Theorem nregmodellem 45006

Description: Lemma for nregmodel 45007. (Contributed by Eric Schmidt, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nregmodel.1	⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
nregmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
nregmodellem	⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

Proof of Theorem nregmodellem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nregmodel.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
2	1	nregmodelf1o 45005	. . 3 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
3		nregmodel.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
4		vex 3451	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		0ex 5262	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6	2, 3, 4, 5	brpermmodel 44993	. 2 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ (𝐹‘∅))
7		f1ofun 6802	. . . . 5 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → Fun 𝐹)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
9		opex 5424	. . . . . . 7 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ V
10	9	prid1 4726	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}
11		elun2 4146	. . . . . 6 ⊢ (⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩} → ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
13	12, 1	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹
14		funopfv 6910	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘∅) = {∅}))
15	8, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ (𝐹‘∅) = {∅}
16	15	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹‘∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
17	6, 16	bitri 275	1 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   I cid 5532   E cep 5537  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6505  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-eprel 5538  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  nregmodel  45007