Theorem ncvsdif 25351

Description: The norm of the difference between two vectors. (Contributed by NM, 1-Dec-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ncvsdif.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ncvsdif	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))

Proof of Theorem ncvsdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3924	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
3	2	cvsclm 25322	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
4	1, 3	simplbiim 514	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		ncvsprp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		ncvsdif.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
8		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		ncvsprp.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	clmvsubval 25305	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
11	10	eqcomd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
12	4, 11	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
13	12	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
14		nvcnlm 24890	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
15		nlmngp 24871	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
18	1, 17	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
19		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
20	5, 19, 7	nmsub 24817	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝐴)))
21	18, 20	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝐴)))
22	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
23		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
24		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
25	5, 6, 7, 8, 9	clmvsubval 25305	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴)))
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴)))
27	26	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝐴)) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))
28	13, 21, 27	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  1c1 11119  -cneg 11460  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  -_gcsg 19033  normcnm 24770  NrmGrpcngp 24771  NrmModcnlm 24774  NrmVeccnvc 24775  ℂModcclm 25258  ℂVecccvs 25319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-0g 17519  df-topgen 17521  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-xms 24514  df-ms 24515  df-nm 24776  df-ngp 24777  df-nlm 24780  df-nvc 24781  df-clm 25259  df-cvs 25320

This theorem is used by: (None)