MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyconst 25702
Description: A constant function is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyconst ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem plyconst
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exp0 14027 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
21adantl 483 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑0) = 1)
32oveq2d 7420 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = (𝐴 · 1))
4 ssel2 3976 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
54adantr 482 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
65mulridd 11227 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
73, 6eqtrd 2773 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = 𝐴)
87mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
9 fconstmpt 5736 . . 3 (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
108, 9eqtr4di 2791 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) = (ℂ × {𝐴}))
11 0nn0 12483 . . 3 0 ∈ ℕ0
12 eqid 2733 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0)))
1312ply1term 25700 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) ∈ (Poly‘𝑆))
1411, 13mp3an3 1451 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) ∈ (Poly‘𝑆))
1510, 14eqeltrrd 2835 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3947  {csn 4627  cmpt 5230   × cxp 5673  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  0cn0 12468  cexp 14023  Polycply 25680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-ply 25684
This theorem is referenced by:  ply0  25704  plysub  25715  plyco  25737  0dgr  25741  coemulc  25751  coesub  25753  dgrmulc  25767  dgrsub  25768  plyremlem  25799  fta1lem  25802  vieta1lem2  25806  qaa  25818  iaa  25820  taylply2  25862  dchrfi  26738  mpaaeu  41825  rngunsnply  41848
  Copyright terms: Public domain W3C validator