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Theorem nmoleub3 25152
Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub3.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub3.6 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
nmoleub3 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (norm‘𝑆)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (norm‘𝑇)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 nmoleub2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8 nmoleub2.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9 nmoleub2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
12 nmoleub3.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1312adantr 480 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
149ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝐾)
1615ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ℝ ⊆ 𝐾)
1711ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
187elin1d 4204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
1918ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
22 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑦𝑉)
23 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑦 ≠ (0g𝑆))
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑆) = (0g𝑆)
252, 3, 24nmrpcl 24633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑦) ∈ ℝ+)
2621, 22, 23, 25syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ∈ ℝ+)
2717, 26rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℝ+)
2827rpred 13077 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℝ)
2916, 28sseldd 3984 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾)
30 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
31 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
325, 6, 2, 30, 31lmhmlin 21034 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
3314, 29, 22, 32syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
3433fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) = (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))))
358elin1d 4204 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
3635ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmMod)
37 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
385, 37lmhmsca 21029 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
4039fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘𝐺))
4140, 6eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = 𝐾)
4229, 41eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
43 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
442, 43lmhmf 21033 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4514, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4645, 22ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇))
47 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
48 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘(Scalar‘𝑇))
4943, 4, 31, 37, 47, 48nmvs 24697 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
5036, 42, 46, 49syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
5139fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘𝐺))
5251fveq1d 6908 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
537elin2d 4205 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂMod)
5453ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ ℂMod)
555, 6clmabs 25116 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
5654, 29, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
5727rpge0d 13081 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 0 ≤ (𝑅 / (𝐿𝑦)))
5828, 57absidd 15461 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
5956, 58eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
6052, 59eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
6160oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
6234, 50, 613eqtrd 2781 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
6362oveq1d 7446 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) = (((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) / 𝑅))
6427rpcnd 13079 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℂ)
65 nlmngp 24698 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6636, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6743, 4nmcl 24629 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6866, 46, 67syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6968recnd 11289 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
7017rpcnd 13079 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ∈ ℂ)
7117rpne0d 13082 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ≠ 0)
7264, 69, 70, 71divassd 12078 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) / 𝑅) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / 𝑅)))
7326rpcnd 13079 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ∈ ℂ)
7426rpne0d 13082 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ≠ 0)
7569, 70, 73, 71, 74dmdcand 12072 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / 𝑅)) = ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)))
7663, 72, 753eqtrd 2781 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)))
77 eqid 2737 . . . . . . . 8 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
782, 3, 30, 5, 6, 77nmvs 24697 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)))
7919, 29, 22, 78syl3anc 1373 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)))
8059oveq1d 7446 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝐿𝑦)))
8170, 73, 74divcan1d 12044 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝐿𝑦)) = 𝑅)
8279, 80, 813eqtrd 2781 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅)
83 fveqeq2 6915 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝐿𝑥) = 𝑅 ↔ (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅))
84 2fveq3 6911 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))))
8584oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅))
8685breq1d 5153 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
8783, 86imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
88 simpllr 776 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
892, 5, 30, 6clmvscl 25121 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
9054, 29, 22, 89syl3anc 1373 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
9187, 88, 90rspcdva 3623 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
9282, 91mpd 15 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
9376, 92eqbrtrrd 5167 . . 3 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)) ≤ 𝐴)
94 simplr 769 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐴 ∈ ℝ)
9568, 94, 26ledivmul2d 13131 . . 3 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))))
9693, 95mpbid 232 . 2 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
9711adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
9897rpred 13077 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
9998leidd 11829 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅𝑅)
100 breq1 5146 . . 3 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝐿𝑥) ≤ 𝑅𝑅𝑅))
10199, 100syl5ibrcom 247 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) = 𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 96, 101nmoleub2lem 25147 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  *cxr 11294  cle 11296   / cdiv 11920  +crp 13034  abscabs 15273  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484   LMHom clmhm 21018  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmModcnlm 24593   normOp cnmo 24726  ℂModcclm 25095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nlm 24599  df-nmo 24729  df-nghm 24730  df-clm 25096
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