Theorem iaa 26290

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11193	. 2 ⊢ i ∈ ℂ
2		cnex 11215	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		sqcl 14141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
6		ax-1cn 11192	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)))
9		fconstmpt 5721	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
11	3, 5, 7, 8, 10	offval2 7696	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)))
12		zsscn 12601	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
13		1z 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		2nn0 12523	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		plypow 26167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
18		plyconst 26168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
19	12, 13, 18	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
21		zaddcl 12637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
23	17, 20, 22	plyadd 26179	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℤ))
24	11, 23	eqeltrrd 2836	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ))
25	24	mptru 1547	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ)
26		0cn 11232	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
27		sq0i 14216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧↑2) = 0)
28	27	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = (0 + 1))
29		0p1e1 12367	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = 1)
31		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))
32		1ex 11236	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt 6991	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1)
34	26, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1
35		ax-1ne0 11203	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
36	34, 35	eqnetri 3003	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0
37		ne0p 26169	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝)
38	26, 36, 37	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝
39		eldifsn 4767	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝))
40	25, 38, 39	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
41		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
42		i2 14225	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
43	41, 42	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = -1)
44	43	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = (-1 + 1))
45		neg1cn 12359	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
46		1pneg1e0 12364	. . . . . . 7 ⊢ (1 + -1) = 0
47	6, 45, 46	addcomli 11432	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 1) = 0
48	44, 47	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = 0)
49		c0ex 11234	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
50	48, 31, 49	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0)
51	1, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0
52		fveq1 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → (𝑓‘i) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i))
53	52	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → ((𝑓‘i) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0))
54	53	rspcev 3606	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0)
55	40, 51, 54	mp2an 692	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0
56		elaa 26281	. 2 ⊢ (i ∈ 𝔸 ↔ (i ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0))
57	1, 55, 56	mpbir2an 711	1 ⊢ i ∈ 𝔸

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  {csn 4606   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135  ici 11136   + caddc 11137  -cneg 11472  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ↑cexp 14084  0_𝑝c0p 25627  Polycply 26146  𝔸caa 26279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-0p 25628  df-ply 26150  df-aa 26280

This theorem is referenced by: (None)