Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvsdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvsdif 23767
 Description: The norm of the difference between two vectors. (Contributed by NM, 1-Dec-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvsprp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s · = ( ·𝑠𝑊)
ncvsdif.p + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ncvsdif ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))

Proof of Theorem ncvsdif
StepHypRef Expression
1 elin 3935 . . . . 5 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2 id 22 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
32cvsclm 23738 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
41, 3simplbiim 508 . . . 4 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
5 ncvsprp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 ncvsdif.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
7 eqid 2824 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
8 eqid 2824 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9 ncvsprp.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
105, 6, 7, 8, 9clmvsubval 23721 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
1110eqcomd 2830 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
124, 11syl3an1 1160 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
1312fveq2d 6665 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵)))
14 nvcnlm 23309 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
15 nlmngp 23290 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
1716adantr 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
181, 17sylbi 220 . . 3 (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
19 ncvsprp.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
205, 19, 7nmsub 23236 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝐴)))
2118, 20syl3an1 1160 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝐴)))
2243ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
23 simp3 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
24 simp2 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
255, 6, 7, 8, 9clmvsubval 23721 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵(-g𝑊)𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴)))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐵(-g𝑊)𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴)))
2726fveq2d 6665 . 2 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝐴)) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))
2813, 21, 273eqtrd 2863 1 ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∩ cin 3918  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  1c1 10536  -cneg 10869  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  -gcsg 18105  normcnm 23190  NrmGrpcngp 23191  NrmModcnlm 23194  NrmVeccnvc 23195  ℂModcclm 23674  ℂVecccvs 23735 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-cnfld 20099  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-xms 22934  df-ms 22935  df-nm 23196  df-ngp 23197  df-nlm 23200  df-nvc 23201  df-clm 23675  df-cvs 23736 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator