Theorem 0pval 25645

Description: The zero function evaluates to zero at every point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0pval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0pval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25644	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq1i 6845	. 2 ⊢ (0𝑝‘𝐴) = ((ℂ × {0})‘𝐴)
3		c0ex 11140	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 7162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘𝐴) = 0)
5	2, 4	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582   × cxp 5632  ‘cfv 6502  ℂcc 11038  0cc0 11040  0_𝑝c0p 25643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-mulcl 11102  ax-i2m1 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-fv 6510  df-0p 25644

This theorem is referenced by:  0plef  25646  0pledm  25647  itg1ge0  25660  mbfi1fseqlem5  25693  itg2addlem  25732  ne0p  26185  plyeq0lem  26188  plydivlem3  26276  plymul02  34730  dgraa0p  43535