MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvs1 25191
Description: From any nonzero vector of a normed subcomplex vector space, construct a collinear vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvs1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvs1.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvs1.z 0 = (0g𝐺)
ncvs1.s · = ( ·𝑠𝐺)
ncvs1.f 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
ncvs1.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvs1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem ncvs1
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2 simp3 1139 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾)
3 elin 3967 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
4 nvcnlm 24717 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 24698 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
83, 7sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
9 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐴0 ) → 𝐴𝑋)
108, 9anim12i 613 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋))
11 ncvs1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
12 ncvs1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝐺)
1311, 12nmcl 24629 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
15 ncvs1.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
1611, 12, 15nmeq0 24631 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1716bicomd 223 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁𝐴) = 0))
188, 17sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁𝐴) = 0))
1918necon3bid 2985 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ (𝑁𝐴) ≠ 0))
2019biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 → (𝑁𝐴) ≠ 0))
2120impr 454 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
2214, 21rereccld 12094 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
23223adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
242, 23elind 4200 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ))
25 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 11786 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2725, 26pm3.2i 470 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
29 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → 𝐴0 )
3011, 12, 15nmgt0 24643 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
3110, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
3229, 31mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → 0 < (𝑁𝐴))
3328, 14, 32jca32 515 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))))
34333adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))))
35 divge0 12137 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
37 simp2l 1200 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐴𝑋)
38 ncvs1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝐺)
39 ncvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
40 ncvs1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
4111, 12, 38, 39, 40ncvsge0 25187 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ ((1 / (𝑁𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴))) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
421, 24, 36, 37, 41syl121anc 1377 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
43103adant3 1133 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋))
4443, 13syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
4544recnd 11289 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
46213adant3 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
4745, 46recid2d 12039 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)) = 1)
4842, 47eqtrd 2777 1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmModcnlm 24593  NrmVeccnvc 24594  ℂVecccvs 25156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrg 20570  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nlm 24599  df-nvc 24600  df-clm 25096  df-cvs 25157
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator