MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgtrg 24711
Description: A normed ring is a topological ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
nrgtrg (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)

Proof of Theorem nrgtrg
StepHypRef Expression
1 nrgtgp 24693 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
2 nrgring 24684 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2737 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
43ringmgp 20236 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
52, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6 tgptps 24088 . . . . . 6 (𝑅 ∈ TopGrp → 𝑅 ∈ TopSp)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopSp)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
108, 9istps 22940 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
117, 10sylib 218 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
123, 8mgpbas 20142 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
133, 9mgptopn 20145 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
1412, 13istps 22940 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
1511, 14sylibr 234 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp)
16 rlmnlm 24709 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (ringLMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
17 rlmsca2 21206 . . . . 5 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
18 rlmscaf 21214 . . . . 5 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
19 rlmtopn 21208 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(ringLMod‘𝑅))
20 baseid 17250 . . . . . . . . 9 Base = Slot (Base‘ndx)
2120, 8strfvi 17227 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
2221a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅)))
23 tsetid 17397 . . . . . . . . 9 TopSet = Slot (TopSet‘ndx)
24 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑅)
2523, 24strfvi 17227 . . . . . . . 8 (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘( I ‘𝑅))
2625a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘( I ‘𝑅)))
2722, 26topnpropd 17481 . . . . . 6 (⊤ → (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘( I ‘𝑅)))
2827mptru 1547 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘( I ‘𝑅))
2917, 18, 19, 28nlmvscn 24708 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ NrmMod → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅)))
3016, 29syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅)))
31 eqid 2737 . . . 4 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
3231, 13istmd 24082 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅))))
335, 15, 30, 32syl3anbrc 1344 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
343istrg 24172 . 2 (𝑅 ∈ TopRing ↔ (𝑅 ∈ TopGrp ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd))
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1344 1 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108   I cid 5577  cfv 6561  (class class class)co 7431  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  TopSetcts 17303  TopOpenctopn 17466  +𝑓cplusf 18650  Mndcmnd 18747  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  ringLModcrglmod 21171  TopOnctopon 22916  TopSpctps 22938   Cn ccn 23232   ×t ctx 23568  TopMndctmd 24078  TopGrpctgp 24079  TopRingctrg 24164  NrmRingcnrg 24592  NrmModcnlm 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  24714  nlmtlm  24715  iistmd  33901  qqhcn  33992
  Copyright terms: Public domain W3C validator