Theorem 0pval 25657

Description: The zero function evaluates to zero at every point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0pval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0pval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25656	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq1i 6829	. 2 ⊢ (0𝑝‘𝐴) = ((ℂ × {0})‘𝐴)
3		c0ex 11130	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 7149	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘𝐴) = 0)
5	2, 4	eqtrid 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {csn 4556   × cxp 5617  ‘cfv 6486  ℂcc 11028  0cc0 11030  0_𝑝c0p 25655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-mulcl 11092  ax-i2m1 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-0p 25656

This theorem is referenced by:  0plef  25658  0pledm  25659  itg1ge0  25672  mbfi1fseqlem5  25705  itg2addlem  25744  ne0p  26191  plyeq0lem  26194  plydivlem3  26280  plymul02  34739  dgraa0p  43603