MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgtrg 23296
Description: A normed ring is a topological ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtrg (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)

Proof of Theorem nrgtrg
StepHypRef Expression
1 nrgtgp 23278 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopGrp)
2 nrgring 23269 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2798 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
43ringmgp 19296 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
52, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6 tgptps 22685 . . . . . 6 (𝑅 ∈ TopGrp → 𝑅 ∈ TopSp)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopSp)
8 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9 eqid 2798 . . . . . 6 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
108, 9istps 21539 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
117, 10sylib 221 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
123, 8mgpbas 19238 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
133, 9mgptopn 19241 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
1412, 13istps 21539 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑅) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑅)))
1511, 14sylibr 237 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp)
16 rlmnlm 23294 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (ringLMod‘𝑅) ∈ NrmMod)
17 rlmsca2 19966 . . . . 5 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
18 rlmscaf 19974 . . . . 5 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
19 rlmtopn 19968 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(ringLMod‘𝑅))
20 df-base 16481 . . . . . . . . 9 Base = Slot 1
2120, 8strfvi 16529 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
2221a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅)))
23 df-tset 16576 . . . . . . . . 9 TopSet = Slot 9
24 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑅)
2523, 24strfvi 16529 . . . . . . . 8 (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘( I ‘𝑅))
2625a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘( I ‘𝑅)))
2722, 26topnpropd 16702 . . . . . 6 (⊤ → (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘( I ‘𝑅)))
2827mptru 1545 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘( I ‘𝑅))
2917, 18, 19, 28nlmvscn 23293 . . . 4 ((ringLMod‘𝑅) ∈ NrmMod → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅)))
3016, 29syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅)))
31 eqid 2798 . . . 4 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
3231, 13istmd 22679 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ TopSp ∧ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ×t (TopOpen‘𝑅)) Cn (TopOpen‘𝑅))))
335, 15, 30, 32syl3anbrc 1340 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
343istrg 22769 . 2 (𝑅 ∈ TopRing ↔ (𝑅 ∈ TopGrp ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd))
351, 2, 33, 34syl3anbrc 1340 1 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2111   I cid 5424  cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10527  9c9 11687  Basecbs 16475  TopSetcts 16563  TopOpenctopn 16687  +𝑓cplusf 17841  Mndcmnd 17903  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  ringLModcrglmod 19934  TopOnctopon 21515  TopSpctps 21537   Cn ccn 21829   ×t ctx 22165  TopMndctmd 22675  TopGrpctgp 22676  TopRingctrg 22761  NrmRingcnrg 23186  NrmModcnlm 23187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-abv 19581  df-lmod 19629  df-scaf 19630  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-tmd 22677  df-tgp 22678  df-trg 22765  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nrg 23192  df-nlm 23193
This theorem is referenced by:  nrgtdrg  23299  nlmtlm  23300  iistmd  31255  qqhcn  31342
  Copyright terms: Public domain W3C validator