MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvspds 24476
Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed subcomplex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 13-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvspds.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvspds.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvspds.p + = (+g𝐺)
ncvspds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
ncvspds.s · = ( ·𝑠𝐺)
Assertion
Ref Expression
ncvspds ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))

Proof of Theorem ncvspds
StepHypRef Expression
1 elin 3924 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
2 nvcnlm 24011 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
3 nlmngp 23992 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
54adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 216 . . 3 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7 ncvspds.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
8 ncvspds.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
9 eqid 2737 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
10 ncvspds.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
117, 8, 9, 10ngpds 23911 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
126, 11syl3an1 1163 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
13 id 22 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂVec)
1413cvsclm 24440 . . . . 5 (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂMod)
151, 14simplbiim 505 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ ℂMod)
16 ncvspds.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
17 eqid 2737 . . . . 5 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
18 ncvspds.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐺)
198, 16, 9, 17, 18clmvsubval 24423 . . . 4 ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2015, 19syl3an1 1163 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2120fveq2d 6843 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
2212, 21eqtrd 2777 1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3907  cfv 6493  (class class class)co 7351  1c1 11010  -cneg 11344  Basecbs 17042  +gcplusg 17092  Scalarcsca 17095   ·𝑠 cvsca 17096  distcds 17101  -gcsg 18709  normcnm 23883  NrmGrpcngp 23884  NrmModcnlm 23887  NrmVeccnvc 23888  ℂModcclm 24376  ℂVecccvs 24437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-fz 13379  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-starv 17107  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-unif 17115  df-0g 17282  df-topgen 17284  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-subg 18883  df-cmn 19522  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-ring 19919  df-cring 19920  df-subrg 20172  df-lmod 20276  df-psmet 20740  df-xmet 20741  df-met 20742  df-bl 20743  df-mopn 20744  df-cnfld 20749  df-top 22194  df-topon 22211  df-topsp 22233  df-bases 22247  df-xms 23624  df-ms 23625  df-nm 23889  df-ngp 23890  df-nlm 23893  df-nvc 23894  df-clm 24377  df-cvs 24438
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator