MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iaa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iaa 26382
Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
iaa i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11212 . 2 i ∈ ℂ
2 cnex 11234 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℂ ∈ V)
4 sqcl 14155 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
54adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
6 ax-1cn 11211 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8 eqidd 2736 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)))
9 fconstmpt 5751 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
109a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
113, 5, 7, 8, 10offval2 7717 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)))
12 zsscn 12619 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
13 1z 12645 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
14 2nn0 12541 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
15 plypow 26259 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
1612, 13, 14, 15mp3an 1460 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
1716a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
18 plyconst 26260 . . . . . . . . 9 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
1912, 13, 18mp2an 692 . . . . . . . 8 (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
21 zaddcl 12655 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
2221adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
2317, 20, 22plyadd 26271 . . . . . 6 (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℤ))
2411, 23eqeltrrd 2840 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ))
2524mptru 1544 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ)
26 0cn 11251 . . . . 5 0 ∈ ℂ
27 sq0i 14229 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0 → (𝑧↑2) = 0)
2827oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = (0 + 1))
29 0p1e1 12386 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = 1)
31 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))
32 1ex 11255 . . . . . . . 8 1 ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 7016 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1)
3426, 33ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1
35 ax-1ne0 11222 . . . . . 6 1 ≠ 0
3634, 35eqnetri 3009 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0
37 ne0p 26261 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝)
3826, 36, 37mp2an 692 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝
39 eldifsn 4791 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝))
4025, 38, 39mpbir2an 711 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
41 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
42 i2 14238 . . . . . . . 8 (i↑2) = -1
4341, 42eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑧 = i → (𝑧↑2) = -1)
4443oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = (-1 + 1))
45 neg1cn 12378 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
46 1pneg1e0 12383 . . . . . . 7 (1 + -1) = 0
476, 45, 46addcomli 11451 . . . . . 6 (-1 + 1) = 0
4844, 47eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = 0)
49 c0ex 11253 . . . . 5 0 ∈ V
5048, 31, 49fvmpt 7016 . . . 4 (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0)
511, 50ax-mp 5 . . 3 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0
52 fveq1 6906 . . . . 5 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → (𝑓‘i) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i))
5352eqeq1d 2737 . . . 4 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → ((𝑓‘i) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0))
5453rspcev 3622 . . 3 (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0)
5540, 51, 54mp2an 692 . 2 𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0
56 elaa 26373 . 2 (i ∈ 𝔸 ↔ (i ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0))
571, 55, 56mpbir2an 711 1 i ∈ 𝔸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156  -cneg 11491  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099  0𝑝c0p 25718  Polycply 26238  𝔸caa 26371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-aa 26372
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator