Theorem nmmul 24786

Description: The norm of a product in a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nmmul	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24783	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅))
4		nmmul.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
5		nmmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	2, 4, 5	abvmul 20898	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
7	3, 6	syl3an1 1179	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   · cmul 11101  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  AbsValcabv 20885  normcnm 24698  NrmRingcnrg 24701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8822  df-abv 20886  df-nrg 24707

This theorem is referenced by:  nrgdsdi  24787  nrgdsdir  24788  nminvr  24791  nmdvr  24792  nrginvrcnlem  24813