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Theorem nmoleub2lem 23652
Description: Lemma for nmoleub2a 23655 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem.6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
nmoleub2lem.7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
21adantlr 711 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
3 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
43elin1d 4179 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 23220 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
76ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑆)
10 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
119, 10lmhmf 19742 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
1312ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
14 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑥𝑉)
1513, 14ffvelrnd 6850 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
16 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (norm‘𝑇)
1710, 16nmcl 23159 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
187, 15, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
19 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2019ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2118, 20rerpdivcld 12457 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
2221rexrd 10685 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
2423elin1d 4179 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 23220 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
27 lmghm 19739 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
288, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
29 nmoleub2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3029nmocl 23263 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3126, 6, 28, 30syl3anc 1365 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3231ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
33 nmoleub2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3433ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3520rpred 12426 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
36 rexmul 12659 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3721, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3818recnd 10663 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
3935recnd 10663 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
4020rpne0d 12431 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
4138, 39, 40divcan1d 11411 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4237, 41eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4318rexrd 10685 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
4426ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
45 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (norm‘𝑆)
469, 45nmcl 23159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4744, 14, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4847rexrd 10685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ*)
4932, 48xmulcld 12690 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ∈ ℝ*)
5020rpxrd 12427 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
5132, 50xmulcld 12690 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e 𝑅) ∈ ℝ*)
5228ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5329, 9, 45, 16nmoix 23272 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5444, 7, 52, 14, 53syl31anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5529nmoge0 23264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5626, 6, 28, 55syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5731, 56jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
5857ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
59 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)
60 xlemul2a 12677 . . . . . . . . . 10 ((((𝐿𝑥) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹))) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6148, 50, 58, 59, 60syl31anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6243, 49, 51, 54, 61xrletrd 12550 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6342, 62eqbrtrd 5085 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
64 xlemul1 12678 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6522, 32, 20, 64syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6663, 65mpbird 258 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹))
67 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
6822, 32, 34, 66, 67xrletrd 12550 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)
6968expr 457 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
702, 69syld 47 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
7170ralrimiva 3187 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
72 eqid 2826 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
7326ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
746ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7528ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
76 simpr 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
77 nmoleub2lem.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
7877adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
79 nmoleub2lem.6 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
8029, 9, 45, 16, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79nmolb2d 23261 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8131ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
82 pnfge 12520 . . . . 5 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
8381, 82syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
84 simpr 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
8583, 84breqtrrd 5091 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8633adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
87 ge0nemnf 12561 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
8886, 77, 87syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≠ -∞)
8986, 88jca 512 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
90 xrnemnf 12507 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9189, 90sylib 219 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9280, 85, 91mpjaodan 954 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
9371, 92impbida 797 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  cin 3939   class class class wbr 5063  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  -∞cmnf 10667  *cxr 10668  cle 10670   / cdiv 11291  +crp 12384   ·e cxmu 12501  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563  0gc0g 16708   GrpHom cghm 18300   LMHom clmhm 19727  normcnm 23120  NrmGrpcngp 23121  NrmModcnlm 23124   normOp cnmo 23248  ℂModcclm 23600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ico 12739  df-0g 16710  df-topgen 16712  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-ghm 18301  df-lmhm 19730  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-xms 22864  df-ms 22865  df-nm 23126  df-ngp 23127  df-nlm 23130  df-nmo 23251  df-nghm 23252
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  23654  nmoleub3  23657
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