Theorem nrgtdrg 24714

Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgtdrg	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)

Proof of Theorem nrgtdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgtrg 24711	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopRing)
3		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
4		nrgring 24684	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
8	6, 7	unitgrp 20383	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	10	trgtmd 24173	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
13	6, 10	unitsubm 20386	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
14	5, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
15	7	submtmd 24112	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd ∧ (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
16	12, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
20	17, 6, 18, 19	nrginvrcn 24713	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (invr‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (invr‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
22	10, 19	mgptopn 20145	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
23	7, 22	resstopn 23194	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) = (TopOpen‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
24	6, 7, 18	invrfval 20389	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
25	23, 24	istgp 24085	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp ↔ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd ∧ (invr‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)))))
26	9, 16, 21, 25	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp)
27	10, 6	istdrg 24174	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing ↔ (𝑅 ∈ TopRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp))
28	2, 3, 26, 27	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274   ↾_t crest 17465  TopOpenctopn 17466  SubMndcsubmnd 18795  Grpcgrp 18951  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  Unitcui 20355  inv_rcinvr 20387  DivRingcdr 20729   Cn ccn 23232  TopMndctmd 24078  TopGrpctgp 24079  TopRingctrg 24164  TopDRingctdrg 24165  NrmRingcnrg 24592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-trg 24168  df-tdrg 24169  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599

This theorem is referenced by:  nvctvc  24721