MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgtrg 23002
Description: A normed ring is a topological ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtrg (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)

Proof of Theorem nrgtrg
StepHypRef Expression
1 nrgtgp 22984 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
2 nrgring 22975 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2778 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
43ringmgp 19026 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
52, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6 tgptps 22392 . . . . . 6 (𝑅 ∈ TopGrp → 𝑅 ∈ TopSp)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopSp)
8 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2778 . . . . . 6 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
108, 9istps 21246 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
117, 10sylib 210 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
123, 8mgpbas 18968 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
133, 9mgptopn 18971 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
1412, 13istps 21246 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
1511, 14sylibr 226 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp)
16 rlmnlm 23000 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (ringLMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
17 rlmsca2 19695 . . . . 5 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
18 rlmscaf 19702 . . . . 5 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
19 rlmtopn 19697 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(ringLMod‘𝑅))
20 df-base 16345 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
2120, 8strfvi 16393 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
2221a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅)))
23 df-tset 16440 . . . . . . . . 9 TopSet = Slot 9
24 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑅)
2523, 24strfvi 16393 . . . . . . . 8 (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘( I ‘𝑅))
2625a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘( I ‘𝑅)))
2722, 26topnpropd 16566 . . . . . 6 (⊤ → (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘( I ‘𝑅)))
2827mptru 1514 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘( I ‘𝑅))
2917, 18, 19, 28nlmvscn 22999 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ NrmMod → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅)))
3016, 29syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅)))
31 eqid 2778 . . . 4 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
3231, 13istmd 22386 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅))))
335, 15, 30, 32syl3anbrc 1323 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
343istrg 22475 . 2 (𝑅 ∈ TopRing ↔ (𝑅 ∈ TopGrp ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd))
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1323 1 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wtru 1508  wcel 2050   I cid 5311  cfv 6188  (class class class)co 6976  1c1 10336  9c9 11502  Basecbs 16339  TopSetcts 16427  TopOpenctopn 16551  +𝑓cplusf 17707  Mndcmnd 17762  mulGrpcmgp 18962  Ringcrg 19020  ringLModcrglmod 19663  TopOnctopon 21222  TopSpctps 21244   Cn ccn 21536   ×t ctx 21872  TopMndctmd 22382  TopGrpctgp 22383  TopRingctrg 22467  NrmRingcnrg 22892  NrmModcnlm 22893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-plusf 17709  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-subrg 19256  df-abv 19310  df-lmod 19358  df-scaf 19359  df-sra 19666  df-rgmod 19667  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-tmd 22384  df-tgp 22385  df-trg 22471  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-nm 22895  df-ngp 22896  df-nrg 22898  df-nlm 22899
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  23005  nlmtlm  23006  iistmd  30795  qqhcn  30882
  Copyright terms: Public domain W3C validator