Theorem nrgtdrg 24859

Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgtdrg	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)

Proof of Theorem nrgtdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgtrg 24856	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopRing)
3		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
4		nrgring 24829	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
8	6, 7	unitgrp 20470	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
9	5, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	10	trgtmd 24331	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
13	6, 10	unitsubm 20473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
14	5, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
15	7	submtmd 24270	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd ∧ (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
16	12, 14, 15	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
17		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
20	17, 6, 18, 19	nrginvrcn 24858	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (invr‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
21	20	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (invr‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
22	10, 19	mgptopn 20228	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
23	7, 22	resstopn 23352	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) = (TopOpen‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
24	6, 7, 18	invrfval 20476	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
25	23, 24	istgp 24243	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp ↔ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd ∧ (invr‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)))))
26	9, 16, 21, 25	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp)
27	10, 6	istdrg 24332	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing ↔ (𝑅 ∈ TopRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp))
28	2, 3, 26, 27	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273   ↾_s cress 17294   ↾_t crest 17477  TopOpenctopn 17478  SubMndcsubmnd 18844  Grpcgrp 19004  mulGrpcmgp 20220  Ringcrg 20319  Unitcui 20442  inv_rcinvr 20474  DivRingcdr 20836   Cn ccn 23390  TopMndctmd 24236  TopGrpctgp 24237  TopRingctrg 24322  TopDRingctdrg 24323  NrmRingcnrg 24745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-plusf 18701  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-nzr 20619  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-abv 20921  df-lmod 20992  df-scaf 20993  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-tmd 24238  df-tgp 24239  df-trg 24326  df-tdrg 24327  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-nm 24748  df-ngp 24749  df-nrg 24751  df-nlm 24752

This theorem is used by:  nvctvc  24866