Theorem iaa 26681

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 13114	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2		1q 13119	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
3		2nn0 12650	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))
5	4	ply1term 26552	. . . . 5 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
6	1, 2, 3, 5	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
8		ax-1cn 11285	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-1ne0 11296	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
10	4	dgr1term 26609	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2)
11	8, 9, 3, 10	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2
12		2ne0 12476	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
13	11, 12	eqnetri 3029	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0)
15		ax-icn 11286	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
17		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
18	17	oveq2d 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (1 · (𝑧↑2)) = (1 · (i↑2)))
19		ovex 7476	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ V
20	18, 4, 19	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2)))
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2))
22	15	sqcli 14351	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) ∈ ℂ
23	22	mullidi 11341	. . . . . 6 ⊢ (1 · (i↑2)) = (i↑2)
24		i2 14373	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) = -1
25		qssaa 26678	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
26		zssq 13110	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
27		neg1z 12759	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
28	26, 27	sselii 3910	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℚ
29	25, 28	sselii 3910	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ 𝔸
30	24, 29	eqeltri 2860	. . . . . 6 ⊢ (i↑2) ∈ 𝔸
31	23, 30	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ 𝔸
32	21, 31	eqeltri 2860	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸)
34	7, 14, 16, 33	preimaaa 26676	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ 𝔸)
35	34	mptru 1577	1 ⊢ i ∈ 𝔸

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228  ici 11229   · cmul 11232   -cneg 11569  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℚcq 13102  ↑cexp 14231  Polycply 26532  degcdgr 26535  𝔸caa 26667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-0p 26021  df-ply 26536  df-idp 26537  df-coe 26538  df-dgr 26539  df-quot 26642  df-aa 26668

This theorem is used by: (None)