![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nrgtdrg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
nrgtdrg | โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ TopDRing) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nrgtrg 24625 | . . 3 โข (๐ โ NrmRing โ ๐ โ TopRing) | |
2 | 1 | adantr 479 | . 2 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ TopRing) |
3 | simpr 483 | . 2 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ DivRing) | |
4 | nrgring 24598 | . . . . 5 โข (๐ โ NrmRing โ ๐ โ Ring) | |
5 | 4 | adantr 479 | . . . 4 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ Ring) |
6 | eqid 2727 | . . . . 5 โข (Unitโ๐ ) = (Unitโ๐ ) | |
7 | eqid 2727 | . . . . 5 โข ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) = ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) | |
8 | 6, 7 | unitgrp 20327 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ Grp) |
9 | 5, 8 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ Grp) |
10 | eqid 2727 | . . . . . 6 โข (mulGrpโ๐ ) = (mulGrpโ๐ ) | |
11 | 10 | trgtmd 24087 | . . . . 5 โข (๐ โ TopRing โ (mulGrpโ๐ ) โ TopMnd) |
12 | 2, 11 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ (mulGrpโ๐ ) โ TopMnd) |
13 | 6, 10 | unitsubm 20330 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ (Unitโ๐ ) โ (SubMndโ(mulGrpโ๐ ))) |
14 | 5, 13 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ (Unitโ๐ ) โ (SubMndโ(mulGrpโ๐ ))) |
15 | 7 | submtmd 24026 | . . . 4 โข (((mulGrpโ๐ ) โ TopMnd โง (Unitโ๐ ) โ (SubMndโ(mulGrpโ๐ ))) โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopMnd) |
16 | 12, 14, 15 | syl2anc 582 | . . 3 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopMnd) |
17 | eqid 2727 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
18 | eqid 2727 | . . . . 5 โข (invrโ๐ ) = (invrโ๐ ) | |
19 | eqid 2727 | . . . . 5 โข (TopOpenโ๐ ) = (TopOpenโ๐ ) | |
20 | 17, 6, 18, 19 | nrginvrcn 24627 | . . . 4 โข (๐ โ NrmRing โ (invrโ๐ ) โ (((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )) Cn ((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )))) |
21 | 20 | adantr 479 | . . 3 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ (invrโ๐ ) โ (((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )) Cn ((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )))) |
22 | 10, 19 | mgptopn 20091 | . . . . 5 โข (TopOpenโ๐ ) = (TopOpenโ(mulGrpโ๐ )) |
23 | 7, 22 | resstopn 23108 | . . . 4 โข ((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )) = (TopOpenโ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ ))) |
24 | 6, 7, 18 | invrfval 20333 | . . . 4 โข (invrโ๐ ) = (invgโ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ ))) |
25 | 23, 24 | istgp 23999 | . . 3 โข (((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopGrp โ (((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ Grp โง ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopMnd โง (invrโ๐ ) โ (((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )) Cn ((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ ))))) |
26 | 9, 16, 21, 25 | syl3anbrc 1340 | . 2 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopGrp) |
27 | 10, 6 | istdrg 24088 | . 2 โข (๐ โ TopDRing โ (๐ โ TopRing โง ๐ โ DivRing โง ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopGrp)) |
