Theorem 0pval 25725

Description: The zero function evaluates to zero at every point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0pval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0pval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25724	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq1i 6921	. 2 ⊢ (0𝑝‘𝐴) = ((ℂ × {0})‘𝐴)
3		c0ex 11284	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 7241	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘𝐴) = 0)
5	2, 4	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   × cxp 5698  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  0cc0 11184  0_𝑝c0p 25723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-mulcl 11246  ax-i2m1 11252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-0p 25724

This theorem is referenced by:  0plef  25726  0pledm  25727  itg1ge0  25740  mbfi1fseqlem5  25774  itg2addlem  25813  ne0p  26266  plyeq0lem  26269  plydivlem3  26355  plymul02  34523  dgraa0p  43106