Theorem ncvsm1 25114

Description: The norm of the opposite of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ncvsm1	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem ncvsm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2		elin 3918	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25086	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7	5, 6	clmneg1 25042	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	2, 8	simplbiim 504	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		ncvsprp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
14		ncvsprp.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	12, 13, 14, 5, 6	ncvsprp 25112	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
16	1, 10, 11, 15	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
17		ax-1cn 11088	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	absnegi 15328	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
19		abs1 15224	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
20	18, 19	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (abs‘-1) = 1
21	20	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (1 · (𝑁‘𝐴))
22		nvcnlm 24644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
23		nlmngp 24625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26	2, 25	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
27	12, 13	nmcl 24564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
28	26, 27	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11164	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	21, 30	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
32	16, 31	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3901  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  1c1 11031   · cmul 11035  -cneg 11369  abscabs 15161  Basecbs 17140  Scalarcsca 17184   ·_𝑠 cvsca 17185  normcnm 24524  NrmGrpcngp 24525  NrmModcnlm 24528  NrmVeccnvc 24529  ℂModcclm 25022  ℂVecccvs 25083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-fz 13428  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-topgen 17367  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-cmn 19715  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrg 20507  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-xms 24268  df-ms 24269  df-nm 24530  df-ngp 24531  df-nlm 24534  df-nvc 24535  df-clm 25023  df-cvs 25084

This theorem is referenced by: (None)