Theorem iaa 26560

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 13009	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2		1q 13014	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
3		2nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))
5	4	ply1term 26429	. . . . 5 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
6	1, 2, 3, 5	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
8		ax-1cn 11182	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-1ne0 11193	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
10	4	dgr1term 26486	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2)
11	8, 9, 3, 10	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2
12		2ne0 12371	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
13	11, 12	eqnetri 3025	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0)
15		ax-icn 11183	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
17		oveq1 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
18	17	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (1 · (𝑧↑2)) = (1 · (i↑2)))
19		ovex 7446	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ V
20	18, 4, 19	fvmpt 6986	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2)))
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2))
22	15	sqcli 14245	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) ∈ ℂ
23	22	mullidi 11238	. . . . . 6 ⊢ (1 · (i↑2)) = (i↑2)
24		i2 14266	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) = -1
25		qssaa 26557	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
26		zssq 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
27		neg1z 12654	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
28	26, 27	sselii 3928	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℚ
29	25, 28	sselii 3928	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ 𝔸
30	24, 29	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ (i↑2) ∈ 𝔸
31	23, 30	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ 𝔸
32	21, 31	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸)
34	7, 14, 16, 33	preimaaa 26555	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ 𝔸)
35	34	mptru 1577	1 ⊢ i ∈ 𝔸

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125  ici 11126   · cmul 11129  -cneg 11466  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℚcq 12997  ↑cexp 14125  Polycply 26409  degcdgr 26412  𝔸caa 26546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-0p 25898  df-ply 26413  df-idp 26414  df-coe 26415  df-dgr 26416  df-quot 26521  df-aa 26547

This theorem is used by: (None)