MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtdrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgtdrg 22718
Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtdrg ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)

Proof of Theorem nrgtdrg
StepHypRef Expression
1 nrgtrg 22715 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
21adantr 466 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopRing)
3 simpr 471 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 nrgring 22688 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
54adantr 466 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ Ring)
6 eqid 2771 . . . . 5 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2771 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
86, 7unitgrp 18876 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
95, 8syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
10 eqid 2771 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1110trgtmd 22189 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
122, 11syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
136, 10unitsubm 18879 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
145, 13syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
157submtmd 22129 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd ∧ (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
1612, 14, 15syl2anc 567 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
17 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18 eqid 2771 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
19 eqid 2771 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
2017, 6, 18, 19nrginvrcn 22717 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (invr𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
2120adantr 466 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (invr𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
2210, 19mgptopn 18707 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
237, 22resstopn 21212 . . . 4 ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) = (TopOpen‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
246, 7, 18invrfval 18882 . . . 4 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
2523, 24istgp 22102 . . 3 (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp ↔ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd ∧ (invr𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)))))
269, 16, 21, 25syl3anbrc 1428 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp)
2710, 6istdrg 22190 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing ↔ (𝑅 ∈ TopRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp))
282, 3, 26, 27syl3anbrc 1428 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  cfv 6032  (class class class)co 6794  Basecbs 16065  s cress 16066  t crest 16290  TopOpenctopn 16291  SubMndcsubmnd 17543  Grpcgrp 17631  mulGrpcmgp 18698  Ringcrg 18756  Unitcui 18848  invrcinvr 18880  DivRingcdr 18958   Cn ccn 21250  TopMndctmd 22095  TopGrpctgp 22096  TopRingctrg 22180  TopDRingctdrg 22181  NrmRingcnrg 22605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-tpos 7505  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-ip 16168  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-pt 16314  df-prds 16317  df-xrs 16371  df-qtop 16376  df-imas 16377  df-xps 16379  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-plusf 17450  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-grp 17634  df-minusg 17635  df-sbg 17636  df-mulg 17750  df-subg 17800  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-subrg 18989  df-abv 19028  df-lmod 19076  df-scaf 19077  df-sra 19388  df-rgmod 19389  df-nzr 19474  df-psmet 19954  df-xmet 19955  df-met 19956  df-bl 19957  df-mopn 19958  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-tmd 22097  df-tgp 22098  df-trg 22184  df-tdrg 22185  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-nrg 22611  df-nlm 22612
This theorem is referenced by:  nvctvc  22725
  Copyright terms: Public domain W3C validator