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Theorem nmoleub3 25001
Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoleub2.l 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoleub2.m 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
nmoleub2.w 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
nmoleub2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub3.5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmoleub3.6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† 𝐾)
Assertion
Ref Expression
nmoleub3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 nmoleub2.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
8 nmoleub2.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
9 nmoleub2.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
12 nmoleub3.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
1312adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
149ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† 𝐾)
1615ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ℝ βŠ† 𝐾)
1711ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
187elin1d 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
1918ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
22 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
23 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))
24 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
252, 3, 24nmrpcl 24484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
2621, 22, 23, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
2717, 26rpdivcld 13039 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ+)
2827rpred 13022 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
2916, 28sseldd 3978 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾)
30 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
31 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
325, 6, 2, 30, 31lmhmlin 20883 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3314, 29, 22, 32syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3433fveq2d 6889 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) = (π‘€β€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦))))
358elin1d 4193 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
3635ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
37 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
385, 37lmhmsca 20878 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
4039fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜πΊ))
4140, 6eqtr4di 2784 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = 𝐾)
4229, 41eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
43 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
442, 43lmhmf 20882 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
4514, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
4645, 22ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
47 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
48 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
4943, 4, 31, 37, 47, 48nmvs 24548 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
5036, 42, 46, 49syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
5139fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜πΊ))
5251fveq1d 6887 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))))
537elin2d 4194 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
5453ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
555, 6clmabs 24965 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))))
5654, 29, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (absβ€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))))
5727rpge0d 13026 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 0 ≀ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
5828, 57absidd 15375 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (absβ€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
5956, 58eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
6052, 59eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
6160oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
6234, 50, 613eqtrd 2770 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
6362oveq1d 7420 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) = (((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) / 𝑅))
6427rpcnd 13024 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
65 nlmngp 24549 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
6636, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
6743, 4nmcl 24480 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6866, 46, 67syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6968recnd 11246 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
7017rpcnd 13024 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
7117rpne0d 13027 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 β‰  0)
7264, 69, 70, 71divassd 12029 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) / 𝑅) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / 𝑅)))
7326rpcnd 13024 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
7426rpne0d 13027 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) β‰  0)
7569, 70, 73, 71, 74dmdcand 12023 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / 𝑅)) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)))
7663, 72, 753eqtrd 2770 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)))
77 eqid 2726 . . . . . . . 8 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
782, 3, 30, 5, 6, 77nmvs 24548 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
7919, 29, 22, 78syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
8059oveq1d 7420 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (πΏβ€˜π‘¦)) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
8170, 73, 74divcan1d 11995 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (πΏβ€˜π‘¦)) = 𝑅)
8279, 80, 813eqtrd 2770 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅)
83 fveqeq2 6894 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 ↔ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅))
84 2fveq3 6890 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))))
8584oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅))
8685breq1d 5151 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴 ↔ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴))
8783, 86imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴) ↔ ((πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
88 simpllr 773 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
892, 5, 30, 6clmvscl 24970 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
9054, 29, 22, 89syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
9187, 88, 90rspcdva 3607 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴))
9282, 91mpd 15 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴)
9376, 92eqbrtrrd 5165 . . 3 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐴)
94 simplr 766 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9568, 94, 26ledivmul2d 13076 . . 3 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐴 ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))))
9693, 95mpbid 231 . 2 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
9711adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
9897rpred 13022 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
9998leidd 11784 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ≀ 𝑅)
100 breq1 5144 . . 3 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ 𝑅 ≀ 𝑅))
10199, 100syl5ibrcom 246 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 96, 101nmoleub2lem 24996 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„+crp 12980  abscabs 15187  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394   LMHom clmhm 20867  normcnm 24440  NrmGrpcngp 24441  NrmModcnlm 24444   normOp cnmo 24577  β„‚Modcclm 24944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-topgen 17398  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-mgp 20040  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lmhm 20870  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-xms 24181  df-ms 24182  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nlm 24450  df-nmo 24580  df-nghm 24581  df-clm 24945
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