MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvs1 25205
Description: From any nonzero vector of a normed subcomplex vector space, construct a collinear vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvs1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ncvs1.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ncvs1.z 0 = (0g𝐺)
ncvs1.s · = ( ·𝑠𝐺)
ncvs1.f 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
ncvs1.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ncvs1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem ncvs1
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec))
2 simp3 1137 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾)
3 elin 3979 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec))
4 nvcnlm 24733 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 24714 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ NrmVec → 𝐺 ∈ NrmGrp)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
83, 7sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
9 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐴0 ) → 𝐴𝑋)
108, 9anim12i 613 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋))
11 ncvs1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
12 ncvs1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝐺)
1311, 12nmcl 24645 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
15 ncvs1.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
1611, 12, 15nmeq0 24647 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1716bicomd 223 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁𝐴) = 0))
188, 17sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 ↔ (𝑁𝐴) = 0))
1918necon3bid 2983 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ (𝑁𝐴) ≠ 0))
2019biimpd 229 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 → (𝑁𝐴) ≠ 0))
2120impr 454 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
2214, 21rereccld 12092 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
23223adant3 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ ℝ)
242, 23elind 4210 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (1 / (𝑁𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ))
25 1re 11259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 11784 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2725, 26pm3.2i 470 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
29 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → 𝐴0 )
3011, 12, 15nmgt0 24659 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
3110, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → (𝐴0 ↔ 0 < (𝑁𝐴)))
3229, 31mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → 0 < (𝑁𝐴))
3328, 14, 32jca32 515 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 )) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))))
34333adant3 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))))
35 divge0 12135 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁𝐴))) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴)))
37 simp2l 1198 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → 𝐴𝑋)
38 ncvs1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝐺)
39 ncvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
40 ncvs1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
4111, 12, 38, 39, 40ncvsge0 25201 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ ((1 / (𝑁𝐴)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≤ (1 / (𝑁𝐴))) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
421, 24, 36, 37, 41syl121anc 1374 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)))
43103adant3 1131 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋))
4443, 13syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
4544recnd 11287 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
46213adant3 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁𝐴) ≠ 0)
4745, 46recid2d 12037 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → ((1 / (𝑁𝐴)) · (𝑁𝐴)) = 1)
4842, 47eqtrd 2775 1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ ℂVec) ∧ (𝐴𝑋𝐴0 ) ∧ (1 / (𝑁𝐴)) ∈ 𝐾) → (𝑁‘((1 / (𝑁𝐴)) · 𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cin 3962   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  normcnm 24605  NrmGrpcngp 24606  NrmModcnlm 24609  NrmVeccnvc 24610  ℂVecccvs 25170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrg 20587  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-ms 24347  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nlm 24615  df-nvc 24616  df-clm 25110  df-cvs 25171
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator