MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvspds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvspds 23757
Description: Value of the distance function in terms of the norm of a normed subcomplex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (Revised by AV, 13-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvspds.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvspds.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvspds.p + = (+g𝐺)
ncvspds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
ncvspds.s · = ( ·𝑠𝐺)
Assertion
Ref Expression
ncvspds ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))

Proof of Theorem ncvspds
StepHypRef Expression
1 elin 4167 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
2 nvcnlm 23297 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
3 nlmngp 23278 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
54adantr 483 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
61, 5sylbi 219 . . 3 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7 ncvspds.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
8 ncvspds.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
9 eqid 2819 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
10 ncvspds.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐺)
117, 8, 9, 10ngpds 23205 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
126, 11syl3an1 1158 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)))
13 id 22 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂVec)
1413cvsclm 23722 . . . . 5 (𝐺 ∈ ℂVec → 𝐺 ∈ ℂMod)
151, 14simplbiim 507 . . . 4 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ ℂMod)
16 ncvspds.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
17 eqid 2819 . . . . 5 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
18 ncvspds.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐺)
198, 16, 9, 17, 18clmvsubval 23705 . . . 4 ((𝐺 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2015, 19syl3an1 1158 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝐺)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
2120fveq2d 6667 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴(-g𝐺)𝐵)) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
2212, 21eqtrd 2854 1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  cin 3933  cfv 6348  (class class class)co 7148  1c1 10530  -cneg 10863  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  distcds 16566  -gcsg 18097  normcnm 23178  NrmGrpcngp 23179  NrmModcnlm 23182  NrmVeccnvc 23183  ℂModcclm 23658  ℂVecccvs 23719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-subrg 19525  df-lmod 19628  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-xms 22922  df-ms 22923  df-nm 23184  df-ngp 23185  df-nlm 23188  df-nvc 23189  df-clm 23659  df-cvs 23720
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator