Theorem nmoleub2lem 23720

Description: Lemma for nmoleub2a 23723 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5	⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem.6	⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
nmoleub2lem.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2lem	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2lem.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
2	1	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
3		nmoleub2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
4	3	elin1d 4177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmMod)
5		nlmngp 23288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8		nmoleub2.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9		nmoleub2.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
11	9, 10	lmhmf 19808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
14		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
15	13, 14	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
16		nmoleub2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
17	10, 16	nmcl 23227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	7, 15, 17	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		nmoleub2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
20	19	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
21	18, 20	rerpdivcld 12465	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 10693	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
23		nmoleub2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
24	23	elin1d 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmMod)
25		nlmngp 23288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
27		lmghm 19805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
29		nmoleub2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
30	29	nmocl 23331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
31	26, 6, 28, 30	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
32	31	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
33		nmoleub2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	33	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
35	20	rpred 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
36		rexmul 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
37	21, 35, 36	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
38	18	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
39	35	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
40	20	rpne0d 12439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
41	38, 39, 40	divcan1d 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅) = (𝑀‘(𝐹‘𝑥)))
42	37, 41	eqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (𝑀‘(𝐹‘𝑥)))
43	18	rexrd 10693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
44	26	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
45		nmoleub2.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
46	9, 45	nmcl 23227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
47	44, 14, 46	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
48	47	rexrd 10693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ*)
49	32, 48	xmulcld 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ∈ ℝ*)
50	20	rpxrd 12435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
51	32, 50	xmulcld 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅) ∈ ℝ*)
52	28	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
53	29, 9, 45, 16	nmoix 23340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)))
54	44, 7, 52, 14, 53	syl31anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)))
55	29	nmoge0 23332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
56	26, 6, 28, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
57	31, 56	jca 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)))
58	57	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)))
59		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)
60		xlemul2a 12685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹))) ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
61	48, 50, 58, 59, 60	syl31anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
62	43, 49, 51, 54, 61	xrletrd 12558	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
63	42, 62	eqbrtrd 5090	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
64		xlemul1 12686	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅)))
65	22, 32, 20, 64	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅)))
66	63, 65	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹))
67		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
68	22, 32, 34, 66, 67	xrletrd 12558	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)
69	68	expr 459	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
70	2, 69	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
71	70	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
72		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
73	26	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
74	6	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
75	28	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
76		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
77		nmoleub2lem.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
78	77	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
79		nmoleub2lem.6	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
80	29, 9, 45, 16, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79	nmolb2d 23329	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
81	31	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
82		pnfge 12528	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
83	81, 82	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
84		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
85	83, 84	breqtrrd 5096	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
86	33	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
87		ge0nemnf 12569	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
88	86, 77, 87	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≠ -∞)
89	86, 88	jca 514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
90		xrnemnf 12515	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
91	89, 90	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
92	80, 85, 91	mpjaodan 955	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
93	71, 92	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140   ∩ cin 3937   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539   · cmul 10544  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678   / cdiv 11299  ℝ⁺crp 12392   ·_e cxmu 12509  Basecbs 16485  Scalarcsca 16570  0_gc0g 16715   GrpHom cghm 18357   LMHom clmhm 19793  normcnm 23188  NrmGrpcngp 23189  NrmModcnlm 23192   normOp cnmo 23316  ℂModcclm 23668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ico 12747  df-0g 16717  df-topgen 16719  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-ghm 18358  df-lmhm 19796  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-xms 22932  df-ms 22933  df-nm 23194  df-ngp 23195  df-nlm 23198  df-nmo 23319  df-nghm 23320

This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  23722  nmoleub3  23725