Theorem ply0 25713

Description: The zero function is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ply0	⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem ply0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25178	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		0cnd 11203	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0 ∈ ℂ)
4	3	snssd 4811	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
5	2, 4	unssd 4185	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
6		ssun2 4172	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
7		c0ex 11204	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	snss 4788	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
9	6, 8	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
10		plyconst 25711	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})) → (ℂ × {0}) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
11	5, 9, 10	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (ℂ × {0}) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
12	1, 11	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
13		plyun0 25702	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
14	12, 13	eleqtrdi 2843	1 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4627   × cxp 5673  ‘cfv 6540  ℂcc 11104  0cc0 11106  0_𝑝c0p 25177  Polycply 25689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-0p 25178  df-ply 25693

This theorem is referenced by:  coe0  25761  plydivlem3  25799