Theorem 0pval 25605

Description: The zero function evaluates to zero at every point. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0pval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem 0pval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-0p 25604	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
2	1	fveq1i 6829	. 2 ⊢ (0𝑝‘𝐴) = ((ℂ × {0})‘𝐴)
3		c0ex 11112	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
4	3	fvconst2 7144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {0})‘𝐴) = 0)
5	2, 4	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4575   × cxp 5617  ‘cfv 6487  ℂcc 11010  0cc0 11012  0_𝑝c0p 25603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-mulcl 11074  ax-i2m1 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-0p 25604

This theorem is referenced by:  0plef  25606  0pledm  25607  itg1ge0  25620  mbfi1fseqlem5  25653  itg2addlem  25692  ne0p  26145  plyeq0lem  26148  plydivlem3  26236  plymul02  34566  dgraa0p  43247