Theorem iaa 25390

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10861	. 2 ⊢ i ∈ ℂ
2		cnex 10883	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		sqcl 13766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
6		ax-1cn 10860	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)))
9		fconstmpt 5640	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
11	3, 5, 7, 8, 10	offval2 7531	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)))
12		zsscn 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
13		1z 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		2nn0 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		plypow 25271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
18		plyconst 25272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
19	12, 13, 18	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
21		zaddcl 12290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
23	17, 20, 22	plyadd 25283	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℤ))
24	11, 23	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ))
25	24	mptru 1546	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ)
26		0cn 10898	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
27		sq0i 13838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧↑2) = 0)
28	27	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = (0 + 1))
29		0p1e1 12025	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = 1)
31		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))
32		1ex 10902	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt 6857	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1)
34	26, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1
35		ax-1ne0 10871	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
36	34, 35	eqnetri 3013	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0
37		ne0p 25273	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝)
38	26, 36, 37	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝
39		eldifsn 4717	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝))
40	25, 38, 39	mpbir2an 707	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
41		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
42		i2 13847	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
43	41, 42	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = -1)
44	43	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = (-1 + 1))
45		neg1cn 12017	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
46		1pneg1e0 12022	. . . . . . 7 ⊢ (1 + -1) = 0
47	6, 45, 46	addcomli 11097	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 1) = 0
48	44, 47	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = 0)
49		c0ex 10900	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
50	48, 31, 49	fvmpt 6857	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0)
51	1, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0
52		fveq1 6755	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → (𝑓‘i) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i))
53	52	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → ((𝑓‘i) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0))
54	53	rspcev 3552	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0)
55	40, 51, 54	mp2an 688	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0
56		elaa 25381	. 2 ⊢ (i ∈ 𝔸 ↔ (i ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0))
57	1, 55, 56	mpbir2an 707	1 ⊢ i ∈ 𝔸

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805  -cneg 11136  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ↑cexp 13710  0_𝑝c0p 24738  Polycply 25250  𝔸caa 25379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-0p 24739  df-ply 25254  df-aa 25380

This theorem is referenced by: (None)