Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub2lem2 23714
 Description: Lemma for nmoleub2a 23715 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem2.6 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
nmoleub2lem2.7 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → (𝐿𝑥)𝑂𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem2 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub2lem2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (norm‘𝑆)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (norm‘𝑇)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 nmoleub2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8 nmoleub2.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9 nmoleub2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
12 lmghm 19797 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
14 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (0g𝑇) = (0g𝑇)
1513, 14ghmid 18358 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
169, 12, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
1716fveq2d 6669 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑀‘(0g𝑇)))
188elin1d 4175 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
19 nlmngp 23280 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
204, 14nm0 23232 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2217, 21eqtrd 2856 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
2322adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
2423oveq1d 7165 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) = (0 / 𝑅))
2511adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2625rpcnd 12427 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2725rpne0d 12430 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ≠ 0)
2826, 27div0d 11409 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0 / 𝑅) = 0)
2924, 28eqtrd 2856 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) = 0)
307elin1d 4175 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
31 nlmngp 23280 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
323, 13nm0 23232 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
3433adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
3525rpgt0d 12428 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 < 𝑅)
3634, 35eqbrtrd 5081 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅)
37 fveq2 6665 . . . . . . 7 (𝑥 = (0g𝑆) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(0g𝑆)))
3837breq1d 5069 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑆) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅))
39 2fveq3 6670 . . . . . . . 8 (𝑥 = (0g𝑆) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))))
4039oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝑥 = (0g𝑆) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅))
4140breq1d 5069 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑆) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
4238, 41imbi12d 347 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝑆) → (((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
4330, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
442, 3nmcl 23219 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4543, 44sylan 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4611adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4746rpred 12425 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
48 nmoleub2lem2.7 . . . . . . . . 9 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → (𝐿𝑥)𝑂𝑅))
4945, 47, 48syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → (𝐿𝑥)𝑂𝑅))
5049imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
5150ralimdva 3177 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
5251imp 409 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
53 ngpgrp 23202 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
542, 13grpidcl 18125 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
5543, 53, 543syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
5655adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
5742, 52, 56rspcdva 3625 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
5836, 57mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
5929, 58eqbrtrrd 5083 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
60 simp-4l 781 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝜑)
6160, 7syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
6260, 8syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
6360, 9syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6460, 10syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6560, 11syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
66 nmoleub2a.5 . . . . 5 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
6760, 66syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ℚ ⊆ 𝐾)
68 eqid 2821 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
69 simpllr 774 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7059ad3antrrr 728 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 0 ≤ 𝐴)
71 simplrl 775 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑦𝑉)
72 simplrr 776 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑦 ≠ (0g𝑆))
7352ad3antrrr 728 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
74 fveq2 6665 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)))
7574breq1d 5069 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅))
76 2fveq3 6670 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))))
7776oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅))
7877breq1d 5069 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
7975, 78imbi12d 347 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
8079rspccv 3620 . . . . 5 (∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
8173, 80syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ((𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
82 simpr 487 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
831, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 81, 82nmoleub2lem3 23713 . . 3 ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
84 iman 404 . . 3 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) ↔ ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))))
8583, 84mpbir 233 . 2 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
86 nmoleub2lem2.6 . . 3 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
8745, 47, 86syl2anc 586 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
881, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 59, 85, 87nmoleub2lem 23712 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   / cdiv 11291  ℚcq 12342  ℝ+crp 12383  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707  Grpcgrp 18097   GrpHom cghm 18349   LMHom clmhm 19785  normcnm 23180  NrmGrpcngp 23181  NrmModcnlm 23184   normOp cnmo 23308  ℂModcclm 23660 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ico 12738  df-fz 12887  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-topgen 16711  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-ring 19293  df-cring 19294  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lmhm 19788  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-xms 22924  df-ms 22925  df-nm 23186  df-ngp 23187  df-nlm 23190  df-nmo 23311  df-nghm 23312  df-clm 23661 This theorem is referenced by:  nmoleub2a  23715  nmoleub2b  23716
 Copyright terms: Public domain W3C validator