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Theorem dchrfi 25758
Description: The group of Dirichlet characters is a finite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabl.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrfi.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrfi (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)

Proof of Theorem dchrfi
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 8582 . . . 4 {0} ∈ Fin
2 cnex 10606 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ℂ ∈ V)
4 ovexd 7180 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) ∈ V)
5 1cnd 10624 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
6 eqidd 2819 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))))
7 fconstmpt 5607 . . . . . . . . 9 (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
93, 4, 5, 6, 8offval2 7415 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∘f − (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))
10 ssid 3986 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
12 1cnd 10624 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
13 phicl 16094 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
1413nnnn0d 11943 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
15 plypow 24722 . . . . . . . . 9 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∈ (Poly‘ℂ))
1611, 12, 14, 15syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∈ (Poly‘ℂ))
17 ax-1cn 10583 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
18 plyconst 24723 . . . . . . . . 9 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ))
1910, 17, 18mp2an 688 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)
20 plysubcl 24739 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∘f − (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℂ))
2116, 19, 20sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑(ϕ‘𝑁))) ∘f − (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℂ))
229, 21eqeltrrd 2911 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∈ (Poly‘ℂ))
23 0cn 10621 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
24 neg1ne0 11741 . . . . . . . 8 -1 ≠ 0
25130expd 13491 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑(ϕ‘𝑁)) = 0)
2625oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = (0 − 1))
27 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 0 → (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) = (0↑(ϕ‘𝑁)))
2827oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 0 → ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
29 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
30 ovex 7178 . . . . . . . . . . . 12 ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1) ∈ V
3128, 29, 30fvmpt 6761 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) = ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
3223, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) = ((0↑(ϕ‘𝑁)) − 1)
33 df-neg 10861 . . . . . . . . . 10 -1 = (0 − 1)
3426, 32, 333eqtr4g 2878 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) = -1)
3534neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) ≠ 0 ↔ -1 ≠ 0))
3624, 35mpbiri 259 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) ≠ 0)
37 ne0p 24724 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ≠ 0𝑝)
3823, 36, 37sylancr 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ≠ 0𝑝)
3929mptiniseg 6086 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) “ {0}) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})
4023, 39ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) “ {0}) = {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}
4140eqcomi 2827 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) “ {0})
4241fta1 24824 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)) ≠ 0𝑝) → ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ≤ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))))
4322, 38, 42syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ({𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ≤ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1)))))
4443simpld 495 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin)
45 unfi 8773 . . . 4 (({0} ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0} ∈ Fin) → ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ∈ Fin)
461, 44, 45sylancr 587 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ∈ Fin)
47 eqid 2818 . . . 4 (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
48 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
4947, 48znfi 20634 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
50 mapfi 8808 . . 3 ((({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ∈ Fin ∧ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin) → (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑m (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Fin)
5146, 49, 50syl2anc 584 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑m (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Fin)
52 dchrabl.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
53 dchrfi.b . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
54 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
5552, 47, 53, 48, 54dchrf 25745 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ)
5655ffnd 6508 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
57 df-ne 3014 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑓𝑥) = 0)
58 fvex 6676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
5958elsn 4572 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑥) ∈ {0} ↔ (𝑓𝑥) = 0)
6057, 59xchbinxr 336 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑥) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑓𝑥) ∈ {0})
61 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (𝑧↑(ϕ‘𝑁)) = ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)))
6261oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑓𝑥) → ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1))
6362eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑓𝑥) → (((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0 ↔ (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0))
64 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
65 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
6655, 64, 65syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
6752, 47, 53dchrmhm 25744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
68 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑓𝐷)
6967, 68sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
7014ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
71 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
72 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
7372, 48mgpbas 19174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
74 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
75 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
7673, 74, 75mhmmulg 18206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑓‘((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥)) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)))
7769, 70, 71, 76syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓‘((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥)) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)))
78 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7947zncrng 20619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing)
81 crngring 19237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ CRing → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
8382ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring)
84 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
85 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
8684, 85unitgrp 19346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp)
8783, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp)
8847, 84znunithash 20639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
