Theorem ncvs1 25207

Description: From any nonzero vector of a normed subcomplex vector space, construct a collinear vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvs1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvs1.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvs1.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ncvs1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
ncvs1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
ncvs1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ncvs1	⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem ncvs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2		simp3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾)
3		elin 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
4		nvcnlm 24744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
5		nlmngp 24725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
7	6	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
8	3, 7	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
9		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	8, 9	anim12i 622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
11		ncvs1.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
12		ncvs1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
13	11, 12	nmcl 24664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
14	10, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
15		ncvs1.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	11, 12, 15	nmeq0 24666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
17	16	bicomd 225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
18	8, 17	sylan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁‘𝐴) = 0))
19	18	necon3bid 3000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝑁‘𝐴) ≠ 0))
20	19	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 → (𝑁‘𝐴) ≠ 0))
21	20	impr 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
22	14, 21	rereccld 12012	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ)
23	22	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ ℝ)
24	2, 23	elind 4150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ))
25		1re 11175	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 11704	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
27	25, 26	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
29		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → 𝐴 ≠ 0 )
30	11, 12, 15	nmgt0 24678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
31	10, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (𝑁‘𝐴)))
32	29, 31	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → 0 < (𝑁‘𝐴))
33	28, 14, 32	jca32 523	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 )) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))))
34	33	3adant3 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))))
35		divge0 12055	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁‘𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴)))
37		simp2l 1212	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝑋)
38		ncvs1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐺)
39		ncvs1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
40		ncvs1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
41	11, 12, 38, 39, 40	ncvsge0 25203	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ ((1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁‘𝐴))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
42	1, 24, 36, 37, 41	syl121anc 1393	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)))
43	10	3adant3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
44	43, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11204	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
46	21	3adant3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘𝐴) ≠ 0)
47	45, 46	recid2d 11957	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 / (𝑁‘𝐴)) · (𝑁‘𝐴)) = 1)
48	42, 47	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ (1 / (𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁‘𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∩ cin 3901   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   · cmul 11072   < clt 11210   ≤ cle 11211   / cdiv 11838  Basecbs 17236  Scalarcsca 17280   ·_𝑠 cvsca 17281  0_gc0g 17459  normcnm 24624  NrmGrpcngp 24625  NrmModcnlm 24628  NrmVeccnvc 24629  ℂVecccvs 25173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-0g 17461  df-topgen 17463  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-subg 19156  df-cmn 19813  df-mgp 20178  df-ring 20272  df-cring 20273  df-subrg 20607  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-xms 24368  df-ms 24369  df-nm 24630  df-ngp 24631  df-nlm 24634  df-nvc 24635  df-clm 25113  df-cvs 25174

This theorem is referenced by: (None)