Theorem 0pval 25885

Description: The zero function evaluates to zero at every point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0pval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0pval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25884	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq1i 6886	. 2 ⊢ (0𝑝‘𝐴) = ((ℂ × {0})‘𝐴)
3		c0ex 11219	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 7209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘𝐴) = 0)
5	2, 4	eqtrid 2812	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591   × cxp 5661  ‘cfv 6540  ℂcc 11117  0cc0 11119  0_𝑝c0p 25883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-mulcl 11181  ax-i2m1 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-0p 25884

This theorem is used by:  0plef  25886  0pledm  25887  itg1ge0  25900  mbfi1fseqlem5  25933  itg2addlem  25972  ne0p  26419  plyeq0lem  26422  plymul02  26496  plydivlem3  26511  dgraa0p  43953