8988, 14eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ ℕ0)
90 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V
91 hashclb 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ V → ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin ↔ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ ℕ0))
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin ↔ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ ℕ0)
9389, 92sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
9493ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin)
95 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓𝑥) ≠ 0)
9652, 47, 53, 48, 84, 68, 71dchrn0 25753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((𝑓𝑥) ≠ 0 ↔ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
9795, 96mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
9884, 85unitgrpbas 19345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
99 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10098, 99oddvds2 18622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp ∧ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10187, 94, 97, 100syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10288ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (♯‘(Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = (ϕ‘𝑁))
103101, 102breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (ϕ‘𝑁))
10413ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
105104nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ)
106 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
107 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
10898, 99, 106, 107oddvds 18604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℤ) → (((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (ϕ‘𝑁) ↔ ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
10987, 97, 105, 108syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (((od‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))‘𝑥) ∥ (ϕ‘𝑁) ↔ ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))))
110103, 109mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
11184, 72unitsubm 19349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ Ring → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
11283, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
11374, 85, 106submmulg 18209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥))
114112, 70, 97, 113syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥) = ((ϕ‘𝑁)(.g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))𝑥))
115 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
11672, 115ringidval 19182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (0g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
11785, 116subm0 17968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
118112, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (0g‘((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↾s (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
119110, 114, 1183eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥) = (1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
120119fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓‘((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))𝑥)) = (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
12177, 120eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)) = (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
122 cnfldexp 20506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑥) ∈ ℂ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)))
12366, 70, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((ϕ‘𝑁)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))(𝑓𝑥)) = ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)))
124 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
125 cnfld1 20498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (1r‘ℂfld)
126124, 125ringidval 19182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
127116, 126mhm0 17952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ ((mulGrp‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
12869, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓‘(1r‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) = 1)
129121, 123, 1283eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → ((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) = 1)
130129oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = (1 − 1))
131 1m1e0 11697 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
132130, 131syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (((𝑓𝑥)↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0)
13363, 66, 132elrabd 3679 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ (𝑓𝑥) ≠ 0)) → (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})
134133expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑓𝑥) ≠ 0 → (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
13560, 134syl5bir 244 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (¬ (𝑓𝑥) ∈ {0} → (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
136135orrd 857 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → ((𝑓𝑥) ∈ {0} ∨ (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
137 elun 4122 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↔ ((𝑓𝑥) ∈ {0} ∨ (𝑓𝑥) ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
138136, 137sylibr 235 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) → (𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
139138ralrimiva 3179 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
140 ffnfv 6874 . . . . . 6 (𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↔ (𝑓 Fn (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))(𝑓𝑥) ∈ ({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})))
14156, 139, 140sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}))
142141ex 413 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓𝐷𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})))
14346, 49elmapd 8409 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓 ∈ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑m (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))) ↔ 𝑓:(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))⟶({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0})))
144142, 143sylibrd 260 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓𝐷𝑓 ∈ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑m (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))))
145144ssrdv 3970 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ⊆ (({0} ∪ {𝑧 ∈ ℂ ∣ ((𝑧↑(ϕ‘𝑁)) − 1) = 0}) ↑m (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))))
14651, 145ssfid 8729 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  ccnv 5547  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  m cmap 8395  Fincfn 8497  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cexp 13417  chash 13678  cdvds 15595  ϕcphi 16089  Basecbs 16471  s cress 16472  0gc0g 16701   MndHom cmhm 17942  SubMndcsubmnd 17943  Grpcgrp 18041  .gcmg 18162  odcod 18581  mulGrpcmgp 19168  1rcur 19180  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227  Unitcui 19318  fldccnfld 20473  ℤ/nczn 20578  0𝑝c0p 24197  Polycply 24701  degcdgr 24704  DChrcdchr 25735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-phi 16091  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-imas 16769  df-qus 16770  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-nsg 18215  df-eqg 18216  df-ghm 18294  df-od 18585  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-rnghom 19396  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875  df-rsp 19876  df-2idl 19933  df-cnfld 20474  df-zring 20546  df-zrh 20579  df-zn 20582  df-0p 24198  df-ply 24705  df-idp 24706  df-coe 24707  df-dgr 24708  df-quot 24807  df-dchr 25736
This theorem is referenced by:  sumdchr2  25773  dchrhash  25774  rpvmasum2  26015  dchrisum0re  26016
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