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Theorem nmoleub3 25074
Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoleub2.l 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoleub2.m 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
nmoleub2.w 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
nmoleub2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub3.5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmoleub3.6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† 𝐾)
Assertion
Ref Expression
nmoleub3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 nmoleub2.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
8 nmoleub2.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
9 nmoleub2.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
12 nmoleub3.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
1312adantr 479 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
149ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† 𝐾)
1615ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ℝ βŠ† 𝐾)
1711ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
187elin1d 4200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
1918ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
22 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
23 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))
24 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
252, 3, 24nmrpcl 24557 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
2621, 22, 23, 25syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
2717, 26rpdivcld 13075 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ+)
2827rpred 13058 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
2916, 28sseldd 3983 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾)
30 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
31 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
325, 6, 2, 30, 31lmhmlin 20934 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3314, 29, 22, 32syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3433fveq2d 6906 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) = (π‘€β€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦))))
358elin1d 4200 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
3635ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
37 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
385, 37lmhmsca 20929 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
4039fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜πΊ))
4140, 6eqtr4di 2786 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = 𝐾)
4229, 41eleqtrrd 2832 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
43 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
442, 43lmhmf 20933 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
4514, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
4645, 22ffvelcdmd 7100 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
47 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
48 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
4943, 4, 31, 37, 47, 48nmvs 24621 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
5036, 42, 46, 49syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
5139fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜πΊ))
5251fveq1d 6904 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))))
537elin2d 4201 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
5453ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
555, 6clmabs 25038 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))))
5654, 29, 55syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (absβ€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))))
5727rpge0d 13062 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 0 ≀ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
5828, 57absidd 15411 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (absβ€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
5956, 58eqtr3d 2770 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
6052, 59eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
6160oveq1d 7441 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
6234, 50, 613eqtrd 2772 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
6362oveq1d 7441 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) = (((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) / 𝑅))
6427rpcnd 13060 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
65 nlmngp 24622 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
6636, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
6743, 4nmcl 24553 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6866, 46, 67syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6968recnd 11282 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
7017rpcnd 13060 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
7117rpne0d 13063 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 β‰  0)
7264, 69, 70, 71divassd 12065 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) / 𝑅) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / 𝑅)))
7326rpcnd 13060 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
7426rpne0d 13063 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) β‰  0)
7569, 70, 73, 71, 74dmdcand 12059 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / 𝑅)) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)))
7663, 72, 753eqtrd 2772 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)))
77 eqid 2728 . . . . . . . 8 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
782, 3, 30, 5, 6, 77nmvs 24621 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
7919, 29, 22, 78syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
8059oveq1d 7441 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (πΏβ€˜π‘¦)) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
8170, 73, 74divcan1d 12031 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (πΏβ€˜π‘¦)) = 𝑅)
8279, 80, 813eqtrd 2772 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅)
83 fveqeq2 6911 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 ↔ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅))
84 2fveq3 6907 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))))
8584oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅))
8685breq1d 5162 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴 ↔ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴))
8783, 86imbi12d 343 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴) ↔ ((πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
88 simpllr 774 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
892, 5, 30, 6clmvscl 25043 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
9054, 29, 22, 89syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
9187, 88, 90rspcdva 3612 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴))
9282, 91mpd 15 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴)
9376, 92eqbrtrrd 5176 . . 3 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐴)
94 simplr 767 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9568, 94, 26ledivmul2d 13112 . . 3 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐴 ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))))
9693, 95mpbid 231 . 2 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
9711adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
9897rpred 13058 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
9998leidd 11820 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ≀ 𝑅)
100 breq1 5155 . . 3 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ 𝑅 ≀ 𝑅))
10199, 100syl5ibrcom 246 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 96, 101nmoleub2lem 25069 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147  0cc0 11148   Β· cmul 11153  β„*cxr 11287   ≀ cle 11289   / cdiv 11911  β„+crp 13016  abscabs 15223  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  0gc0g 17430   LMHom clmhm 20918  normcnm 24513  NrmGrpcngp 24514  NrmModcnlm 24517   normOp cnmo 24650  β„‚Modcclm 25017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ico 13372  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-0g 17432  df-topgen 17434  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-mgp 20089  df-ring 20189  df-cring 20190  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lmhm 20921  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-xms 24254  df-ms 24255  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-nlm 24523  df-nmo 24653  df-nghm 24654  df-clm 25018
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