Theorem iaa 26633

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 13068	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2		1q 13073	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
3		2nn0 12604	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))
5	4	ply1term 26502	. . . . 5 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
6	1, 2, 3, 5	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
8		ax-1cn 11239	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-1ne0 11250	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
10	4	dgr1term 26559	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2)
11	8, 9, 3, 10	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2
12		2ne0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
13	11, 12	eqnetri 3026	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0)
15		ax-icn 11240	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
17		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
18	17	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (1 · (𝑧↑2)) = (1 · (i↑2)))
19		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ V
20	18, 4, 19	fvmpt 6985	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2)))
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2))
22	15	sqcli 14304	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) ∈ ℂ
23	22	mullidi 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 · (i↑2)) = (i↑2)
24		i2 14326	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) = -1
25		qssaa 26630	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
26		zssq 13064	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
27		neg1z 12713	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
28	26, 27	sselii 3928	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℚ
29	25, 28	sselii 3928	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ 𝔸
30	24, 29	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ (i↑2) ∈ 𝔸
31	23, 30	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ 𝔸
32	21, 31	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸)
34	7, 14, 16, 33	preimaaa 26628	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ 𝔸)
35	34	mptru 1577	1 ⊢ i ∈ 𝔸

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182  ici 11183   · cmul 11186  -cneg 11523  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℚcq 13056  ↑cexp 14184  Polycply 26482  degcdgr 26485  𝔸caa 26619

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-0p 25971  df-ply 26486  df-idp 26487  df-coe 26488  df-dgr 26489  df-quot 26594  df-aa 26620

This theorem is used by: (None)