Theorem ncvsm1 25502

Description: The norm of the opposite of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ncvsm1	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘( -1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem ncvsm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2		elin 4096	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25474	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7	5, 6	clmneg1 25430	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	2, 8	simplbiim 514	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		ncvsprp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
14		ncvsprp.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	12, 13, 14, 5, 6	ncvsprp 25500	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘( -1 · 𝐴)) = ((abs‘ -1) · (𝑁‘𝐴)))
16	1, 10, 11, 15	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘( -1 · 𝐴)) = ((abs‘ -1) · (𝑁‘𝐴)))
17		ax-1cn 11282	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	absnegi 15594	. . . . 5 ⊢ (abs‘ -1) = (abs‘1)
19		abs1 15490	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
20	18, 19	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (abs‘ -1) = 1
21	20	oveq1i 7450	. . 3 ⊢ ((abs‘ -1) · (𝑁‘𝐴)) = (1 · (𝑁‘𝐴))
22		nvcnlm 25042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
23		nlmngp 25023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26	2, 25	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
27	12, 13	nmcl 24962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
28	26, 27	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11361	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11351	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	21, 30	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((abs‘ -1) · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
32	16, 31	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘( -1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  1c1 11225   · cmul 11229   -cneg 11566  abscabs 15427  Basecbs 17413  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458  normcnm 24922  NrmGrpcngp 24923  NrmModcnlm 24926  NrmVeccnvc 24927  ℂModcclm 25410  ℂVecccvs 25471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-0g 17638  df-topgen 17640  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrg 20849  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-xms 24666  df-ms 24667  df-nm 24928  df-ngp 24929  df-nlm 24932  df-nvc 24933  df-clm 25411  df-cvs 25472

This theorem is used by: (None)