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Theorem nmoleub2lem 24630
Description: Lemma for nmoleub2a 24633 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoleub2.l 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoleub2.m 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
nmoleub2.w 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
nmoleub2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmoleub2lem.6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
nmoleub2lem.7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ“,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ“(π‘₯)   𝑇(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
21adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
3 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
43elin1d 4199 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 24194 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
76ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
9 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
119, 10lmhmf 20645 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
14 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
1513, 14ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
16 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
1710, 16nmcl 24125 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
187, 15, 17syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
19 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2118, 20rerpdivcld 13047 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ)
2221rexrd 11264 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
2423elin1d 4199 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 24194 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
27 lmghm 20642 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
288, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
29 nmoleub2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3029nmocl 24237 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3126, 6, 28, 30syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
3231ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
33 nmoleub2.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3433ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3520rpred 13016 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
36 rexmul 13250 . . . . . . . . . 10 ((((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) = (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β· 𝑅))
3721, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) = (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β· 𝑅))
3818recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
3935recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
4020rpne0d 13021 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 β‰  0)
4138, 39, 40divcan1d 11991 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β· 𝑅) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4237, 41eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
4318rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
4426ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
45 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
469, 45nmcl 24125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4744, 14, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4847rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
4932, 48xmulcld 13281 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ*)
5020rpxrd 13017 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
5132, 50xmulcld 13281 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅) ∈ ℝ*)
5228ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5329, 9, 45, 16nmoix 24246 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)))
5444, 7, 52, 14, 53syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)))
5529nmoge0 24238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
5626, 6, 28, 55syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))
5731, 56jca 513 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ)))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ)))
59 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)
60 xlemul2a 13268 . . . . . . . . . 10 ((((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘β€˜πΉ))) ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
6148, 50, 58, 59, 60syl31anc 1374 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β·e (πΏβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
6243, 49, 51, 54, 61xrletrd 13141 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
6342, 62eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅))
64 xlemul1 13269 . . . . . . . 8 ((((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅)))
6522, 32, 20, 64syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ (π‘β€˜πΉ) ↔ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) Β·e 𝑅) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β·e 𝑅)))
6663, 65mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ (π‘β€˜πΉ))
67 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
6822, 32, 34, 66, 67xrletrd 13141 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)
6968expr 458 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
702, 69syld 47 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
7170ralrimiva 3147 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
72 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
7326ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
746ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
7528ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
76 simpr 486 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
77 nmoleub2lem.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
7877adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ 𝐴)
79 nmoleub2lem.6 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
8029, 9, 45, 16, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79nmolb2d 24235 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
8131ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
82 pnfge 13110 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ* β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ +∞)
8381, 82syl 17 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ +∞)
84 simpr 486 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐴 = +∞)
8583, 84breqtrrd 5177 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
8633adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
87 ge0nemnf 13152 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
8886, 77, 87syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
8986, 88jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  -∞))
90 xrnemnf 13097 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9189, 90sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9280, 85, 91mpjaodan 958 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
9371, 92impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (πœ“ β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3948   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„+crp 12974   Β·e cxmu 13091  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385   GrpHom cghm 19089   LMHom clmhm 20630  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmModcnlm 24089   normOp cnmo 24222  β„‚Modcclm 24578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-lmhm 20633  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nlm 24095  df-nmo 24225  df-nghm 24226
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  24632  nmoleub3  24635
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