MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyconst 25956
Description: A constant function is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyconst ((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (โ„‚ ร— {๐ด}) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))

Proof of Theorem plyconst
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exp0 14036 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘งโ†‘0) = 1)
21adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘งโ†‘0) = 1)
32oveq2d 7428 . . . . 5 (((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘0)) = (๐ด ยท 1))
4 ssel2 3977 . . . . . . 7 ((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65mulridd 11236 . . . . 5 (((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
73, 6eqtrd 2771 . . . 4 (((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘0)) = ๐ด)
87mpteq2dva 5248 . . 3 ((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘0))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐ด))
9 fconstmpt 5738 . . 3 (โ„‚ ร— {๐ด}) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐ด)
108, 9eqtr4di 2789 . 2 ((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘0))) = (โ„‚ ร— {๐ด}))
11 0nn0 12492 . . 3 0 โˆˆ โ„•0
12 eqid 2731 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘0))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘0)))
1312ply1term 25954 . . 3 ((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง 0 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘0))) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
1411, 13mp3an3 1449 . 2 ((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘0))) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
1510, 14eqeltrrd 2833 1 ((๐‘† โІ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘†) โ†’ (โ„‚ ร— {๐ด}) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โІ wss 3948  {csn 4628   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   ยท cmul 11119  โ„•0cn0 12477  โ†‘cexp 14032  Polycply 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-ply 25938
This theorem is referenced by:  ply0  25958  plysub  25969  plyco  25991  0dgr  25995  coemulc  26005  coesub  26007  dgrmulc  26022  dgrsub  26023  plyremlem  26054  fta1lem  26057  vieta1lem2  26061  qaa  26073  iaa  26075  taylply2  26117  dchrfi  26995  mpaaeu  42195  rngunsnply  42218
  Copyright terms: Public domain W3C validator