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Theorem nmoleub2lem2 24863
Description: Lemma for nmoleub2a 24864 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoleub2.l 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoleub2.m 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
nmoleub2.w 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
nmoleub2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5 (πœ‘ β†’ β„š βŠ† 𝐾)
nmoleub2lem2.6 (((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
nmoleub2lem2.7 (((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ (πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑂(π‘₯)

Proof of Theorem nmoleub2lem2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 nmoleub2.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
8 nmoleub2.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
9 nmoleub2.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
12 lmghm 20786 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
14 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
1513, 14ghmid 19136 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
169, 12, 153syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = (0gβ€˜π‘‡))
1716fveq2d 6894 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)))
188elin1d 4197 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
19 nlmngp 24414 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
204, 14nm0 24358 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
2217, 21eqtrd 2770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = 0)
2322adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) = 0)
2423oveq1d 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) / 𝑅) = (0 / 𝑅))
2511adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2625rpcnd 13022 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
2725rpne0d 13025 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 𝑅 β‰  0)
2826, 27div0d 11993 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (0 / 𝑅) = 0)
2924, 28eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) / 𝑅) = 0)
307elin1d 4197 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
31 nlmngp 24414 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
323, 13nm0 24358 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
3433adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) = 0)
3525rpgt0d 13023 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 < 𝑅)
3634, 35eqbrtrd 5169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) < 𝑅)
37 fveq2 6890 . . . . . . 7 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘†) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)))
3837breq1d 5157 . . . . . 6 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 ↔ (πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) < 𝑅))
39 2fveq3 6895 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))))
4039oveq1d 7426 . . . . . . 7 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘†) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) / 𝑅))
4140breq1d 5157 . . . . . 6 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘†) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴 ↔ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) / 𝑅) ≀ 𝐴))
4238, 41imbi12d 343 . . . . 5 (π‘₯ = (0gβ€˜π‘†) β†’ (((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴) ↔ ((πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
4330, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
442, 3nmcl 24345 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4543, 44sylan 578 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4611adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
4746rpred 13020 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
48 nmoleub2lem2.7 . . . . . . . . 9 (((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ (πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅))
4945, 47, 48syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ (πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅))
5049imim1d 82 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
5150ralimdva 3165 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
5251imp 405 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
53 ngpgrp 24328 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ 𝑆 ∈ Grp)
542, 13grpidcl 18886 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑉)
5543, 53, 543syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑉)
5655adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝑉)
5742, 52, 56rspcdva 3612 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ ((πΏβ€˜(0gβ€˜π‘†)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) / 𝑅) ≀ 𝐴))
5836, 57mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(0gβ€˜π‘†))) / 𝑅) ≀ 𝐴)
5929, 58eqbrtrrd 5171 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
60 simp-4l 779 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ πœ‘)
6160, 7syl 17 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
6260, 8syl 17 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
6360, 9syl 17 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6460, 10syl 17 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
6560, 11syl 17 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
66 nmoleub2a.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„š βŠ† 𝐾)
6760, 66syl 17 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ β„š βŠ† 𝐾)
68 eqid 2730 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
69 simpllr 772 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7059ad3antrrr 726 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ 0 ≀ 𝐴)
71 simplrl 773 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
72 simplrr 774 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))
7352ad3antrrr 726 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
74 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)))
7574breq1d 5157 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 ↔ (πΏβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) < 𝑅))
76 2fveq3 6895 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))))
7776oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅))
7877breq1d 5157 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴 ↔ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴))
7975, 78imbi12d 343 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴) ↔ ((πΏβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
8079rspccv 3608 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴) β†’ ((𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉 β†’ ((πΏβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
8173, 80syl 17 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ ((𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉 β†’ ((πΏβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) < 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜(𝑧( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
82 simpr 483 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
831, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 81, 82nmoleub2lem3 24862 . . 3 Β¬ ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
84 iman 400 . . 3 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))) ↔ Β¬ ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) ∧ Β¬ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))))
8583, 84mpbir 230 . 2 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
86 nmoleub2lem2.6 . . 3 (((πΏβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
8745, 47, 86syl2anc 582 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
881, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 59, 85, 87nmoleub2lem 24861 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯)𝑂𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„šcq 12936  β„+crp 12978  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855   GrpHom cghm 19127   LMHom clmhm 20774  normcnm 24305  NrmGrpcngp 24306  NrmModcnlm 24309   normOp cnmo 24442  β„‚Modcclm 24809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-mgp 20029  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lmhm 20777  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nlm 24315  df-nmo 24445  df-nghm 24446  df-clm 24810
This theorem is referenced by:  nmoleub2a  24864  nmoleub2b  24865
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