Theorem ply0 26527

Description: The zero function is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ply0	⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem ply0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25992	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		0cnd 11300	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0 ∈ ℂ)
4	3	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
5	2, 4	unssd 4138	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
6		ssun2 4125	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
7		c0ex 11301	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
8	7	snss 4745	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
9	6, 8	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
10		plyconst 26525	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})) → (ℂ × {0}) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
11	5, 9, 10	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (ℂ × {0}) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
12	1, 11	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
13		plyun0 26516	. 2 ⊢ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
14	12, 13	eleqtrdi 2871	1 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3914  {csn 4584   × cxp 5649  ‘cfv 6539  ℂcc 11199  0cc0 11201  0_𝑝c0p 25991  Polycply 26503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855  df-0p 25992  df-ply 26507

This theorem is used by:  coe0  26576  plydivlem3  26617