Theorem nmmul 24685

Description: The norm of a product in a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nmmul	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 24682	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅))
4		nmmul.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
5		nmmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	2, 4, 5	abvmul 20822	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (AbsVal‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
7	3, 6	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝑁‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   · cmul 11160  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  AbsValcabv 20809  normcnm 24589  NrmRingcnrg 24592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-abv 20810  df-nrg 24598

This theorem is referenced by:  nrgdsdi  24686  nrgdsdir  24687  nminvr  24690  nmdvr  24691  nrginvrcnlem  24712