28 | 2, 3, 26, 27 | syl3anbrc 1340 | 1 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ TopDRing) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โ wcel 2098 โcfv 6551 (class class class)co 7424 Basecbs 17185 โพs cress 17214 โพt crest 17407 TopOpenctopn 17408 SubMndcsubmnd 18744 Grpcgrp 18895 mulGrpcmgp 20079 Ringcrg 20178 Unitcui 20299 invrcinvr 20331 DivRingcdr 20629 Cn ccn 23146 TopMndctmd 23992 TopGrpctgp 23993 TopRingctrg 24078 TopDRingctdrg 24079 NrmRingcnrg 24506 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-rep 5287 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pow 5367 ax-pr 5431 ax-un 7744 ax-cnex 11200 ax-resscn 11201 ax-1cn 11202 ax-icn 11203 ax-addcl 11204 ax-addrcl 11205 ax-mulcl 11206 ax-mulrcl 11207 ax-mulcom 11208 ax-addass 11209 ax-mulass 11210 ax-distr 11211 ax-i2m1 11212 ax-1ne0 11213 ax-1rid 11214 ax-rnegex 11215 ax-rrecex 11216 ax-cnre 11217 ax-pre-lttri 11218 ax-pre-lttrn 11219 ax-pre-ltadd 11220 ax-pre-mulgt0 11221 ax-pre-sup 11222 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4325 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-uni 4911 df-int 4952 df-iun 5000 df-iin 5001 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-tr 5268 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5635 df-se 5636 df-we 5637 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-pred 6308 df-ord 6375 df-on 6376 df-lim 6377 df-suc 6378 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-isom 6560 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-of 7689 df-om 7875 df-1st 7997 df-2nd 7998 df-supp 8170 df-tpos 8236 df-frecs 8291 df-wrecs 8322 df-recs 8396 df-rdg 8435 df-1o 8491 df-2o 8492 df-er 8729 df-map 8851 df-ixp 8921 df-en 8969 df-dom 8970 df-sdom 8971 df-fin 8972 df-fsupp 9392 df-fi 9440 df-sup 9471 df-inf 9472 df-oi 9539 df-card 9968 df-pnf 11286 df-mnf 11287 df-xr 11288 df-ltxr 11289 df-le 11290 df-sub 11482 df-neg 11483 df-div 11908 df-nn 12249 df-2 12311 df-3 12312 df-4 12313 df-5 12314 df-6 12315 df-7 12316 df-8 12317 df-9 12318 df-n0 12509 df-z 12595 df-dec 12714 df-uz 12859 df-q 12969 df-rp 13013 df-xneg 13130 df-xadd 13131 df-xmul 13132 df-ico 13368 df-icc 13369 df-fz 13523 df-fzo 13666 df-seq 14005 df-exp 14065 df-hash 14328 df-cj 15084 df-re 15085 df-im 15086 df-sqrt 15220 df-abs 15221 df-struct 17121 df-sets 17138 df-slot 17156 df-ndx 17168 df-base 17186 df-ress 17215 df-plusg 17251 df-mulr 17252 df-sca 17254 df-vsca 17255 df-ip 17256 df-tset 17257 df-ple 17258 df-ds 17260 df-hom 17262 df-cco 17263 df-rest 17409 df-topn 17410 df-0g 17428 df-gsum 17429 df-topgen 17430 df-pt 17431 df-prds 17434 df-xrs 17489 df-qtop 17494 df-imas 17495 df-xps 17497 df-mre 17571 df-mrc 17572 df-acs 17574 df-plusf 18604 df-mgm 18605 df-sgrp 18684 df-mnd 18700 df-submnd 18746 df-grp 18898 df-minusg 18899 df-sbg 18900 df-mulg 19029 df-subg 19083 df-cntz 19273 df-cmn 19742 df-abl 19743 df-mgp 20080 df-rng 20098 df-ur 20127 df-ring 20180 df-oppr 20278 df-dvdsr 20301 df-unit 20302 df-invr 20332 df-nzr 20457 df-subrng 20488 df-subrg 20513 df-abv 20702 df-lmod 20750 df-scaf 20751 df-sra 21063 df-rgmod 21064 df-psmet 21276 df-xmet 21277 df-met 21278 df-bl 21279 df-mopn 21280 df-top 22814 df-topon 22831 df-topsp 22853 df-bases 22867 df-cn 23149 df-cnp 23150 df-tx 23484 df-hmeo 23677 df-tmd 23994 df-tgp 23995 df-trg 24082 df-tdrg 24083 df-xms 24244 df-ms 24245 df-tms 24246 df-nm 24509 df-ngp 24510 df-nrg 24512 df-nlm 24513 |
This theorem is referenced by: nvctvc 24635 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |