Theorem ncvs1 25386

Description: From any nonzero vector of a normed subcomplex vector space, construct a collinear vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvs1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvs1.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvs1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ncvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
ncvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
ncvs1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ncvs1	⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem ncvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾)
3		elin 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
4		nvcnlm 24923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
5		nlmngp 24904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
8	3, 7	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
9		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	8, 9	anim12i 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
11		ncvs1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
12		ncvs1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
13	11, 12	nmcl 24843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
14	10, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
15		ncvs1.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	11, 12, 15	nmeq0 24845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
17	16	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
18	8, 17	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
19	18	necon3bid 2999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑁‘𝐴) ≠ 0))
20	19	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 → (𝑁‘𝐴) ≠ 0))
21	20	impr 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
22	14, 21	rereccld 12067	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ)
23	22	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ)
24	2, 23	elind 4146	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ))
25		1re 11233	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 11762	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
27	25, 26	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
29		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → 𝐴 ≠ 0 )
30	11, 12, 15	nmgt0 24857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
31	10, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
32	29, 31	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → 0 < (𝑁‘𝐴))
33	28, 14, 32	jca32 525	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))))
34	33	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))))
35		divge0 12109	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
36	34, 35	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
37		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝑋)
38		ncvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
39		ncvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
40		ncvs1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
41	11, 12, 38, 39, 40	ncvsge0 25382	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ ((1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
42	1, 24, 36, 37, 41	syl121anc 1402	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
43	10	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
44	43, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11262	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
46	21	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
47	45, 46	recid2d 12012	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)) = 1)
48	42, 47	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∩ cin 3898   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   · cmul 11130   < clt 11268   ≤ cle 11269   / cdiv 11896  Basecbs 17302  Scalarcsca 17346   ·_𝑠 cvsca 17347  0_gc0g 17525  normcnm 24803  NrmGrpcngp 24804  NrmModcnlm 24807  NrmVeccnvc 24808  ℂVecccvs 25352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-0g 17527  df-topgen 17529  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-mgp 20275  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrg 20733  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-xms 24547  df-ms 24548  df-nm 24809  df-ngp 24810  df-nlm 24813  df-nvc 24814  df-clm 25292  df-cvs 25353

This theorem is used by: (None)