Theorem dgrmulc 26389

Description: Scalar multiplication by a nonzero constant does not change the degree of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrmulc	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))

Proof of Theorem dgrmulc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝))
2	1	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)))
3		fveq2 6871	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
4		dgr0 26380	. . . 4 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6	2, 5	eqeq12d 2781	. 2 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹) ↔ (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = 0))
7		ssid 3961	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
8		simpl1 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		plyconst 26324	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
10	7, 8, 9	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
11		0cn 11186	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
12		fvconst2g 7190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
13	8, 11, 12	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
14		simpl2 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ≠ 0)
15	13, 14	eqnetrd 3027	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0)
16		ne0p 26325	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
17	11, 15, 16	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
18		plyssc 26318	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
19		simpl3 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
20	18, 19	sselid 3937	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
21		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
22		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = (deg‘(ℂ × {𝐴}))
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
24	22, 23	dgrmul 26388	. . . 4 ⊢ ((((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝) ∧ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
25	10, 17, 20, 21, 24	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
26		0dgr 26363	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
27	8, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
28	27	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)) = (0 + (deg‘𝐹)))
29		dgrcl 26351	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
30	19, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12558	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (0 + (deg‘𝐹)) = (deg‘𝐹))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))
34		cnex 11169	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
36		simp1 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 0 ∈ ℂ)
38	35, 36, 37	ofc12 7694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0})) = (ℂ × {(𝐴 · 0)}))
39	36	mul01d 11397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 · 0) = 0)
40	39	sneqd 4597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → {(𝐴 · 0)} = {0})
41	40	xpeq2d 5682	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ × {(𝐴 · 0)}) = (ℂ × {0}))
42	38, 41	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0})) = (ℂ × {0}))
43		df-0p 25790	. . . . . 6 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
44	43	oveq2i 7411	. . . . 5 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0}))
45	42, 44, 43	3eqtr4g 2825	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
46	45	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = (deg‘0𝑝))
47	46, 4	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = 0)
48	6, 33, 47	pm2.61ne 3045	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  {csn 4585   × cxp 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662  ℂcc 11086  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093  ℕ₀cn0 12495  0_𝑝c0p 25789  Polycply 26302  degcdgr 26305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-0p 25790  df-ply 26306  df-coe 26308  df-dgr 26309

This theorem is referenced by:  dgrsub  26390  dgrcolem2  26392  mpaaeu  43739