Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvs1 23863
 Description: From any nonzero vector of a normed subcomplex vector space, construct a collinear vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvs1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvs1.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvs1.z 0 = (0g𝐺)
ncvs1.s · = ( ·𝑠𝐺)
ncvs1.f 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
ncvs1.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvs1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem ncvs1
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2 simp3 1135 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾)
3 elin 3876 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
4 nvcnlm 23403 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 23384 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
76adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
83, 7sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
9 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐴0 ) → 𝐴𝑋)
108, 9anim12i 615 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋))
11 ncvs1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
12 ncvs1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝐺)
1311, 12nmcl 23323 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
15 ncvs1.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
1611, 12, 15nmeq0 23325 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1716bicomd 226 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁𝐴) = 0))
188, 17sylan 583 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁𝐴) = 0))
1918necon3bid 2995 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ (𝑁𝐴) ≠ 0))
2019biimpd 232 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 → (𝑁𝐴) ≠ 0))
2120impr 458 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
2214, 21rereccld 11510 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
23223adant3 1129 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
242, 23elind 4101 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ))
25 1re 10684 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 11206 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2725, 26pm3.2i 474 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
29 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → 𝐴0 )
3011, 12, 15nmgt0 23337 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
3110, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
3229, 31mpbid 235 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → 0 < (𝑁𝐴))
3328, 14, 32jca32 519 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))))
34333adant3 1129 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))))
35 divge0 11552 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
37 simp2l 1196 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐴𝑋)
38 ncvs1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝐺)
39 ncvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
40 ncvs1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
4111, 12, 38, 39, 40ncvsge0 23859 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ ((1 / (𝑁𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴))) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
421, 24, 36, 37, 41syl121anc 1372 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
43103adant3 1129 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋))
4443, 13syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
4544recnd 10712 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
46213adant3 1129 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
4745, 46recid2d 11455 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)) = 1)
4842, 47eqtrd 2793 1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∩ cin 3859   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   · cmul 10585   < clt 10718   ≤ cle 10719   / cdiv 11340  Basecbs 16546  Scalarcsca 16631   ·𝑠 cvsca 16632  0gc0g 16776  normcnm 23283  NrmGrpcngp 23284  NrmModcnlm 23287  NrmVeccnvc 23288  ℂVecccvs 23829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-fz 12945  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-0g 16778  df-topgen 16780  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-grp 18177  df-subg 18348  df-cmn 18980  df-mgp 19313  df-ring 19372  df-cring 19373  df-subrg 19606  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-xms 23027  df-ms 23028  df-nm 23289  df-ngp 23290  df-nlm 23293  df-nvc 23294  df-clm 23769  df-cvs 23830 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator