Theorem nmoleub2lem 25034

Description: Lemma for nmoleub2a 25037 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5	⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem.6	⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
nmoleub2lem.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2lem	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2lem.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
2	1	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
3		nmoleub2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
4	3	elin1d 4152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmMod)
5		nlmngp 24585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8		nmoleub2.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9		nmoleub2.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
11	9, 10	lmhmf 20961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
14		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
15	13, 14	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
16		nmoleub2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
17	10, 16	nmcl 24524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	7, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		nmoleub2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
21	18, 20	rerpdivcld 12957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11154	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
23		nmoleub2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
24	23	elin1d 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmMod)
25		nlmngp 24585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
27		lmghm 20958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
29		nmoleub2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
30	29	nmocl 24628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
31	26, 6, 28, 30	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
33		nmoleub2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
35	20	rpred 12926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
36		rexmul 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
37	21, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
38	18	recnd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
39	35	recnd 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
40	20	rpne0d 12931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
41	38, 39, 40	divcan1d 11890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅) = (𝑀‘(𝐹‘𝑥)))
42	37, 41	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (𝑀‘(𝐹‘𝑥)))
43	18	rexrd 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
44	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
45		nmoleub2.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
46	9, 45	nmcl 24524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
47	44, 14, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
48	47	rexrd 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ*)
49	32, 48	xmulcld 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ∈ ℝ*)
50	20	rpxrd 12927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
51	32, 50	xmulcld 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅) ∈ ℝ*)
52	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
53	29, 9, 45, 16	nmoix 24637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)))
54	44, 7, 52, 14, 53	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)))
55	29	nmoge0 24629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
56	26, 6, 28, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
57	31, 56	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)))
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)))
59		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)
60		xlemul2a 13180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹))) ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
61	48, 50, 58, 59, 60	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
62	43, 49, 51, 54, 61	xrletrd 13053	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
63	42, 62	eqbrtrd 5111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
64		xlemul1 13181	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅)))
65	22, 32, 20, 64	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅)))
66	63, 65	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹))
67		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
68	22, 32, 34, 66, 67	xrletrd 13053	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)
69	68	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
70	2, 69	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
71	70	ralrimiva 3122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
72		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
73	26	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
74	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
75	28	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
76		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
77		nmoleub2lem.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
78	77	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
79		nmoleub2lem.6	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
80	29, 9, 45, 16, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79	nmolb2d 24626	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
81	31	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
82		pnfge 13021	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
83	81, 82	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
84		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
85	83, 84	breqtrrd 5117	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
86	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
87		ge0nemnf 13064	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
88	86, 77, 87	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≠ -∞)
89	86, 88	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
90		xrnemnf 13008	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
91	89, 90	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
92	80, 85, 91	mpjaodan 960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
93	71, 92	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ∩ cin 3899   class class class wbr 5089  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998   · cmul 11003  +∞cpnf 11135  -∞cmnf 11136  ℝ^*cxr 11137   ≤ cle 11139   / cdiv 11766  ℝ⁺crp 12882   ·_e cxmu 13002  Basecbs 17112  Scalarcsca 17156  0_gc0g 17335   GrpHom cghm 19117   LMHom clmhm 20946  normcnm 24484  NrmGrpcngp 24485  NrmModcnlm 24488   normOp cnmo 24613  ℂModcclm 24982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ico 13243  df-0g 17337  df-topgen 17339  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-ghm 19118  df-lmhm 20949  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-xms 24228  df-ms 24229  df-nm 24490  df-ngp 24491  df-nlm 24494  df-nmo 24616  df-nghm 24617

This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  25036  nmoleub3  25039