Theorem nregmodellem 46201

Description: Lemma for nregmodel 46202. (Contributed by Eric Schmidt, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nregmodel.1	⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
nregmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
nregmodellem	⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

Proof of Theorem nregmodellem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nregmodel.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
2	1	nregmodelf1o 46200	. . 3 ⊢ 𝐹:V⟶1-1ontoV
3		nregmodel.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
4		vex 3458	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		0ex 5264	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6	2, 3, 4, 5	brpermmodel 46188	. 2 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ (𝐹‘∅))
7		f1ofun 6848	. . . . 5 ⊢ (𝐹:V⟶1-1ontoV → Fun 𝐹)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
9		opex 5436	. . . . . . 7 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ V
10	9	prid1 4723	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}
11		elun2 4184	. . . . . 6 ⊢ (⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩} → ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
13	12, 1	eleqtrri 2863	. . . 4 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹
14		funopfv 6957	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘∅) = {∅}))
15	8, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ (𝐹‘∅) = {∅}
16	15	eleq2i 2856	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹‘∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
17	6, 16	bitri 278	1 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   I cid 5549   E cep 5554  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  Fun wfun 6552  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566

This theorem is used by:  nregmodel  46202