Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub3 23833
 Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub3.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub3.6 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
nmoleub3 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (norm‘𝑆)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (norm‘𝑇)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 nmoleub2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8 nmoleub2.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9 nmoleub2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
12 nmoleub3.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1312adantr 484 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
149ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝐾)
1615ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ℝ ⊆ 𝐾)
1711ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
187elin1d 4105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
1918ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 23392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
22 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑦𝑉)
23 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑦 ≠ (0g𝑆))
24 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑆) = (0g𝑆)
252, 3, 24nmrpcl 23335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑦) ∈ ℝ+)
2621, 22, 23, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ∈ ℝ+)
2717, 26rpdivcld 12502 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℝ+)
2827rpred 12485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℝ)
2916, 28sseldd 3895 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾)
30 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
31 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
325, 6, 2, 30, 31lmhmlin 19888 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
3314, 29, 22, 32syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
3433fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) = (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))))
358elin1d 4105 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
3635ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmMod)
37 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
385, 37lmhmsca 19883 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
4039fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘𝐺))
4140, 6eqtr4di 2811 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = 𝐾)
4229, 41eleqtrrd 2855 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
43 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
442, 43lmhmf 19887 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4514, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4645, 22ffvelrnd 6849 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇))
47 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
48 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘(Scalar‘𝑇))
4943, 4, 31, 37, 47, 48nmvs 23391 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
5036, 42, 46, 49syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
5139fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘𝐺))
5251fveq1d 6665 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
537elin2d 4106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂMod)
5453ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ ℂMod)
555, 6clmabs 23797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
5654, 29, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
5727rpge0d 12489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 0 ≤ (𝑅 / (𝐿𝑦)))
5828, 57absidd 14843 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
5956, 58eqtr3d 2795 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
6052, 59eqtrd 2793 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
6160oveq1d 7171 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
6234, 50, 613eqtrd 2797 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
6362oveq1d 7171 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) = (((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) / 𝑅))
6427rpcnd 12487 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℂ)
65 nlmngp 23392 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6636, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6743, 4nmcl 23331 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6866, 46, 67syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6968recnd 10720 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
7017rpcnd 12487 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ∈ ℂ)
7117rpne0d 12490 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ≠ 0)
7264, 69, 70, 71divassd 11502 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) / 𝑅) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / 𝑅)))
7326rpcnd 12487 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ∈ ℂ)
7426rpne0d 12490 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ≠ 0)
7569, 70, 73, 71, 74dmdcand 11496 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / 𝑅)) = ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)))
7663, 72, 753eqtrd 2797 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)))
77 eqid 2758 . . . . . . . 8 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
782, 3, 30, 5, 6, 77nmvs 23391 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)))
7919, 29, 22, 78syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)))
8059oveq1d 7171 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝐿𝑦)))
8170, 73, 74divcan1d 11468 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝐿𝑦)) = 𝑅)
8279, 80, 813eqtrd 2797 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅)
83 fveqeq2 6672 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝐿𝑥) = 𝑅 ↔ (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅))
84 2fveq3 6668 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))))
8584oveq1d 7171 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅))
8685breq1d 5046 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
8783, 86imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
88 simpllr 775 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
892, 5, 30, 6clmvscl 23802 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
9054, 29, 22, 89syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
9187, 88, 90rspcdva 3545 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
9282, 91mpd 15 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
9376, 92eqbrtrrd 5060 . . 3 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)) ≤ 𝐴)
94 simplr 768 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐴 ∈ ℝ)
9568, 94, 26ledivmul2d 12539 . . 3 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))))
9693, 95mpbid 235 . 2 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
9711adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
9897rpred 12485 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
9998leidd 11257 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅𝑅)
100 breq1 5039 . . 3 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝐿𝑥) ≤ 𝑅𝑅𝑅))
10199, 100syl5ibrcom 250 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) = 𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 96, 101nmoleub2lem 23828 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5036  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588   · cmul 10593  ℝ*cxr 10725   ≤ cle 10727   / cdiv 11348  ℝ+crp 12443  abscabs 14654  Basecbs 16554  Scalarcsca 16639   ·𝑠 cvsca 16640  0gc0g 16784   LMHom clmhm 19872  normcnm 23291  NrmGrpcngp 23292  NrmModcnlm 23295   normOp cnmo 23420  ℂModcclm 23776 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ico 12798  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-0g 16786  df-topgen 16788  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-cmn 18988  df-mgp 19321  df-ring 19380  df-cring 19381  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lmhm 19875  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-xms 23035  df-ms 23036  df-nm 23297  df-ngp 23298  df-nlm 23301  df-nmo 23423  df-nghm 23424  df-clm 23777 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator