Theorem ncvsm1 25052

Description: The norm of the opposite of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ncvsm1	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem ncvsm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2		elin 3919	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25024	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7	5, 6	clmneg1 24980	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	2, 8	simplbiim 504	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		ncvsprp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
14		ncvsprp.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	12, 13, 14, 5, 6	ncvsprp 25050	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
16	1, 10, 11, 15	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
17		ax-1cn 11067	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	absnegi 15308	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
19		abs1 15204	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
20	18, 19	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (abs‘-1) = 1
21	20	oveq1i 7359	. . 3 ⊢ ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (1 · (𝑁‘𝐴))
22		nvcnlm 24582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
23		nlmngp 24563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26	2, 25	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
27	12, 13	nmcl 24502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
28	26, 27	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11143	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	21, 30	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
32	16, 31	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  1c1 11010   · cmul 11014  -cneg 11348  abscabs 15141  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  normcnm 24462  NrmGrpcngp 24463  NrmModcnlm 24466  NrmVeccnvc 24467  ℂModcclm 24960  ℂVecccvs 25021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-cmn 19661  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-subrg 20455  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-xms 24206  df-ms 24207  df-nm 24468  df-ngp 24469  df-nlm 24472  df-nvc 24473  df-clm 24961  df-cvs 25022

This theorem is referenced by: (None)