MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub2lem2 24279
Description: Lemma for nmoleub2a 24280 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem2.6 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
nmoleub2lem2.7 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → (𝐿𝑥)𝑂𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem2 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub2lem2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (norm‘𝑆)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (norm‘𝑇)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 nmoleub2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8 nmoleub2.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9 nmoleub2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
12 lmghm 20293 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
14 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (0g𝑇) = (0g𝑇)
1513, 14ghmid 18840 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
169, 12, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
1716fveq2d 6778 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑀‘(0g𝑇)))
188elin1d 4132 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
19 nlmngp 23841 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
204, 14nm0 23785 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2217, 21eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
2423oveq1d 7290 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) = (0 / 𝑅))
2511adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2625rpcnd 12774 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2725rpne0d 12777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ≠ 0)
2826, 27div0d 11750 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0 / 𝑅) = 0)
2924, 28eqtrd 2778 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) = 0)
307elin1d 4132 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
31 nlmngp 23841 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
323, 13nm0 23785 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
3433adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
3525rpgt0d 12775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 < 𝑅)
3634, 35eqbrtrd 5096 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅)
37 fveq2 6774 . . . . . . 7 (𝑥 = (0g𝑆) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(0g𝑆)))
3837breq1d 5084 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑆) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅))
39 2fveq3 6779 . . . . . . . 8 (𝑥 = (0g𝑆) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))))
4039oveq1d 7290 . . . . . . 7 (𝑥 = (0g𝑆) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅))
4140breq1d 5084 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑆) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
4238, 41imbi12d 345 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝑆) → (((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
4330, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
442, 3nmcl 23772 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4543, 44sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4611adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4746rpred 12772 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
48 nmoleub2lem2.7 . . . . . . . . 9 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → (𝐿𝑥)𝑂𝑅))
4945, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → (𝐿𝑥)𝑂𝑅))
5049imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
5150ralimdva 3108 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
5251imp 407 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
53 ngpgrp 23755 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
542, 13grpidcl 18607 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
5543, 53, 543syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
5655adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
5742, 52, 56rspcdva 3562 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
5836, 57mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
5929, 58eqbrtrrd 5098 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
60 simp-4l 780 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝜑)
6160, 7syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
6260, 8syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
6360, 9syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6460, 10syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6560, 11syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
66 nmoleub2a.5 . . . . 5 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
6760, 66syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ℚ ⊆ 𝐾)
68 eqid 2738 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
69 simpllr 773 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7059ad3antrrr 727 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 0 ≤ 𝐴)
71 simplrl 774 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑦𝑉)
72 simplrr 775 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑦 ≠ (0g𝑆))
7352ad3antrrr 727 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
74 fveq2 6774 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)))
7574breq1d 5084 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅))
76 2fveq3 6779 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))))
7776oveq1d 7290 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅))
7877breq1d 5084 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
7975, 78imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
8079rspccv 3558 . . . . 5 (∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
8173, 80syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ((𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
82 simpr 485 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
831, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 81, 82nmoleub2lem3 24278 . . 3 ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
84 iman 402 . . 3 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) ↔ ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))))
8583, 84mpbir 230 . 2 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
86 nmoleub2lem2.6 . . 3 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
8745, 47, 86syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
881, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 59, 85, 87nmoleub2lem 24277 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cin 3886  wss 3887   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010   / cdiv 11632  cq 12688  +crp 12730  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  0gc0g 17150  Grpcgrp 18577   GrpHom cghm 18831   LMHom clmhm 20281  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733  NrmModcnlm 23736   normOp cnmo 23869  ℂModcclm 24225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lmhm 20284  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nlm 23742  df-nmo 23872  df-nghm 23873  df-clm 24226
This theorem is referenced by:  nmoleub2a  24280  nmoleub2b  24281
  Copyright terms: Public domain W3C validator