Theorem nregmodellem 44990

Description: Lemma for nregmodel 44991. (Contributed by Eric Schmidt, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nregmodel.1	⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
nregmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
nregmodellem	⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

Proof of Theorem nregmodellem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nregmodel.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
2	1	nregmodelf1o 44989	. . 3 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
3		nregmodel.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
4		vex 3442	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		0ex 5249	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6	2, 3, 4, 5	brpermmodel 44977	. 2 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ (𝐹‘∅))
7		f1ofun 6770	. . . . 5 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → Fun 𝐹)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
9		opex 5411	. . . . . . 7 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ V
10	9	prid1 4716	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}
11		elun2 4136	. . . . . 6 ⊢ (⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩} → ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
13	12, 1	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹
14		funopfv 6876	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘∅) = {∅}))
15	8, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ (𝐹‘∅) = {∅}
16	15	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹‘∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
17	6, 16	bitri 275	1 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903  ∅c0 4286  {csn 4579  {cpr 4581  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095   I cid 5517   E cep 5522  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  Fun wfun 6480  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-eprel 5523  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  nregmodel  44991