Theorem nregmodellem 46099

Description: Lemma for nregmodel 46100. (Contributed by Eric Schmidt, 16-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nregmodel.1	⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
nregmodel.2	⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )

Assertion

Ref	Expression
nregmodellem	⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

Proof of Theorem nregmodellem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nregmodel.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
2	1	nregmodelf1o 46098	. . 3 ⊢ 𝐹:V–1-1-onto→V
3		nregmodel.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = (◡𝐹 ∘ E )
4		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6	2, 3, 4, 5	brpermmodel 46086	. 2 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ (𝐹‘∅))
7		f1ofun 6826	. . . . 5 ⊢ (𝐹:V–1-1-onto→V → Fun 𝐹)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
9		opex 5431	. . . . . . 7 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ V
10	9	prid1 4719	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}
11		elun2 4181	. . . . . 6 ⊢ (⟨∅, {∅}⟩ ∈ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩} → ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ (( I ↾ (V ∖ {∅, {∅}})) ∪ {⟨∅, {∅}⟩, ⟨{∅}, ∅⟩})
13	12, 1	eleqtrri 2859	. . . 4 ⊢ ⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹
14		funopfv 6934	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 → (⟨∅, {∅}⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘∅) = {∅}))
15	8, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ (𝐹‘∅) = {∅}
16	15	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹‘∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
17	6, 16	bitri 278	1 ⊢ (𝑥𝑅∅ ↔ 𝑥 ∈ {∅})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   I cid 5544   E cep 5549  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-eprel 5550  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is used by:  nregmodel  46100