Theorem nregmodellem 45028

Description: Lemma for nregmodel 45029. (Contributed by Eric Schmidt, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nregmodel.1	⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
nregmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
nregmodellem	⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

Proof of Theorem nregmodellem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nregmodel.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
2	1	nregmodelf1o 45027	. . 3 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
3		nregmodel.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
4		vex 3438	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		0ex 5243	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6	2, 3, 4, 5	brpermmodel 45015	. 2 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ (𝐹‘∅))
7		f1ofun 6761	. . . . 5 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → Fun 𝐹)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
9		opex 5402	. . . . . . 7 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ V
10	9	prid1 4713	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}
11		elun2 4131	. . . . . 6 ⊢ (⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩} → ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
13	12, 1	eleqtrri 2828	. . . 4 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹
14		funopfv 6866	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘∅) = {∅}))
15	8, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ (𝐹‘∅) = {∅}
16	15	eleq2i 2821	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹‘∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
17	6, 16	bitri 275	1 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   ∖ cdif 3897   ∪ cun 3898  ∅c0 4281  {csn 4574  {cpr 4576  ⟨cop 4580   class class class wbr 5089   I cid 5508   E cep 5513  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618  Fun wfun 6471  –1-1-onto→wf1o 6476  ‘cfv 6477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-eprel 5514  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485

This theorem is referenced by:  nregmodel  45029