Theorem 0pval 25839

Description: The zero function evaluates to zero at every point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0pval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0pval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25838	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq1i 6882	. 2 ⊢ (0𝑝‘𝐴) = ((ℂ × {0})‘𝐴)
3		c0ex 11204	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 7202	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘𝐴) = 0)
5	2, 4	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   × cxp 5659  ‘cfv 6536  ℂcc 11102  0cc0 11104  0_𝑝c0p 25837

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-mulcl 11166  ax-i2m1 11172

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-0p 25838

This theorem is used by:  0plef  25840  0pledm  25841  itg1ge0  25854  mbfi1fseqlem5  25887  itg2addlem  25926  ne0p  26373  plyeq0lem  26376  plymul02  26450  plydivlem3  26465  dgraa0p  43904