MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub2lem2 23881
Description: Lemma for nmoleub2a 23882 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem2.6 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
nmoleub2lem2.7 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → (𝐿𝑥)𝑂𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem2 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub2lem2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (norm‘𝑆)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (norm‘𝑇)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 nmoleub2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8 nmoleub2.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9 nmoleub2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
12 lmghm 19935 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
14 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (0g𝑇) = (0g𝑇)
1513, 14ghmid 18495 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
169, 12, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
1716fveq2d 6691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑀‘(0g𝑇)))
188elin1d 4098 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
19 nlmngp 23443 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
204, 14nm0 23395 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2217, 21eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
2423oveq1d 7198 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) = (0 / 𝑅))
2511adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2625rpcnd 12529 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2725rpne0d 12532 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ≠ 0)
2826, 27div0d 11506 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0 / 𝑅) = 0)
2924, 28eqtrd 2774 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) = 0)
307elin1d 4098 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
31 nlmngp 23443 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
323, 13nm0 23395 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
3433adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
3525rpgt0d 12530 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 < 𝑅)
3634, 35eqbrtrd 5062 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅)
37 fveq2 6687 . . . . . . 7 (𝑥 = (0g𝑆) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(0g𝑆)))
3837breq1d 5050 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑆) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅))
39 2fveq3 6692 . . . . . . . 8 (𝑥 = (0g𝑆) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))))
4039oveq1d 7198 . . . . . . 7 (𝑥 = (0g𝑆) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅))
4140breq1d 5050 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑆) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
4238, 41imbi12d 348 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝑆) → (((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
4330, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
442, 3nmcl 23382 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4543, 44sylan 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4611adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
4746rpred 12527 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
48 nmoleub2lem2.7 . . . . . . . . 9 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → (𝐿𝑥)𝑂𝑅))
4945, 47, 48syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → (𝐿𝑥)𝑂𝑅))
5049imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
5150ralimdva 3092 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
5251imp 410 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
53 ngpgrp 23365 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
542, 13grpidcl 18262 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Grp → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
5543, 53, 543syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
5655adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0g𝑆) ∈ 𝑉)
5742, 52, 56rspcdva 3531 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝐿‘(0g𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
5836, 57mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
5929, 58eqbrtrrd 5064 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
60 simp-4l 783 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝜑)
6160, 7syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
6260, 8syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
6360, 9syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
6460, 10syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6560, 11syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
66 nmoleub2a.5 . . . . 5 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
6760, 66syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ℚ ⊆ 𝐾)
68 eqid 2739 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
69 simpllr 776 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7059ad3antrrr 730 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 0 ≤ 𝐴)
71 simplrl 777 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑦𝑉)
72 simplrr 778 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → 𝑦 ≠ (0g𝑆))
7352ad3antrrr 730 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
74 fveq2 6687 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)))
7574breq1d 5050 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝐿𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅))
76 2fveq3 6692 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))))
7776oveq1d 7198 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅))
7877breq1d 5050 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
7975, 78imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
8079rspccv 3526 . . . . 5 (∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
8173, 80syl 17 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ((𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
82 simpr 488 . . . 4 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) → ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
831, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 81, 82nmoleub2lem3 23880 . . 3 ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
84 iman 405 . . 3 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))) ↔ ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))))
8583, 84mpbir 234 . 2 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
86 nmoleub2lem2.6 . . 3 (((𝐿𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
8745, 47, 86syl2anc 587 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
881, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 59, 85, 87nmoleub2lem 23879 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  cin 3852  wss 3853   class class class wbr 5040  cfv 6350  (class class class)co 7183  cr 10627  0cc0 10628   · cmul 10633  *cxr 10765   < clt 10766  cle 10767   / cdiv 11388  cq 12443  +crp 12485  Basecbs 16599  Scalarcsca 16684   ·𝑠 cvsca 16685  0gc0g 16829  Grpcgrp 18232   GrpHom cghm 18486   LMHom clmhm 19923  normcnm 23342  NrmGrpcngp 23343  NrmModcnlm 23346   normOp cnmo 23471  ℂModcclm 23827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ico 12840  df-fz 12995  df-seq 13474  df-exp 13535  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-0g 16831  df-topgen 16833  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-grp 18235  df-subg 18407  df-ghm 18487  df-cmn 19039  df-mgp 19372  df-ring 19431  df-cring 19432  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lmhm 19926  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-xms 23086  df-ms 23087  df-nm 23348  df-ngp 23349  df-nlm 23352  df-nmo 23474  df-nghm 23475  df-clm 23828
This theorem is referenced by:  nmoleub2a  23882  nmoleub2b  23883
  Copyright terms: Public domain W3C validator