Theorem ncvsm1 25218

Description: The norm of the opposite of a vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ncvsm1	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem ncvsm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2		elin 3922	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25190	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
7	5, 6	clmneg1 25146	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	2, 8	simplbiim 512	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10	9	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
11		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		ncvsprp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
14		ncvsprp.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	12, 13, 14, 5, 6	ncvsprp 25216	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ -1 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
16	1, 10, 11, 15	syl3anc 1392	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)))
17		ax-1cn 11133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17	absnegi 15430	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
19		abs1 15326	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) = 1
20	18, 19	eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (abs‘-1) = 1
21	20	oveq1i 7408	. . 3 ⊢ ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (1 · (𝑁‘𝐴))
22		nvcnlm 24758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
23		nlmngp 24739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
25	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
26	2, 25	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
27	12, 13	nmcl 24678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
28	26, 27	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11212	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11202	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (1 · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	21, 30	eqtrid 2811	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((abs‘-1) · (𝑁‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
32	16, 31	eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(-1 · 𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∩ cin 3905  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  1c1 11076   · cmul 11080  -cneg 11417  abscabs 15263  Basecbs 17247  Scalarcsca 17291   ·_𝑠 cvsca 17292  normcnm 24638  NrmGrpcngp 24639  NrmModcnlm 24642  NrmVeccnvc 24643  ℂModcclm 25126  ℂVecccvs 25187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-fz 13515  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-0g 17472  df-topgen 17474  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-cmn 19824  df-mgp 20189  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-subrg 20622  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-xms 24382  df-ms 24383  df-nm 24644  df-ngp 24645  df-nlm 24648  df-nvc 24649  df-clm 25127  df-cvs 25188

This theorem is referenced by: (None)