Theorem nmoleub2lem 25021

Description: Lemma for nmoleub2a 25024 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5	⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem.6	⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
nmoleub2lem.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2lem	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2lem.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
2	1	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
3		nmoleub2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
4	3	elin1d 4170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmMod)
5		nlmngp 24572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8		nmoleub2.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9		nmoleub2.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
11	9, 10	lmhmf 20948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
14		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
15	13, 14	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
16		nmoleub2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
17	10, 16	nmcl 24511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	7, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		nmoleub2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
21	18, 20	rerpdivcld 13033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11231	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
23		nmoleub2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
24	23	elin1d 4170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmMod)
25		nlmngp 24572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
27		lmghm 20945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
29		nmoleub2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
30	29	nmocl 24615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
31	26, 6, 28, 30	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
33		nmoleub2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
35	20	rpred 13002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
36		rexmul 13238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
37	21, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
38	18	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
39	35	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
40	20	rpne0d 13007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
41	38, 39, 40	divcan1d 11966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅) = (𝑀‘(𝐹‘𝑥)))
42	37, 41	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (𝑀‘(𝐹‘𝑥)))
43	18	rexrd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
44	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
45		nmoleub2.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
46	9, 45	nmcl 24511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
47	44, 14, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
48	47	rexrd 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ*)
49	32, 48	xmulcld 13269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ∈ ℝ*)
50	20	rpxrd 13003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
51	32, 50	xmulcld 13269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅) ∈ ℝ*)
52	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
53	29, 9, 45, 16	nmoix 24624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)))
54	44, 7, 52, 14, 53	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)))
55	29	nmoge0 24616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
56	26, 6, 28, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
57	31, 56	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)))
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)))
59		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)
60		xlemul2a 13256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹))) ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
61	48, 50, 58, 59, 60	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
62	43, 49, 51, 54, 61	xrletrd 13129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
63	42, 62	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
64		xlemul1 13257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅)))
65	22, 32, 20, 64	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅)))
66	63, 65	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹))
67		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
68	22, 32, 34, 66, 67	xrletrd 13129	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)
69	68	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
70	2, 69	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
71	70	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
72		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
73	26	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
74	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
75	28	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
76		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
77		nmoleub2lem.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
78	77	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
79		nmoleub2lem.6	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
80	29, 9, 45, 16, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79	nmolb2d 24613	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
81	31	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
82		pnfge 13097	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
83	81, 82	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
84		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
85	83, 84	breqtrrd 5138	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
86	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
87		ge0nemnf 13140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
88	86, 77, 87	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≠ -∞)
89	86, 88	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
90		xrnemnf 13084	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
91	89, 90	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
92	80, 85, 91	mpjaodan 960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
93	71, 92	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ∩ cin 3916   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958   ·_e cxmu 13078  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230  0_gc0g 17409   GrpHom cghm 19151   LMHom clmhm 20933  normcnm 24471  NrmGrpcngp 24472  NrmModcnlm 24475   normOp cnmo 24600  ℂModcclm 24969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ico 13319  df-0g 17411  df-topgen 17413  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-ghm 19152  df-lmhm 20936  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-xms 24215  df-ms 24216  df-nm 24477  df-ngp 24478  df-nlm 24481  df-nmo 24603  df-nghm 24604

This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  25023  nmoleub3  25026