Theorem ncvspds 25462

Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed subcomplex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 13-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvspds.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvspds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvspds.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ncvspds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
ncvspds.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ncvspds	⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))

Proof of Theorem ncvspds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3915	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
2		nvcnlm 24995	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
3		nlmngp 24976	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
6	1, 5	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7		ncvspds.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
8		ncvspds.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
10		ncvspds.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
11	7, 8, 9, 10	ngpds 24903	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
12	6, 11	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
13		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂVec)
14	13	cvsclm 25427	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂMod)
15	1, 14	simplbiim 514	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ ℂMod)
16		ncvspds.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
17		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
18		ncvspds.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
19	8, 16, 9, 17, 18	clmvsubval 25410	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
20	15, 19	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
21	20	fveq2d 6881	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
22	12, 21	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1c1 11182  -cneg 11523  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  distcds 17417  -_gcsg 19126  normcnm 24875  NrmGrpcngp 24876  NrmModcnlm 24879  NrmVeccnvc 24880  ℂModcclm 25363  ℂVecccvs 25424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-topgen 17594  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cmn 19976  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-xms 24619  df-ms 24620  df-nm 24881  df-ngp 24882  df-nlm 24885  df-nvc 24886  df-clm 25364  df-cvs 25425

This theorem is used by: (None)