Theorem dgrmulc 26261

Description: Scalar multiplication by a nonzero constant does not change the degree of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrmulc	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))

Proof of Theorem dgrmulc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7371	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝))
2	1	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)))
3		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
4		dgr0 26252	. . . 4 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6	2, 5	eqeq12d 2756	. 2 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹) ↔ (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = 0))
7		ssid 3944	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
8		simpl1 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		plyconst 26196	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
10	7, 8, 9	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
11		0cn 11134	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
12		fvconst2g 7153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
13	8, 11, 12	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
14		simpl2 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ≠ 0)
15	13, 14	eqnetrd 3002	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0)
16		ne0p 26197	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
17	11, 15, 16	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
18		plyssc 26190	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
19		simpl3 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
20	18, 19	sselid 3920	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
21		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
22		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = (deg‘(ℂ × {𝐴}))
23		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
24	22, 23	dgrmul 26260	. . . 4 ⊢ ((((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝) ∧ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
25	10, 17, 20, 21, 24	syl22anc 844	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
26		0dgr 26235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
27	8, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
28	27	oveq1d 7378	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)) = (0 + (deg‘𝐹)))
29		dgrcl 26223	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
30	19, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12498	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11345	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (0 + (deg‘𝐹)) = (deg‘𝐹))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))
34		cnex 11117	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
36		simp1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 0 ∈ ℂ)
38	35, 36, 37	ofc12 7657	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0})) = (ℂ × {(𝐴 · 0)}))
39	36	mul01d 11343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 · 0) = 0)
40	39	sneqd 4574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → {(𝐴 · 0)} = {0})
41	40	xpeq2d 5655	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ × {(𝐴 · 0)}) = (ℂ × {0}))
42	38, 41	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0})) = (ℂ × {0}))
43		df-0p 25662	. . . . . 6 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
44	43	oveq2i 7374	. . . . 5 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0}))
45	42, 44, 43	3eqtr4g 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
46	45	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = (deg‘0𝑝))
47	46, 4	eqtrdi 2791	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = 0)
48	6, 33, 47	pm2.61ne 3020	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {csn 4562   × cxp 5623  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625  ℂcc 11034  0cc0 11036   + caddc 11039   · cmul 11041  ℕ₀cn0 12435  0_𝑝c0p 25661  Polycply 26174  degcdgr 26177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-0p 25662  df-ply 26178  df-coe 26180  df-dgr 26181

This theorem is referenced by:  dgrsub  26262  dgrcolem2  26264  mpaaeu  43602