Theorem plyconst 26239

Description: A constant function is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyconst	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem plyconst

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp0 14068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
2	1	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑0) = 1)
3	2	oveq2d 7401	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = (𝐴 · 1))
4		ssel2 3926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	mulridd 11189	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
7	3, 6	eqtrd 2791	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = 𝐴)
8	7	mpteq2dva 5187	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
9		fconstmpt 5702	. . 3 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
10	8, 9	eqtr4di 2809	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) = (ℂ × {𝐴}))
11		0nn0 12486	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		eqid 2756	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0)))
13	12	ply1term 26237	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) ∈ (Poly‘𝑆))
14	11, 13	mp3an3 1465	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) ∈ (Poly‘𝑆))
15	10, 14	eqeltrrd 2857	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899  {csn 4576   ↦ cmpt 5175   × cxp 5638  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  0cc0 11063  1c1 11064   · cmul 11068  ℕ₀cn0 12471  ↑cexp 14064  Polycply 26217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-sum 15690  df-ply 26221

This theorem is referenced by:  ply0  26241  plysub  26252  plyco  26274  0dgr  26278  coemulc  26288  coesub  26290  dgrmulc  26304  dgrsub  26305  plyremlem  26338  fta1lem  26341  vieta1lem2  26345  qaa  26357  iaa  26359  taylply2  26401  dchrfi  27289  mpaaeu  43675  rngunsnply  43694  nthrucw  47410  cjnpoly  47431