Theorem iaa 26293

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11089	. 2 ⊢ i ∈ ℂ
2		cnex 11111	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		sqcl 14045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
6		ax-1cn 11088	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)))
9		fconstmpt 5687	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
11	3, 5, 7, 8, 10	offval2 7644	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)))
12		zsscn 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
13		1z 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		2nn0 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		plypow 26170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
18		plyconst 26171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
19	12, 13, 18	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
21		zaddcl 12535	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
23	17, 20, 22	plyadd 26182	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℤ))
24	11, 23	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ))
25	24	mptru 1549	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ)
26		0cn 11128	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
27		sq0i 14120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧↑2) = 0)
28	27	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = (0 + 1))
29		0p1e1 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = 1)
31		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))
32		1ex 11132	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt 6942	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1)
34	26, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1
35		ax-1ne0 11099	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
36	34, 35	eqnetri 3003	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0
37		ne0p 26172	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝)
38	26, 36, 37	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝
39		eldifsn 4743	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝))
40	25, 38, 39	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
41		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
42		i2 14129	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
43	41, 42	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = -1)
44	43	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = (-1 + 1))
45		neg1cn 12134	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
46		1pneg1e0 12263	. . . . . . 7 ⊢ (1 + -1) = 0
47	6, 45, 46	addcomli 11329	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 1) = 0
48	44, 47	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = 0)
49		c0ex 11130	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
50	48, 31, 49	fvmpt 6942	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0)
51	1, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0
52		fveq1 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → (𝑓‘i) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i))
53	52	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → ((𝑓‘i) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0))
54	53	rspcev 3577	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0)
55	40, 51, 54	mp2an 693	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0
56		elaa 26284	. 2 ⊢ (i ∈ 𝔸 ↔ (i ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0))
57	1, 55, 56	mpbir2an 712	1 ⊢ i ∈ 𝔸

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4581   ↦ cmpt 5180   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031  ici 11032   + caddc 11033  -cneg 11369  2c2 12204  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ↑cexp 13988  0_𝑝c0p 25630  Polycply 26149  𝔸caa 26282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-0p 25631  df-ply 26153  df-aa 26283

This theorem is referenced by: (None)