Theorem nmmul 24701

Description: The norm of a product in a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nmmul	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24698	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅))
4		nmmul.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
5		nmmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	2, 4, 5	abvmul 20839	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
7	3, 6	syl3an1 1162	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   · cmul 11158  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  AbsValcabv 20826  normcnm 24605  NrmRingcnrg 24608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-abv 20827  df-nrg 24614

This theorem is referenced by:  nrgdsdi  24702  nrgdsdir  24703  nminvr  24706  nmdvr  24707  nrginvrcnlem  24728