Theorem ncvsm1 25414

Description: The norm of the opposite of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ncvsm1	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem ncvsm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2		elin 3915	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25386	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7	5, 6	clmneg1 25342	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	2, 8	simplbiim 514	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		ncvsprp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
14		ncvsprp.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	12, 13, 14, 5, 6	ncvsprp 25412	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
16	1, 10, 11, 15	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
17		ax-1cn 11207	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	absnegi 15513	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
19		abs1 15409	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
20	18, 19	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (abs‘-1) = 1
21	20	oveq1i 7426	. . 3 ⊢ ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (1 · (𝑁‘𝐴))
22		nvcnlm 24954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
23		nlmngp 24935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26	2, 25	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
27	12, 13	nmcl 24874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
28	26, 27	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11286	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11276	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	21, 30	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
32	16, 31	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  1c1 11150   · cmul 11154  -cneg 11491  abscabs 15346  Basecbs 17326  Scalarcsca 17370   ·_𝑠 cvsca 17371  normcnm 24834  NrmGrpcngp 24835  NrmModcnlm 24838  NrmVeccnvc 24839  ℂModcclm 25322  ℂVecccvs 25383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-fz 13587  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-0g 17551  df-topgen 17553  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-cmn 19935  df-mgp 20300  df-ur 20347  df-ring 20400  df-cring 20401  df-subrg 20761  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-xms 24578  df-ms 24579  df-nm 24840  df-ngp 24841  df-nlm 24844  df-nvc 24845  df-clm 25323  df-cvs 25384

This theorem is used by: (None)