Theorem iaa 26291

Description: The imaginary unit is algebraic. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iaa	⊢ i ∈ 𝔸

Proof of Theorem iaa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11097	. 2 ⊢ i ∈ ℂ
2		cnex 11119	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		sqcl 14080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑2) ∈ ℂ)
6		ax-1cn 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)))
9		fconstmpt 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
11	3, 5, 7, 8, 10	offval2 7651	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)))
12		zsscn 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
13		1z 12557	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		2nn0 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		plypow 26170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ)
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∈ (Poly‘ℤ))
18		plyconst 26171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
19	12, 13, 18	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ)
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ × {1}) ∈ (Poly‘ℤ))
21		zaddcl 12567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
23	17, 20, 22	plyadd 26182	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑2)) ∘f + (ℂ × {1})) ∈ (Poly‘ℤ))
24	11, 23	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ))
25	24	mptru 1549	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ)
26		0cn 11136	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
27		sq0i 14155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧↑2) = 0)
28	27	oveq1d 7382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = (0 + 1))
29		0p1e1 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧↑2) + 1) = 1)
31		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))
32		1ex 11140	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
33	30, 31, 32	fvmpt 6947	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1)
34	26, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) = 1
35		ax-1ne0 11107	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
36	34, 35	eqnetri 3002	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0
37		ne0p 26172	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘0) ≠ 0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝)
38	26, 36, 37	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝
39		eldifsn 4731	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ≠ 0𝑝))
40	25, 38, 39	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})
41		oveq1 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = (i↑2))
42		i2 14164	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
43	41, 42	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = i → (𝑧↑2) = -1)
44	43	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = (-1 + 1))
45		neg1cn 12144	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
46		1pneg1e0 12295	. . . . . . 7 ⊢ (1 + -1) = 0
47	6, 45, 46	addcomli 11338	. . . . . 6 ⊢ (-1 + 1) = 0
48	44, 47	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = i → ((𝑧↑2) + 1) = 0)
49		c0ex 11138	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
50	48, 31, 49	fvmpt 6947	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0)
51	1, 50	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0
52		fveq1 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → (𝑓‘i) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i))
53	52	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) → ((𝑓‘i) = 0 ↔ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0))
54	53	rspcev 3564	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1)) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑧↑2) + 1))‘i) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0)
55	40, 51, 54	mp2an 693	. 2 ⊢ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0
56		elaa 26282	. 2 ⊢ (i ∈ 𝔸 ↔ (i ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘i) = 0))
57	1, 55, 56	mpbir2an 712	1 ⊢ i ∈ 𝔸

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041  -cneg 11378  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ↑cexp 14023  0_𝑝c0p 25636  Polycply 26149  𝔸caa 26280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-0p 25637  df-ply 26153  df-aa 26281

This theorem is referenced by: (None)