Theorem ncvspds 25039

Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed subcomplex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 13-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvspds.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvspds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvspds.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ncvspds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
ncvspds.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ncvspds	⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))

Proof of Theorem ncvspds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3959	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
2		nvcnlm 24563	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
3		nlmngp 24544	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
6	1, 5	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7		ncvspds.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
8		ncvspds.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
10		ncvspds.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
11	7, 8, 9, 10	ngpds 24463	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
12	6, 11	syl3an1 1160	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
13		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂVec)
14	13	cvsclm 25003	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂMod)
15	1, 14	simplbiim 504	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ ℂMod)
16		ncvspds.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
17		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
18		ncvspds.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
19	8, 16, 9, 17, 18	clmvsubval 24986	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
20	15, 19	syl3an1 1160	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
21	20	fveq2d 6888	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
22	12, 21	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110  -cneg 11446  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  Scalarcsca 17206   ·_𝑠 cvsca 17207  distcds 17212  -_gcsg 18862  normcnm 24435  NrmGrpcngp 24436  NrmModcnlm 24439  NrmVeccnvc 24440  ℂModcclm 24939  ℂVecccvs 25000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-xms 24176  df-ms 24177  df-nm 24441  df-ngp 24442  df-nlm 24445  df-nvc 24446  df-clm 24940  df-cvs 25001

This theorem is referenced by: (None)