MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply0 24255
Description: The zero function is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ply0 (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem ply0
StepHypRef Expression
1 df-0p 23728 . . 3 0𝑝 = (ℂ × {0})
2 id 22 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
3 0cnd 10286 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ ℂ → 0 ∈ ℂ)
43snssd 4494 . . . . 5 (𝑆 ⊆ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
52, 4unssd 3951 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℂ → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
6 ssun2 3939 . . . . 5 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
7 c0ex 10287 . . . . . 6 0 ∈ V
87snss 4470 . . . . 5 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
96, 8mpbir 222 . . . 4 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
10 plyconst 24253 . . . 4 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})) → (ℂ × {0}) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
115, 9, 10sylancl 580 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ → (ℂ × {0}) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
121, 11syl5eqel 2848 . 2 (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
13 plyun0 24244 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
1412, 13syl6eleq 2854 1 (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2155  cun 3730  wss 3732  {csn 4334   × cxp 5275  cfv 6068  cc 10187  0cc0 10189  0𝑝c0p 23727  Polycply 24231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-0p 23728  df-ply 24235
This theorem is referenced by:  coe0  24303  plydivlem3  24341
  Copyright terms: Public domain W3C validator