Theorem 0pval 25931

Description: The zero function evaluates to zero at every point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0pval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0pval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25930	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq1i 6882	. 2 ⊢ (0𝑝‘𝐴) = ((ℂ × {0})‘𝐴)
3		c0ex 11249	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 7206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘𝐴) = 0)
5	2, 4	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   × cxp 5653  ‘cfv 6535  ℂcc 11147  0cc0 11149  0_𝑝c0p 25929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-mulcl 11211  ax-i2m1 11217

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-fv 6543  df-0p 25930

This theorem is used by:  0plef  25932  0pledm  25933  itg1ge0  25946  mbfi1fseqlem5  25979  itg2addlem  26018  ne0p  26464  plyeq0lem  26468  plymul02  26542  plydivlem3  26557  dgraa0p  44055