Theorem nmoleub2lem 25070

Description: Lemma for nmoleub2a 25073 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5	⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem.6	⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
nmoleub2lem.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2lem	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2lem.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
2	1	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
3		nmoleub2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
4	3	elin1d 4156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmMod)
5		nlmngp 24621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8		nmoleub2.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9		nmoleub2.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
10		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
11	9, 10	lmhmf 20986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
14		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑉)
15	13, 14	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
16		nmoleub2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
17	10, 16	nmcl 24560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	7, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		nmoleub2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
21	18, 20	rerpdivcld 12980	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11182	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
23		nmoleub2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
24	23	elin1d 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmMod)
25		nlmngp 24621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
27		lmghm 20983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
29		nmoleub2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
30	29	nmocl 24664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
31	26, 6, 28, 30	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
33		nmoleub2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
35	20	rpred 12949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
36		rexmul 13186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
37	21, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
38	18	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
39	35	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
40	20	rpne0d 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
41	38, 39, 40	divcan1d 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) · 𝑅) = (𝑀‘(𝐹‘𝑥)))
42	37, 41	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (𝑀‘(𝐹‘𝑥)))
43	18	rexrd 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ*)
44	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
45		nmoleub2.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
46	9, 45	nmcl 24560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
47	44, 14, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
48	47	rexrd 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ*)
49	32, 48	xmulcld 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ∈ ℝ*)
50	20	rpxrd 12950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
51	32, 50	xmulcld 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅) ∈ ℝ*)
52	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
53	29, 9, 45, 16	nmoix 24673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)))
54	44, 7, 52, 14, 53	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)))
55	29	nmoge0 24665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
56	26, 6, 28, 55	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝐹))
57	31, 56	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)))
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹)))
59		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)
60		xlemul2a 13204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁‘𝐹))) ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
61	48, 50, 58, 59, 60	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁‘𝐹) ·e (𝐿‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
62	43, 49, 51, 54, 61	xrletrd 13076	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
63	42, 62	eqbrtrd 5120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅))
64		xlemul1 13205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅)))
65	22, 32, 20, 64	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁‘𝐹) ·e 𝑅)))
66	63, 65	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁‘𝐹))
67		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
68	22, 32, 34, 66, 67	xrletrd 13076	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)
69	68	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
70	2, 69	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
71	70	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
72		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
73	26	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
74	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
75	28	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
76		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
77		nmoleub2lem.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
78	77	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
79		nmoleub2lem.6	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
80	29, 9, 45, 16, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79	nmolb2d 24662	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
81	31	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ*)
82		pnfge 13044	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
83	81, 82	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ +∞)
84		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
85	83, 84	breqtrrd 5126	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
86	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
87		ge0nemnf 13088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
88	86, 77, 87	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≠ -∞)
89	86, 88	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
90		xrnemnf 13031	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
91	89, 90	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
92	80, 85, 91	mpjaodan 960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)
93	71, 92	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∩ cin 3900   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   · cmul 11031  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  ℝ⁺crp 12905   ·_e cxmu 13025  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180  0_gc0g 17359   GrpHom cghm 19141   LMHom clmhm 20971  normcnm 24520  NrmGrpcngp 24521  NrmModcnlm 24524   normOp cnmo 24649  ℂModcclm 25018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ico 13267  df-0g 17361  df-topgen 17363  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-ghm 19142  df-lmhm 20974  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-xms 24264  df-ms 24265  df-nm 24526  df-ngp 24527  df-nlm 24530  df-nmo 24652  df-nghm 24653

This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  25072  nmoleub3  25075