MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncvs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvs1 24674
Description: From any nonzero vector of a normed subcomplex vector space, construct a collinear vector whose norm is one. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (Revised by AV, 8-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvs1.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
ncvs1.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
ncvs1.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
ncvs1.s Β· = ( ·𝑠 β€˜πΊ)
ncvs1.f 𝐹 = (Scalarβ€˜πΊ)
ncvs1.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ncvs1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem ncvs1
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ 𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec))
2 simp3 1139 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾)
3 elin 3965 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ↔ (𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ β„‚Vec))
4 nvcnlm 24213 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmVec β†’ 𝐺 ∈ NrmMod)
5 nlmngp 24194 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ NrmMod β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ NrmVec β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
76adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ NrmVec ∧ 𝐺 ∈ β„‚Vec) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
83, 7sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
9 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
108, 9anim12i 614 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
11 ncvs1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
12 ncvs1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
1311, 12nmcl 24125 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
15 ncvs1.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
1611, 12, 15nmeq0 24127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1716bicomd 222 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 = 0 ↔ (π‘β€˜π΄) = 0))
188, 17sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 = 0 ↔ (π‘β€˜π΄) = 0))
1918necon3bid 2986 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  0 ↔ (π‘β€˜π΄) β‰  0))
2019biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  0 β†’ (π‘β€˜π΄) β‰  0))
2120impr 456 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (π‘β€˜π΄) β‰  0)
2214, 21rereccld 12041 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ ℝ)
23223adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ ℝ)
242, 23elind 4195 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ))
25 1re 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 11737 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
2725, 26pm3.2i 472 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1)
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1))
29 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 𝐴 β‰  0 )
3011, 12, 15nmgt0 24139 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  0 ↔ 0 < (π‘β€˜π΄)))
3110, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ (𝐴 β‰  0 ↔ 0 < (π‘β€˜π΄)))
3229, 31mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ 0 < (π‘β€˜π΄))
3328, 14, 32jca32 517 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 )) β†’ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ ((π‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘β€˜π΄))))
34333adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ ((π‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘β€˜π΄))))
35 divge0 12083 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ ((π‘β€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘β€˜π΄))) β†’ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄)))
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄)))
37 simp2l 1200 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
38 ncvs1.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΊ)
39 ncvs1.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜πΊ)
40 ncvs1.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
4111, 12, 38, 39, 40ncvsge0 24670 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ ((1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ (𝐾 ∩ ℝ) ∧ 0 ≀ (1 / (π‘β€˜π΄))) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· 𝐴)) = ((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· (π‘β€˜π΄)))
421, 24, 36, 37, 41syl121anc 1376 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· 𝐴)) = ((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· (π‘β€˜π΄)))
43103adant3 1133 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
4443, 13syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
4544recnd 11242 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
46213adant3 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜π΄) β‰  0)
4745, 46recid2d 11986 . 2 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ ((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· (π‘β€˜π΄)) = 1)
4842, 47eqtrd 2773 1 ((𝐺 ∈ (NrmVec ∩ β„‚Vec) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  0 ) ∧ (1 / (π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐾) β†’ (π‘β€˜((1 / (π‘β€˜π΄)) Β· 𝐴)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   ∩ cin 3948   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  NrmModcnlm 24089  NrmVeccnvc 24090  β„‚Vecccvs 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-subg 19003  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nlm 24095  df-nvc 24096  df-clm 24579  df-cvs 24640
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator