Theorem nmoleub2lem2 25101

Description: Lemma for nmoleub2a 25102 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoleub2.n	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5	⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem2.6	⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
nmoleub2lem2.7	⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥)𝑂𝑅))

Assertion

Ref	Expression
nmoleub2lem2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub2lem2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoleub2.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2		nmoleub2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
3		nmoleub2.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
4		nmoleub2.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
5		nmoleub2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6		nmoleub2.w	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		nmoleub2.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8		nmoleub2.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9		nmoleub2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10		nmoleub2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		nmoleub2.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
12		lmghm 21021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
14		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
15	13, 14	ghmid 19188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
16	9, 12, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))
17	16	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
18	8	elin1d 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmMod)
19		nlmngp 24660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
20	4, 14	nm0 24612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) = 0)
24	23	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) = (0 / 𝑅))
25	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
26	25	rpcnd 12979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℂ)
27	25	rpne0d 12982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝑅 ≠ 0)
28	26, 27	div0d 11921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0 / 𝑅) = 0)
29	24, 28	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) = 0)
30	7	elin1d 4133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmMod)
31		nlmngp 24660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
32	3, 13	nm0 24612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
34	33	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) = 0)
35	25	rpgt0d 12980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 < 𝑅)
36	34, 35	eqbrtrd 5094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅)
37		fveq2 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘(0g‘𝑆)))
38	37	breq1d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅))
39		2fveq3 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))))
40	39	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅))
41	40	breq1d 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
42	38, 41	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝑆) → (((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
43	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
44	2, 3	nmcl 24599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
45	43, 44	sylan 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐿‘𝑥) ∈ ℝ)
46	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
47	46	rpred 12977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
48		nmoleub2lem2.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥)𝑂𝑅))
49	45, 47, 48	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → (𝐿‘𝑥)𝑂𝑅))
50	49	imim1d 82	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
51	50	ralimdva 3151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
52	51	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
53		ngpgrp 24582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
54	2, 13	grpidcl 18932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
55	43, 53, 54	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
56	55	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (0g‘𝑆) ∈ 𝑉)
57	42, 52, 56	rspcdva 3561	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝐿‘(0g‘𝑆)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
58	36, 57	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g‘𝑆))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
59	29, 58	eqbrtrrd 5096	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
60		simp-4l 788	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝜑)
61	60, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
62	60, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
63	60, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
64	60, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
65	60, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
66		nmoleub2a.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
67	60, 66	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ℚ ⊆ 𝐾)
68		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
69		simpllr 781	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝐴 ∈ ℝ)
70	59	ad3antrrr 736	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 0 ≤ 𝐴)
71		simplrl 782	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
72		simplrr 783	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))
73	52	ad3antrrr 736	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
74		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)))
75	74	breq1d 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅))
76		2fveq3 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))))
77	76	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅))
78	77	breq1d 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
79	75, 78	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) → (((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
80	79	rspccv 3557	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
81	73, 80	syl 17	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ((𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑧( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
82		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) → ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
83	1, 2, 3, 4, 5, 6, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 81, 82	nmoleub2lem3 25100	. . 3 ⊢ ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
84		iman 402	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))) ↔ ¬ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) ∧ ¬ (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦))))
85	83, 84	mpbir 232	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑦)))
86		nmoleub2lem2.6	. . 3 ⊢ (((𝐿‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
87	45, 47, 86	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → (𝐿‘𝑥) ≤ 𝑅))
88	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 59, 85, 87	nmoleub2lem 25099	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝐿‘𝑥)𝑂𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℚcq 12889  ℝ⁺crp 12933  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900   GrpHom cghm 19178   LMHom clmhm 21009  normcnm 24559  NrmGrpcngp 24560  NrmModcnlm 24563   normOp cnmo 24688  ℂModcclm 25047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-topgen 17397  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cmn 19748  df-mgp 20113  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lmhm 21012  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-xms 24303  df-ms 24304  df-nm 24565  df-ngp 24566  df-nlm 24569  df-nmo 24691  df-nghm 24692  df-clm 25048

This theorem is referenced by:  nmoleub2a  25102  nmoleub2b  25103