Theorem dgrmulc 26205

Description: Scalar multiplication by a nonzero constant does not change the degree of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrmulc	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))

Proof of Theorem dgrmulc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7360	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝))
2	1	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)))
3		fveq2 6828	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
4		dgr0 26196	. . . 4 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
5	3, 4	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
6	2, 5	eqeq12d 2749	. 2 ⊢ (𝐹 = 0𝑝 → ((deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹) ↔ (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = 0))
7		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
8		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		plyconst 26139	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ))
11		0cn 11111	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
12		fvconst2g 7142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
13	8, 11, 12	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) = 𝐴)
14		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ≠ 0)
15	13, 14	eqnetrd 2996	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0)
16		ne0p 26140	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((ℂ × {𝐴})‘0) ≠ 0) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
17	11, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝)
18		plyssc 26133	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
19		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
20	18, 19	sselid 3928	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
22		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (deg‘(ℂ × {𝐴})) = (deg‘(ℂ × {𝐴}))
23		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
24	22, 23	dgrmul 26204	. . . 4 ⊢ ((((ℂ × {𝐴}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (ℂ × {𝐴}) ≠ 0𝑝) ∧ (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
25	10, 17, 20, 21, 24	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)))
26		0dgr 26178	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
27	8, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘(ℂ × {𝐴})) = 0)
28	27	oveq1d 7367	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((deg‘(ℂ × {𝐴})) + (deg‘𝐹)) = (0 + (deg‘𝐹)))
29		dgrcl 26166	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
30	19, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	30	nn0cnd 12451	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐹) ∈ ℂ)
32	31	addlidd 11321	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (0 + (deg‘𝐹)) = (deg‘𝐹))
33	25, 28, 32	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))
34		cnex 11094	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ℂ ∈ V)
36		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 0 ∈ ℂ)
38	35, 36, 37	ofc12 7646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0})) = (ℂ × {(𝐴 · 0)}))
39	36	mul01d 11319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 · 0) = 0)
40	39	sneqd 4587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → {(𝐴 · 0)} = {0})
41	40	xpeq2d 5649	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ × {(𝐴 · 0)}) = (ℂ × {0}))
42	38, 41	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0})) = (ℂ × {0}))
43		df-0p 25599	. . . . . 6 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
44	43	oveq2i 7363	. . . . 5 ⊢ ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝) = ((ℂ × {𝐴}) ∘f · (ℂ × {0}))
45	42, 44, 43	3eqtr4g 2793	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
46	45	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = (deg‘0𝑝))
47	46, 4	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 0𝑝)) = 0)
48	6, 33, 47	pm2.61ne 3014	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (deg‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4575   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614  ℂcc 11011  0cc0 11013   + caddc 11016   · cmul 11018  ℕ₀cn0 12388  0_𝑝c0p 25598  Polycply 26117  degcdgr 26120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-0p 25599  df-ply 26121  df-coe 26123  df-dgr 26124

This theorem is referenced by:  dgrsub  26206  dgrcolem2  26208  mpaaeu  43267