Theorem nmoleub2lem2 25163

Description: Lemma for nmoleub2a 25164 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5	⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem2.6	⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
nmoleub2lem2.7	⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥)𝑂𝑅))

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2lem2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub2lem2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		nmoleub2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		nmoleub2.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
4		nmoleub2.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
5		nmoleub2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6		nmoleub2.w	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		nmoleub2.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8		nmoleub2.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9		nmoleub2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10		nmoleub2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		nmoleub2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
12		lmghm 21048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
14		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
15	13, 14	ghmid 19253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
16	9, 12, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
17	16	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
18	8	elin1d 4214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmMod)
19		nlmngp 24714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
20	4, 14	nm0 24658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
24	23	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) = (0 / 𝑅))
25	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
26	25	rpcnd 13077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℂ)
27	25	rpne0d 13080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ≠ 0)
28	26, 27	div0d 12040	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0 / 𝑅) = 0)
29	24, 28	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) = 0)
30	7	elin1d 4214	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmMod)
31		nlmngp 24714	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
32	3, 13	nm0 24658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
35	25	rpgt0d 13078	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 < 𝑅)
36	34, 35	eqbrtrd 5170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅)
37		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
38	37	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅))
39		2fveq3 6912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
40	39	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅))
41	40	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
42	38, 41	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
43	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
44	2, 3	nmcl 24645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
46	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
47	46	rpred 13075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
48		nmoleub2lem2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥)𝑂𝑅))
49	45, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥)𝑂𝑅))
50	49	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
51	50	ralimdva 3165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
52	51	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
53		ngpgrp 24628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
54	2, 13	grpidcl 18996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
55	43, 53, 54	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
57	42, 52, 56	rspcdva 3623	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
58	36, 57	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
59	29, 58	eqbrtrrd 5172	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
60		simp-4l 783	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝜑)
61	60, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
62	60, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
63	60, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
64	60, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
65	60, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
66		nmoleub2a.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
67	60, 66	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ℚ ⊆ 𝐾)
68		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
69		simpllr 776	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
70	59	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 0 ≤ 𝐴)
71		simplrl 777	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
72		simplrr 778	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))
73	52	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
74		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)))
75	74	breq1d 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅))
76		2fveq3 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))))
77	76	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅))
78	77	breq1d 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
79	75, 78	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
80	79	rspccv 3619	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
81	73, 80	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
82		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 81, 82	nmoleub2lem3 25162	. . 3 ⊢ ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
84		iman 401	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) ↔ ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))))
85	83, 84	mpbir 231	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
86		nmoleub2lem2.6	. . 3 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
87	45, 47, 86	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
88	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 59, 85, 87	nmoleub2lem 25161	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  ℚcq 12988  ℝ⁺crp 13032  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243   LMHom clmhm 21036  normcnm 24605  NrmGrpcngp 24606  NrmModcnlm 24609   normOp cnmo 24742  ℂModcclm 25109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lmhm 21039  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nlm 24615  df-nmo 24745  df-nghm 24746  df-clm 25110

This theorem is referenced by:  nmoleub2a  25164  nmoleub2b  25165