Theorem iaa 26567

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 13013	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2		1q 13018	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℚ
3		2nn0 12549	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))
5	4	ply1term 26436	. . . . 5 ⊢ ((ℚ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℚ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
6	1, 2, 3, 5	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2))) ∈ (Poly‘ℚ))
8		ax-1cn 11186	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		ax-1ne0 11197	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
10	4	dgr1term 26493	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2)
11	8, 9, 3, 10	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) = 2
12		2ne0 12375	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
13	11, 12	eqnetri 3027	. . . 4 ⊢ (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (deg‘(𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))) ≠ 0)
15		ax-icn 11187	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
17		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
18	17	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (1 · (𝑧↑2)) = (1 · (i↑2)))
19		ovex 7450	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ V
20	18, 4, 19	fvmpt 6990	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2)))
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) = (1 · (i↑2))
22	15	sqcli 14249	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) ∈ ℂ
23	22	mullidi 11242	. . . . . 6 ⊢ (1 · (i↑2)) = (i↑2)
24		i2 14270	. . . . . . 7 ⊢ (i↑2) = -1
25		qssaa 26564	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ 𝔸
26		zssq 13009	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
27		neg1z 12658	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℤ
28	26, 27	sselii 3931	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℚ
29	25, 28	sselii 3931	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ 𝔸
30	24, 29	eqeltri 2858	. . . . . 6 ⊢ (i↑2) ∈ 𝔸
31	23, 30	eqeltri 2858	. . . . 5 ⊢ (1 · (i↑2)) ∈ 𝔸
32	21, 31	eqeltri 2858	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 · (𝑧↑2)))‘i) ∈ 𝔸)
34	7, 14, 16, 33	preimaaa 26562	. 2 ⊢ (⊤ → i ∈ 𝔸)
35	34	mptru 1577	1 ⊢ i ∈ 𝔸

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129  ici 11130   · cmul 11133  -cneg 11470  2c2 12323  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ℚcq 13001  ↑cexp 14129  Polycply 26416  degcdgr 26419  𝔸caa 26553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-0p 25904  df-ply 26420  df-idp 26421  df-coe 26422  df-dgr 26423  df-quot 26528  df-aa 26554

This theorem is used by: (None)