Theorem nmoleub2lem2 24185

Description: Lemma for nmoleub2a 24186 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5	⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem2.6	⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
nmoleub2lem2.7	⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥)𝑂𝑅))

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2lem2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub2lem2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		nmoleub2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		nmoleub2.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
4		nmoleub2.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
5		nmoleub2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6		nmoleub2.w	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		nmoleub2.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8		nmoleub2.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9		nmoleub2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10		nmoleub2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		nmoleub2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
12		lmghm 20208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
14		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
15	13, 14	ghmid 18755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
16	9, 12, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
17	16	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
18	8	elin1d 4128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmMod)
19		nlmngp 23747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
20	4, 14	nm0 23691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
24	23	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) = (0 / 𝑅))
25	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
26	25	rpcnd 12703	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℂ)
27	25	rpne0d 12706	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ≠ 0)
28	26, 27	div0d 11680	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0 / 𝑅) = 0)
29	24, 28	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) = 0)
30	7	elin1d 4128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmMod)
31		nlmngp 23747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
32	3, 13	nm0 23691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
35	25	rpgt0d 12704	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 < 𝑅)
36	34, 35	eqbrtrd 5092	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅)
37		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
38	37	breq1d 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅))
39		2fveq3 6761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
40	39	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅))
41	40	breq1d 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
42	38, 41	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
43	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
44	2, 3	nmcl 23678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
46	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
47	46	rpred 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
48		nmoleub2lem2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥)𝑂𝑅))
49	45, 47, 48	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥)𝑂𝑅))
50	49	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
51	50	ralimdva 3102	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
52	51	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
53		ngpgrp 23661	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
54	2, 13	grpidcl 18522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
55	43, 53, 54	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
57	42, 52, 56	rspcdva 3554	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
58	36, 57	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
59	29, 58	eqbrtrrd 5094	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
60		simp-4l 779	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝜑)
61	60, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
62	60, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
63	60, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
64	60, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
65	60, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
66		nmoleub2a.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
67	60, 66	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ℚ ⊆ 𝐾)
68		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
69		simpllr 772	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
70	59	ad3antrrr 726	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 0 ≤ 𝐴)
71		simplrl 773	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
72		simplrr 774	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))
73	52	ad3antrrr 726	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
74		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)))
75	74	breq1d 5080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅))
76		2fveq3 6761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))))
77	76	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅))
78	77	breq1d 5080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
79	75, 78	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
80	79	rspccv 3549	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
81	73, 80	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
82		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 81, 82	nmoleub2lem3 24184	. . 3 ⊢ ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
84		iman 401	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) ↔ ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))))
85	83, 84	mpbir 230	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
86		nmoleub2lem2.6	. . 3 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
87	45, 47, 86	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
88	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 59, 85, 87	nmoleub2lem 24183	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℚcq 12617  ℝ⁺crp 12659  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492   GrpHom cghm 18746   LMHom clmhm 20196  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639  NrmModcnlm 23642   normOp cnmo 23775  ℂModcclm 24131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lmhm 20199  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nlm 23648  df-nmo 23778  df-nghm 23779  df-clm 24132

This theorem is referenced by:  nmoleub2a  24186  nmoleub2b  24187