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Theorem nmoleub2lem 24621
Description: Lemma for nmoleub2a 24624 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoleub2.l 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoleub2.m 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
nmoleub2.w 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
nmoleub2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmoleub2lem.6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
nmoleub2lem.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ“,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
21adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
3 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
43elin1d 4197 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 24185 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
119, 10lmhmf 20637 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
14 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
1513, 14ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
16 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
1710, 16nmcl 24116 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
187, 15, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
19 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2118, 20rerpdivcld 13043 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ)
2221rexrd 11260 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
2423elin1d 4197 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 24185 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
27 lmghm 20634 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
288, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
29 nmoleub2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3029nmocl 24228 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3126, 6, 28, 30syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3231ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
33 nmoleub2.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3433ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3520rpred 13012 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
36 rexmul 13246 . . . . . . . . . 10 ((((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) = (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β· 𝑅))
3721, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) = (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β· 𝑅))
3818recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
3935recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
4020rpne0d 13017 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 β‰  0)
4138, 39, 40divcan1d 11987 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β· 𝑅) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4237, 41eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4318rexrd 11260 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
4426ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
45 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
469, 45nmcl 24116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4744, 14, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4847rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
4932, 48xmulcld 13277 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
5020rpxrd 13013 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
5132, 50xmulcld 13277 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅) ∈ ℝ*)
5228ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5329, 9, 45, 16nmoix 24237 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)))
5444, 7, 52, 14, 53syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)))
5529nmoge0 24229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
5626, 6, 28, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
5731, 56jca 512 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ)))
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ)))
59 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)
60 xlemul2a 13264 . . . . . . . . . 10 ((((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
6148, 50, 58, 59, 60syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
6243, 49, 51, 54, 61xrletrd 13137 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
6342, 62eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
64 xlemul1 13265 . . . . . . . 8 ((((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅)))
6522, 32, 20, 64syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅)))
6663, 65mpbird 256 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ (π‘β€˜πΉ))
67 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
6822, 32, 34, 66, 67xrletrd 13137 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)
6968expr 457 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
702, 69syld 47 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
7170ralrimiva 3146 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
72 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
7326ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
746ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
7528ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
76 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
77 nmoleub2lem.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
7877adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ 𝐴)
79 nmoleub2lem.6 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
8029, 9, 45, 16, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79nmolb2d 24226 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
8131ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
82 pnfge 13106 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ +∞)
8381, 82syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ +∞)
84 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
8583, 84breqtrrd 5175 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
8633adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
87 ge0nemnf 13148 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
8886, 77, 87syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
8986, 88jca 512 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  -∞))
90 xrnemnf 13093 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9189, 90sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9280, 85, 91mpjaodan 957 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
9371, 92impbida 799 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3946   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„+crp 12970   Β·e cxmu 13087  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  0gc0g 17381   GrpHom cghm 19083   LMHom clmhm 20622  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077  NrmModcnlm 24080   normOp cnmo 24213  β„‚Modcclm 24569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-lmhm 20625  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nlm 24086  df-nmo 24216  df-nghm 24217
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  24623  nmoleub3  24626
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