Theorem nmmul 24639

Description: The norm of a product in a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nmmul	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24636	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅))
4		nmmul.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
5		nmmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	2, 4, 5	abvmul 20789	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
7	3, 6	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   · cmul 11034  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  AbsValcabv 20776  normcnm 24551  NrmRingcnrg 24554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8768  df-abv 20777  df-nrg 24560

This theorem is referenced by:  nrgdsdi  24640  nrgdsdir  24641  nminvr  24644  nmdvr  24645  nrginvrcnlem  24666