MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsm1 23759
Description: The norm of the opposite of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
ncvsm1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁𝐴))

Proof of Theorem ncvsm1
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2 elin 3897 . . . . 5 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
43cvsclm 23731 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
5 eqid 2798 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
75, 6clmneg1 23687 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
92, 8simplbiim 508 . . . 4 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
109adantr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11 simpr 488 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
12 ncvsprp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 ncvsprp.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
14 ncvsprp.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
1512, 13, 14, 5, 6ncvsprp 23757 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁𝐴)))
161, 10, 11, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁𝐴)))
17 ax-1cn 10584 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
1817absnegi 14752 . . . . 5 (abs‘-1) = (abs‘1)
19 abs1 14649 . . . . 5 (abs‘1) = 1
2018, 19eqtri 2821 . . . 4 (abs‘-1) = 1
2120oveq1i 7145 . . 3 ((abs‘-1) · (𝑁𝐴)) = (1 · (𝑁𝐴))
22 nvcnlm 23302 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
23 nlmngp 23283 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2524adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
262, 25sylbi 220 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2712, 13nmcl 23222 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2826, 27sylan 583 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 10658 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
3029mulid2d 10648 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (1 · (𝑁𝐴)) = (𝑁𝐴))
3121, 30syl5eq 2845 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → ((abs‘-1) · (𝑁𝐴)) = (𝑁𝐴))
3216, 31eqtrd 2833 1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  cin 3880  cfv 6324  (class class class)co 7135  cr 10525  1c1 10527   · cmul 10531  -cneg 10860  abscabs 14585  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  normcnm 23183  NrmGrpcngp 23184  NrmModcnlm 23187  NrmVeccnvc 23188  ℂModcclm 23667  ℂVecccvs 23728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-xms 22927  df-ms 22928  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nlm 23193  df-nvc 23194  df-clm 23668  df-cvs 23729
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator