Theorem iaa 26656

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 13090	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2		1q 13095	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
3		2nn0 12626	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))
5	4	ply1term 26527	. . . . 5 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
6	1, 2, 3, 5	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
8		ax-1cn 11261	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-1ne0 11272	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
10	4	dgr1term 26584	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2)
11	8, 9, 3, 10	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2
12		2ne0 12452	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
13	11, 12	eqnetri 3025	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0)
15		ax-icn 11262	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
17		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
18	17	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (1 · (𝑧↑2)) = (1 · (i↑2)))
19		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ V
20	18, 4, 19	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2)))
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2))
22	15	sqcli 14327	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) ∈ ℂ
23	22	mullidi 11317	. . . . . 6 ⊢ (1 · (i↑2)) = (i↑2)
24		i2 14349	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) = -1
25		qssaa 26653	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
26		zssq 13086	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
27		neg1z 12735	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
28	26, 27	sselii 3905	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℚ
29	25, 28	sselii 3905	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ 𝔸
30	24, 29	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ (i↑2) ∈ 𝔸
31	23, 30	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ 𝔸
32	21, 31	eqeltri 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸)
34	7, 14, 16, 33	preimaaa 26651	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ 𝔸)
35	34	mptru 1576	1 ⊢ i ∈ 𝔸

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204  ici 11205   · cmul 11208   -cneg 11545  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ℚcq 13078  ↑cexp 14207  Polycply 26507  degcdgr 26510  𝔸caa 26642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-0p 25996  df-ply 26511  df-idp 26512  df-coe 26513  df-dgr 26514  df-quot 26617  df-aa 26643

This theorem is used by: (None)