MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub2lem 24477
Description: Lemma for nmoleub2a 24480 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem.6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
nmoleub2lem.7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
21adantlr 713 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
3 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
43elin1d 4158 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 24041 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
76ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑆)
10 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
119, 10lmhmf 20495 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
14 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑥𝑉)
1513, 14ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
16 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (norm‘𝑇)
1710, 16nmcl 23972 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
187, 15, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
19 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2118, 20rerpdivcld 12988 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
2221rexrd 11205 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
2423elin1d 4158 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 24041 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
27 lmghm 20492 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
288, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
29 nmoleub2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3029nmocl 24084 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3126, 6, 28, 30syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3231ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
33 nmoleub2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3433ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3520rpred 12957 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
36 rexmul 13190 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3721, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3818recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
3935recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
4020rpne0d 12962 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
4138, 39, 40divcan1d 11932 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4237, 41eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4318rexrd 11205 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
4426ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
45 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (norm‘𝑆)
469, 45nmcl 23972 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4744, 14, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4847rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ*)
4932, 48xmulcld 13221 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ∈ ℝ*)
5020rpxrd 12958 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
5132, 50xmulcld 13221 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e 𝑅) ∈ ℝ*)
5228ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5329, 9, 45, 16nmoix 24093 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5444, 7, 52, 14, 53syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5529nmoge0 24085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5626, 6, 28, 55syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5731, 56jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
59 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)
60 xlemul2a 13208 . . . . . . . . . 10 ((((𝐿𝑥) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹))) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6148, 50, 58, 59, 60syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6243, 49, 51, 54, 61xrletrd 13081 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6342, 62eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
64 xlemul1 13209 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6522, 32, 20, 64syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6663, 65mpbird 256 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹))
67 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
6822, 32, 34, 66, 67xrletrd 13081 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)
6968expr 457 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
702, 69syld 47 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
7170ralrimiva 3143 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
72 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
7326ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
746ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7528ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
76 simpr 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
77 nmoleub2lem.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
7877adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
79 nmoleub2lem.6 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
8029, 9, 45, 16, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79nmolb2d 24082 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8131ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
82 pnfge 13051 . . . . 5 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
8381, 82syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
84 simpr 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
8583, 84breqtrrd 5133 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8633adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
87 ge0nemnf 13092 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
8886, 77, 87syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≠ -∞)
8986, 88jca 512 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
90 xrnemnf 13038 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9189, 90sylib 217 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9280, 85, 91mpjaodan 957 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
9371, 92impbida 799 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cin 3909   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188  cle 11190   / cdiv 11812  +crp 12915   ·e cxmu 13032  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136  0gc0g 17321   GrpHom cghm 19005   LMHom clmhm 20480  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  NrmModcnlm 23936   normOp cnmo 24069  ℂModcclm 24425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-ghm 19006  df-lmhm 20483  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nlm 23942  df-nmo 24072  df-nghm 24073
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  24479  nmoleub3  24482
  Copyright terms: Public domain W3C validator