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Theorem nmoleub3 24626
Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmoleub2.l 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmoleub2.m 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
nmoleub2.w 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
nmoleub2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
nmoleub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub3.5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmoleub3.6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† 𝐾)
Assertion
Ref Expression
nmoleub3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘†)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 nmoleub2.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
8 nmoleub2.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (NrmMod ∩ β„‚Mod))
9 nmoleub2.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
12 nmoleub3.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
1312adantr 481 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
149ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† 𝐾)
1615ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ℝ βŠ† 𝐾)
1711ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
187elin1d 4197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
1918ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 24185 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ NrmMod β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
22 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
23 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
252, 3, 24nmrpcl 24120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†)) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
2621, 22, 23, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ ℝ+)
2717, 26rpdivcld 13029 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ+)
2827rpred 13012 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
2916, 28sseldd 3982 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
31 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜π‘‡) = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
325, 6, 2, 30, 31lmhmlin 20638 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3314, 29, 22, 32syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
3433fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) = (π‘€β€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦))))
358elin1d 4197 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
3635ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑇 ∈ NrmMod)
37 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
385, 37lmhmsca 20633 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝐺)
4039fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜πΊ))
4140, 6eqtr4di 2790 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = 𝐾)
4229, 41eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
43 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
442, 43lmhmf 20637 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
4514, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
4645, 22ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
47 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
48 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
4943, 4, 31, 37, 47, 48nmvs 24184 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
5036, 42, 46, 49syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦))) = (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
5139fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (normβ€˜πΊ))
5251fveq1d 6890 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))))
537elin2d 4198 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
5453ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚Mod)
555, 6clmabs 24590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))))
5654, 29, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (absβ€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))))
5727rpge0d 13016 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 0 ≀ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
5828, 57absidd 15365 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (absβ€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
5956, 58eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
6052, 59eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) = (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)))
6160oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((normβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
6234, 50, 613eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
6362oveq1d 7420 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) = (((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) / 𝑅))
6427rpcnd 13014 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
65 nlmngp 24185 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmMod β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
6636, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
6743, 4nmcl 24116 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6866, 46, 67syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6968recnd 11238 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
7017rpcnd 13014 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
7117rpne0d 13017 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝑅 β‰  0)
7264, 69, 70, 71divassd 12021 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) / 𝑅) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / 𝑅)))
7326rpcnd 13014 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
7426rpne0d 13017 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) β‰  0)
7569, 70, 73, 71, 74dmdcand 12015 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / 𝑅)) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)))
7663, 72, 753eqtrd 2776 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)))
77 eqid 2732 . . . . . . . 8 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
782, 3, 30, 5, 6, 77nmvs 24184 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
7919, 29, 22, 78syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = (((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
8059oveq1d 7420 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))) Β· (πΏβ€˜π‘¦)) = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
8170, 73, 74divcan1d 11987 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) Β· (πΏβ€˜π‘¦)) = 𝑅)
8279, 80, 813eqtrd 2776 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅)
83 fveqeq2 6897 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 ↔ (πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅))
84 2fveq3 6893 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))))
8584oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) = ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅))
8685breq1d 5157 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴 ↔ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴))
8783, 86imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) β†’ (((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴) ↔ ((πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
88 simpllr 774 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴))
892, 5, 30, 6clmvscl 24595 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ β„‚Mod ∧ (𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
9054, 29, 22, 89syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
9187, 88, 90rspcdva 3613 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((πΏβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦)) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴))
9282, 91mpd 15 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜((𝑅 / (πΏβ€˜π‘¦))( ·𝑠 β€˜π‘†)𝑦))) / 𝑅) ≀ 𝐴)
9376, 92eqbrtrrd 5171 . . 3 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐴)
94 simplr 767 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9568, 94, 26ledivmul2d 13066 . . 3 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) / (πΏβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐴 ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦))))
9693, 95mpbid 231 . 2 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘†))) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘¦)))
9711adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
9897rpred 13012 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
9998leidd 11776 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ≀ 𝑅)
100 breq1 5150 . . 3 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ 𝑅 ≀ 𝑅))
10199, 100syl5ibrcom 246 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 96, 101nmoleub2lem 24621 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((πΏβ€˜π‘₯) = 𝑅 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) / 𝑅) ≀ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„+crp 12970  abscabs 15177  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   LMHom clmhm 20622  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077  NrmModcnlm 24080   normOp cnmo 24213  β„‚Modcclm 24569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lmhm 20625  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nlm 24086  df-nmo 24216  df-nghm 24217  df-clm 24570
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