MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgtdrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgtdrg 24057
Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgtdrg ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)

Proof of Theorem nrgtdrg
StepHypRef Expression
1 nrgtrg 24054 . . 3 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
21adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopRing)
3 simpr 485 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 nrgring 24027 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
54adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ Ring)
6 eqid 2736 . . . . 5 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7 eqid 2736 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
86, 7unitgrp 20096 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
95, 8syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
10 eqid 2736 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1110trgtmd 23516 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
122, 11syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
136, 10unitsubm 20099 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
145, 13syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
157submtmd 23455 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd ∧ (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
1612, 14, 15syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
17 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18 eqid 2736 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
19 eqid 2736 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
2017, 6, 18, 19nrginvrcn 24056 . . . 4 (𝑅 ∈ NrmRing → (invr𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
2120adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (invr𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
2210, 19mgptopn 19908 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
237, 22resstopn 22537 . . . 4 ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) = (TopOpen‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
246, 7, 18invrfval 20102 . . . 4 (invr𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
2523, 24istgp 23428 . . 3 (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp ↔ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd ∧ (invr𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)))))
269, 16, 21, 25syl3anbrc 1343 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp)
2710, 6istdrg 23517 . 2 (𝑅 ∈ TopDRing ↔ (𝑅 ∈ TopRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp))
282, 3, 26, 27syl3anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  s cress 17112  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  SubMndcsubmnd 18600  Grpcgrp 18748  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  Unitcui 20068  invrcinvr 20100  DivRingcdr 20185   Cn ccn 22575  TopMndctmd 23421  TopGrpctgp 23422  TopRingctrg 23507  TopDRingctdrg 23508  NrmRingcnrg 23935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-lmod 20324  df-scaf 20325  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-nzr 20728  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-tmd 23423  df-tgp 23424  df-trg 23511  df-tdrg 23512  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942
This theorem is referenced by:  nvctvc  24064
  Copyright terms: Public domain W3C validator