109mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
11184, 72unitsubm 19143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
11283, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
11374, 85, 106submmulg 18055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥))
114112, 70, 97, 113syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥))
115 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
11672, 115ringidval 18976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (0g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
11785, 116subm0 17824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
118112, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
119110, 114, 1183eqtr4d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
120119fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓‘((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥)) = (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
12177, 120eqtr3d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)) = (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
122 cnfldexp 20280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑥) ∈ ℂ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)))
12366, 70, 122syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)))
124 eqid 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
125 cnfld1 20272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (1r‘ℂfld)
126124, 125ringidval 18976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
127116, 126mhm0 17811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
12869, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
129121, 123, 1283eqtr3d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) = 1)
130129oveq1d 6991 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = (1 − 1))
131 1m1e0 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
132130, 131syl6eq 2831 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0)
13363, 66, 132elrabd 3599 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})
134133expr 449 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑓𝑥) ≠ 0 → (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
13560, 134syl5bir 235 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (¬ (𝑓𝑥) ∈ {0} → (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
136135orrd 849 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑓𝑥) ∈ {0} ∨ (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
137 elun 4015 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↔ ((𝑓𝑥) ∈ {0} ∨ (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
138136, 137sylibr 226 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
139138ralrimiva 3133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
140 ffnfv 6705 . . . . . 6 (𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↔ (𝑓 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})))
14156, 139, 140sylanbrc 575 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
142141ex 405 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓𝐷𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})))
14346, 49elmapd 8220 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓 ∈ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ 𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})))
144142, 143sylibrd 251 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓𝐷𝑓 ∈ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
145144ssrdv 3865 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ⊆ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑𝑚 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
14651, 145ssfid 8536 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3416  cun 3828  wss 3830  {csn 4441   class class class wbr 4929  cmpt 5008   × cxp 5405  ccnv 5406  cima 5410   Fn wfn 6183  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  𝑓 cof 7225  𝑚 cmap 8206  Fincfn 8306  cc 10333  0cc0 10335  1c1 10336  cle 10475  cmin 10670  -cneg 10671  cn 11439  0cn0 11707  cz 11793  cexp 13244  chash 13505  cdvds 15467  ϕcphi 15957  Basecbs 16339  s cress 16340  0gc0g 16569   MndHom cmhm 17801  SubMndcsubmnd 17802  Grpcgrp 17891  .gcmg 18011  odcod 18414  mulGrpcmgp 18962  1rcur 18974  Ringcrg 19020  CRingccrg 19021  Unitcui 19112  fldccnfld 20247  ℤ/nczn 20352  0𝑝c0p 23973  Polycply 24477  degcdgr 24480  DChrcdchr 25510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-disj 4898  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-omul 7910  df-er 8089  df-ec 8091  df-qs 8095  df-map 8208  df-pm 8209  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-dju 9124  df-card 9162  df-acn 9165  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-sum 14904  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-phi 15959  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-0g 16571  df-imas 16637  df-qus 16638  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-nsg 18061  df-eqg 18062  df-ghm 18127  df-od 18418  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-rnghom 19190  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-lidl 19668  df-rsp 19669  df-2idl 19726  df-cnfld 20248  df-zring 20320  df-zrh 20353  df-zn 20356  df-0p 23974  df-ply 24481  df-idp 24482  df-coe 24483  df-dgr 24484  df-quot 24583  df-dchr 25511
This theorem is referenced by:  sumdchr2  25548  dchrhash  25549  rpvmasum2  25790  dchrisum0re  25791
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