Theorem ncvsdif 24224

Description: The norm of the difference between two vectors. (Contributed by NM, 1-Dec-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ncvsdif.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ncvsdif	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))

Proof of Theorem ncvsdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3899	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
3	2	cvsclm 24195	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
4	1, 3	simplbiim 504	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		ncvsprp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		ncvsdif.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		ncvsprp.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	clmvsubval 24178	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
11	10	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
12	4, 11	syl3an1 1161	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
13	12	fveq2d 6760	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
14		nvcnlm 23766	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
15		nlmngp 23747	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
18	1, 17	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
19		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
20	5, 19, 7	nmsub 23685	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝐴)))
21	18, 20	syl3an1 1161	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝐴)))
22	4	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
23		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
24		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
25	5, 6, 7, 8, 9	clmvsubval 24178	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴)))
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴)))
27	26	fveq2d 6760	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝐴)) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))
28	13, 21, 27	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  -cneg 11136  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  -_gcsg 18494  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639  NrmModcnlm 23642  NrmVeccnvc 23643  ℂModcclm 24131  ℂVecccvs 24192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nlm 23648  df-nvc 23649  df-clm 24132  df-cvs 24193

This theorem is referenced by: (None)