Theorem isnmhm2 23822

Description: A normed module homomorphism is a left module homomorphism with bounded norm (a bounded linear operator). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isnmhm2.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
isnmhm2	⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))

Proof of Theorem isnmhm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnmhm 23816	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
2	1	baib 535	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))))
3	2	baibd 539	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇)))
4		lmghm 20208	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5		nlmngp 23747	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
6		nlmngp 23747	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7		isnmhm2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
8	7	isnghm 23793	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
9	8	baib 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
10	5, 6, 9	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)))
11	10	baibd 539	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
12	4, 11	sylan2 592	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
13	3, 12	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
14	13	3impa 1108	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NMHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   GrpHom cghm 18746   LMHom clmhm 20196  NrmGrpcngp 23639  NrmModcnlm 23642   normOp cnmo 23775   NGHom cnghm 23776   NMHom cnmhm 23777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-ico 13014  df-lmhm 20199  df-nlm 23648  df-nmo 23778  df-nghm 23779  df-nmhm 23780

This theorem is referenced by: (None)