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Theorem nmoleub2lem 24637
Description: Lemma for nmoleub2a 24640 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoleub2.l 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoleub2.m 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
nmoleub2.w 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
nmoleub2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmoleub2lem.6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
nmoleub2lem.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ“,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
21adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
3 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
43elin1d 4198 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 24201 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
119, 10lmhmf 20650 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
14 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
1513, 14ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
16 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
1710, 16nmcl 24132 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
187, 15, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
19 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2118, 20rerpdivcld 13049 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ)
2221rexrd 11266 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
2423elin1d 4198 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 24201 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
27 lmghm 20647 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
288, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
29 nmoleub2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3029nmocl 24244 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3126, 6, 28, 30syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3231ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
33 nmoleub2.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3433ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3520rpred 13018 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
36 rexmul 13252 . . . . . . . . . 10 ((((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) = (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β· 𝑅))
3721, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) = (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β· 𝑅))
3818recnd 11244 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
3935recnd 11244 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
4020rpne0d 13023 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 β‰  0)
4138, 39, 40divcan1d 11993 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β· 𝑅) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4237, 41eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4318rexrd 11266 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
4426ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
45 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
469, 45nmcl 24132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4744, 14, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4847rexrd 11266 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
4932, 48xmulcld 13283 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
5020rpxrd 13019 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
5132, 50xmulcld 13283 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅) ∈ ℝ*)
5228ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5329, 9, 45, 16nmoix 24253 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)))
5444, 7, 52, 14, 53syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)))
5529nmoge0 24245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
5626, 6, 28, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
5731, 56jca 512 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ)))
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ)))
59 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)
60 xlemul2a 13270 . . . . . . . . . 10 ((((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
6148, 50, 58, 59, 60syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
6243, 49, 51, 54, 61xrletrd 13143 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
6342, 62eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
64 xlemul1 13271 . . . . . . . 8 ((((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅)))
6522, 32, 20, 64syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅)))
6663, 65mpbird 256 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ (π‘β€˜πΉ))
67 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
6822, 32, 34, 66, 67xrletrd 13143 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)
6968expr 457 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
702, 69syld 47 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
7170ralrimiva 3146 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
72 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
7326ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
746ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
7528ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
76 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
77 nmoleub2lem.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
7877adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ 𝐴)
79 nmoleub2lem.6 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
8029, 9, 45, 16, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79nmolb2d 24242 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
8131ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
82 pnfge 13112 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ +∞)
8381, 82syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ +∞)
84 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
8583, 84breqtrrd 5176 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
8633adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
87 ge0nemnf 13154 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
8886, 77, 87syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
8986, 88jca 512 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  -∞))
90 xrnemnf 13099 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9189, 90sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9280, 85, 91mpjaodan 957 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
9371, 92impbida 799 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11247  -∞cmnf 11248  β„*cxr 11249   ≀ cle 11251   / cdiv 11873  β„+crp 12976   Β·e cxmu 13093  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202  0gc0g 17387   GrpHom cghm 19091   LMHom clmhm 20635  normcnm 24092  NrmGrpcngp 24093  NrmModcnlm 24096   normOp cnmo 24229  β„‚Modcclm 24585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ico 13332  df-0g 17389  df-topgen 17391  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-ghm 19092  df-lmhm 20638  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-xms 23833  df-ms 23834  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-nlm 24102  df-nmo 24232  df-nghm 24233
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  24639  nmoleub3  24642
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