Theorem dgrmulc 26465

Description: Scalar multiplication by a nonzero constant does not change the degree of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrmulc	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))

Proof of Theorem dgrmulc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7431	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝))
2	1	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)))
3		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
4		dgr0 26456	. . . 4 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2817	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6	2, 5	eqeq12d 2782	. 2 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹) ↔ (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = 0))
7		ssid 3962	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
8		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		plyconst 26400	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
10	7, 8, 9	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
11		0cn 11216	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
12		fvconst2g 7207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
13	8, 11, 12	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
14		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ≠ 0)
15	13, 14	eqnetrd 3028	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0)
16		ne0p 26401	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
17	11, 15, 16	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
18		plyssc 26394	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
19		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
20	18, 19	sselid 3938	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
21		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
22		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = (deg‘(ℂ × {𝐴}))
23		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
24	22, 23	dgrmul 26464	. . . 4 ⊢ ((((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝) ∧ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
25	10, 17, 20, 21, 24	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
26		0dgr 26439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
27	8, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
28	27	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)) = (0 + (deg‘𝐹)))
29		dgrcl 26427	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
30	19, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11429	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (0 + (deg‘𝐹)) = (deg‘𝐹))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))
34		cnex 11199	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
36		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 0 ∈ ℂ)
38	35, 36, 37	ofc12 7717	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0})) = (ℂ × {(𝐴 · 0)}))
39	36	mul01d 11427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 · 0) = 0)
40	39	sneqd 4606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → {(𝐴 · 0)} = {0})
41	40	xpeq2d 5696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ × {(𝐴 · 0)}) = (ℂ × {0}))
42	38, 41	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0})) = (ℂ × {0}))
43		df-0p 25866	. . . . . 6 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
44	43	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0}))
45	42, 44, 43	3eqtr4g 2826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
46	45	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = (deg‘0𝑝))
47	46, 4	eqtrdi 2817	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = 0)
48	6, 33, 47	pm2.61ne 3046	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  {csn 4594   × cxp 5664  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_f cof 7685  ℂcc 11116  0cc0 11118   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕ₀cn0 12522  0_𝑝c0p 25865  Polycply 26378  degcdgr 26381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-0p 25866  df-ply 26382  df-coe 26384  df-dgr 26385

This theorem is used by:  dgrsub  26466  dgrcolem2  26468  mpaaeu  43918