Theorem plyconst 26324

Description: A constant function is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyconst	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem plyconst

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp0 14092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑0) = 1)
2	1	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑0) = 1)
3	2	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = (𝐴 · 1))
4		ssel2 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	mulridd 11214	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
7	3, 6	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑0)) = 𝐴)
8	7	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
9		fconstmpt 5714	. . 3 ⊢ (ℂ × {𝐴}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
10	8, 9	eqtr4di 2818	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) = (ℂ × {𝐴}))
11		0nn0 12510	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0)))
13	12	ply1term 26322	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) ∈ (Poly‘𝑆))
14	11, 13	mp3an3 1474	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑0))) ∈ (Poly‘𝑆))
15	10, 14	eqeltrrd 2866	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  {csn 4585   ↦ cmpt 5186   × cxp 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093  ℕ₀cn0 12495  ↑cexp 14088  Polycply 26302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-ply 26306

This theorem is referenced by:  ply0  26326  plysub  26337  plyco  26359  0dgr  26363  coemulc  26373  coesub  26375  dgrmulc  26389  dgrsub  26390  plyremlem  26426  fta1lem  26429  vieta1lem2  26433  qaa  26445  iaa  26447  taylply2  26489  dchrfi  27377  mpaaeu  43739  rngunsnply  43758  nthrucw  47460  cjnpoly  47481