Theorem ncvsdif 25295

Description: The norm of the difference between two vectors. (Contributed by NM, 1-Dec-2006.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvsprp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ncvsprp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
ncvsprp.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ncvsdif.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ncvsdif	⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))

Proof of Theorem ncvsdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3922	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec))
2		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂVec)
3	2	cvsclm 25266	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → 𝑊 ∈ ℂMod)
4	1, 3	simplbiim 513	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ ℂMod)
5		ncvsprp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		ncvsdif.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		ncvsprp.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	clmvsubval 25249	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
11	10	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
12	4, 11	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
13	12	fveq2d 6887	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
14		nvcnlm 24834	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
15		nlmngp 24815	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑊 ∈ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
18	1, 17	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
19		ncvsprp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
20	5, 19, 7	nmsub 24761	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝐴)))
21	18, 20	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) = (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝐴)))
22	4	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ ℂMod)
23		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
24		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
25	5, 6, 7, 8, 9	clmvsubval 25249	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴)))
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵(-g‘𝑊)𝐴) = (𝐵 + (-1 · 𝐴)))
27	26	fveq2d 6887	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵(-g‘𝑊)𝐴)) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))
28	13, 21, 27	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐵 + (-1 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3905  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  1c1 11102  -cneg 11443  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  -_gcsg 19003  normcnm 24714  NrmGrpcngp 24715  NrmModcnlm 24718  NrmVeccnvc 24719  ℂModcclm 25202  ℂVecccvs 25263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17495  df-topgen 17497  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cmn 19853  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-xms 24458  df-ms 24459  df-nm 24720  df-ngp 24721  df-nlm 24724  df-nvc 24725  df-clm 25203  df-cvs 25264

This theorem is referenced by: (None)