Theorem ncvs1 25367

Description: From any nonzero vector of a normed subcomplex vector space, construct a collinear vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvs1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvs1.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvs1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ncvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
ncvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
ncvs1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ncvs1	⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem ncvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾)
3		elin 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
4		nvcnlm 24904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
5		nlmngp 24885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
8	3, 7	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
9		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	8, 9	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
11		ncvs1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
12		ncvs1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
13	11, 12	nmcl 24824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
14	10, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
15		ncvs1.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	11, 12, 15	nmeq0 24826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
17	16	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
18	8, 17	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
19	18	necon3bid 3004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑁‘𝐴) ≠ 0))
20	19	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 → (𝑁‘𝐴) ≠ 0))
21	20	impr 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
22	14, 21	rereccld 12057	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ)
23	22	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ)
24	2, 23	elind 4153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ))
25		1re 11223	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 11752	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
27	25, 26	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
29		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → 𝐴 ≠ 0 )
30	11, 12, 15	nmgt0 24838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
31	10, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
32	29, 31	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → 0 < (𝑁‘𝐴))
33	28, 14, 32	jca32 525	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))))
34	33	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))))
35		divge0 12099	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
36	34, 35	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
37		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝑋)
38		ncvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
39		ncvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
40		ncvs1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
41	11, 12, 38, 39, 40	ncvsge0 25363	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ ((1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
42	1, 24, 36, 37, 41	syl121anc 1402	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
43	10	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
44	43, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11252	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
46	21	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
47	45, 46	recid2d 12002	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)) = 1)
48	42, 47	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∩ cin 3905   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   · cmul 11120   < clt 11258   ≤ cle 11259   / cdiv 11886  Basecbs 17291  Scalarcsca 17335   ·_𝑠 cvsca 17336  0_gc0g 17514  normcnm 24784  NrmGrpcngp 24785  NrmModcnlm 24788  NrmVeccnvc 24789  ℂVecccvs 25333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-0g 17516  df-topgen 17518  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-subg 19233  df-cmn 19896  df-mgp 20261  df-ring 20361  df-cring 20362  df-subrg 20719  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-xms 24528  df-ms 24529  df-nm 24790  df-ngp 24791  df-nlm 24794  df-nvc 24795  df-clm 25273  df-cvs 25334

This theorem is used by: (None)