MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iaa 25073
Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iaa i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10674 . 2 i ∈ ℂ
2 cnex 10696 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℂ ∈ V)
4 sqcl 13576 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
54adantl 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
6 ax-1cn 10673 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8 eqidd 2739 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)))
9 fconstmpt 5585 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
109a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
113, 5, 7, 8, 10offval2 7444 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)))
12 zsscn 12070 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
13 1z 12093 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
14 2nn0 11993 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
15 plypow 24954 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
1612, 13, 14, 15mp3an 1462 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
1716a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
18 plyconst 24955 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
1912, 13, 18mp2an 692 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
21 zaddcl 12103 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
2221adantl 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
2317, 20, 22plyadd 24966 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℤ))
2411, 23eqeltrrd 2834 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ))
2524mptru 1549 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ)
26 0cn 10711 . . . . 5 0 ∈ ℂ
27 sq0i 13648 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0 → (𝑧↑2) = 0)
2827oveq1d 7185 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = (0 + 1))
29 0p1e1 11838 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = 1)
31 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))
32 1ex 10715 . . . . . . . 8 1 ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6775 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1)
3426, 33ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1
35 ax-1ne0 10684 . . . . . 6 1 ≠ 0
3634, 35eqnetri 3004 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0
37 ne0p 24956 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝)
3826, 36, 37mp2an 692 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝
39 eldifsn 4675 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝))
4025, 38, 39mpbir2an 711 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
41 oveq1 7177 . . . . . . . 8 (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
42 i2 13657 . . . . . . . 8 (i↑2) = -1
4341, 42eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑧 = i → (𝑧↑2) = -1)
4443oveq1d 7185 . . . . . 6 (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = (-1 + 1))
45 neg1cn 11830 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
46 1pneg1e0 11835 . . . . . . 7 (1 + -1) = 0
476, 45, 46addcomli 10910 . . . . . 6 (-1 + 1) = 0
4844, 47eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = 0)
49 c0ex 10713 . . . . 5 0 ∈ V
5048, 31, 49fvmpt 6775 . . . 4 (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0)
511, 50ax-mp 5 . . 3 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0
52 fveq1 6673 . . . . 5 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → (𝑓‘i) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i))
5352eqeq1d 2740 . . . 4 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → ((𝑓‘i) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0))
5453rspcev 3526 . . 3 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0)
5540, 51, 54mp2an 692 . 2 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0
56 elaa 25064 . 2 (i ∈ 𝔸 ↔ (i ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0))
571, 55, 56mpbir2an 711 1 i ∈ 𝔸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2114  wne 2934  wrex 3054  Vcvv 3398  cdif 3840  wss 3843  {csn 4516  cmpt 5110   × cxp 5523  cfv 6339  (class class class)co 7170  f cof 7423  cc 10613  0cc0 10615  1c1 10616  ici 10617   + caddc 10618  -cneg 10949  2c2 11771  0cn0 11976  cz 12062  cexp 13521  0𝑝c0p 24421  Polycply 24933  𝔸caa 25062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-0p 24422  df-ply 24937  df-aa 25063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator