![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nrgtdrg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
nrgtdrg | โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ TopDRing) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nrgtrg 24558 | . . 3 โข (๐ โ NrmRing โ ๐ โ TopRing) | |
2 | 1 | adantr 480 | . 2 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ TopRing) |
3 | simpr 484 | . 2 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ DivRing) | |
4 | nrgring 24531 | . . . . 5 โข (๐ โ NrmRing โ ๐ โ Ring) | |
5 | 4 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ Ring) |
6 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (Unitโ๐ ) = (Unitโ๐ ) | |
7 | eqid 2726 | . . . . 5 โข ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) = ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) | |
8 | 6, 7 | unitgrp 20283 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ Grp) |
9 | 5, 8 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ Grp) |
10 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (mulGrpโ๐ ) = (mulGrpโ๐ ) | |
11 | 10 | trgtmd 24020 | . . . . 5 โข (๐ โ TopRing โ (mulGrpโ๐ ) โ TopMnd) |
12 | 2, 11 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ (mulGrpโ๐ ) โ TopMnd) |
13 | 6, 10 | unitsubm 20286 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ (Unitโ๐ ) โ (SubMndโ(mulGrpโ๐ ))) |
14 | 5, 13 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ (Unitโ๐ ) โ (SubMndโ(mulGrpโ๐ ))) |
15 | 7 | submtmd 23959 | . . . 4 โข (((mulGrpโ๐ ) โ TopMnd โง (Unitโ๐ ) โ (SubMndโ(mulGrpโ๐ ))) โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopMnd) |
16 | 12, 14, 15 | syl2anc 583 | . . 3 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopMnd) |
17 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
18 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (invrโ๐ ) = (invrโ๐ ) | |
19 | eqid 2726 | . . . . 5 โข (TopOpenโ๐ ) = (TopOpenโ๐ ) | |
20 | 17, 6, 18, 19 | nrginvrcn 24560 | . . . 4 โข (๐ โ NrmRing โ (invrโ๐ ) โ (((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )) Cn ((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )))) |
21 | 20 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ (invrโ๐ ) โ (((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )) Cn ((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )))) |
22 | 10, 19 | mgptopn 20049 | . . . . 5 โข (TopOpenโ๐ ) = (TopOpenโ(mulGrpโ๐ )) |
23 | 7, 22 | resstopn 23041 | . . . 4 โข ((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )) = (TopOpenโ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ ))) |
24 | 6, 7, 18 | invrfval 20289 | . . . 4 โข (invrโ๐ ) = (invgโ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ ))) |
25 | 23, 24 | istgp 23932 | . . 3 โข (((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopGrp โ (((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ Grp โง ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopMnd โง (invrโ๐ ) โ (((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ )) Cn ((TopOpenโ๐ ) โพt (Unitโ๐ ))))) |
26 | 9, 16, 21, 25 | syl3anbrc 1340 | . 2 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopGrp) |
27 | 10, 6 | istdrg 24021 | . 2 โข (๐ โ TopDRing โ (๐ โ TopRing โง ๐ โ DivRing โง ((mulGrpโ๐ ) โพs (Unitโ๐ )) โ TopGrp)) |
28 | 2, 3, 26, 27 | syl3anbrc 1340 | 1 โข ((๐ โ NrmRing โง ๐ โ DivRing) โ ๐ โ TopDRing) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โ wcel 2098 โcfv 6536 (class class class)co 7404 Basecbs 17151 โพs cress 17180 โพt crest 17373 TopOpenctopn 17374 SubMndcsubmnd 18710 Grpcgrp 18861 mulGrpcmgp 20037 Ringcrg 20136 Unitcui 20255 invrcinvr 20287 DivRingcdr 20585 Cn ccn 23079 TopMndctmd 23925 TopGrpctgp 23926 TopRingctrg 24011 TopDRingctdrg 24012 NrmRingcnrg 24439 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-of 7666 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8144 df-tpos 8209 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-2o 8465 df-er 8702 df-map 8821 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-fi 9405 df-sup 9436 df-inf 9437 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-4 12278 df-5 12279 df-6 12280 df-7 12281 df-8 12282 df-9 12283 df-n0 12474 df-z 12560 df-dec 12679 df-uz 12824 df-q 12934 df-rp 12978 df-xneg 13095 df-xadd 13096 df-xmul 13097 df-ico 13333 df-icc 13334 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-seq 13970 df-exp 14031 df-hash 14294 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-struct 17087 df-sets 17104 df-slot 17122 df-ndx 17134 df-base 17152 df-ress 17181 df-plusg 17217 df-mulr 17218 df-sca 17220 df-vsca 17221 df-ip 17222 df-tset 17223 df-ple 17224 df-ds 17226 df-hom 17228 df-cco 17229 df-rest 17375 df-topn 17376 df-0g 17394 df-gsum 17395 df-topgen 17396 df-pt 17397 df-prds 17400 df-xrs 17455 df-qtop 17460 df-imas 17461 df-xps 17463 df-mre 17537 df-mrc 17538 df-acs 17540 df-plusf 18570 df-mgm 18571 df-sgrp 18650 df-mnd 18666 df-submnd 18712 df-grp 18864 df-minusg 18865 df-sbg 18866 df-mulg 18994 df-subg 19048 df-cntz 19231 df-cmn 19700 df-abl 19701 df-mgp 20038 df-rng 20056 df-ur 20085 df-ring 20138 df-oppr 20234 df-dvdsr 20257 df-unit 20258 df-invr 20288 df-nzr 20413 df-subrng 20444 df-subrg 20469 df-abv 20658 df-lmod 20706 df-scaf 20707 df-sra 21019 df-rgmod 21020 df-psmet 21228 df-xmet 21229 df-met 21230 df-bl 21231 df-mopn 21232 df-top 22747 df-topon 22764 df-topsp 22786 df-bases 22800 df-cn 23082 df-cnp 23083 df-tx 23417 df-hmeo 23610 df-tmd 23927 df-tgp 23928 df-trg 24015 df-tdrg 24016 df-xms 24177 df-ms 24178 df-tms 24179 df-nm 24442 df-ngp 24443 df-nrg 24445 df-nlm 24446 |
This theorem is referenced by: nvctvc 24568 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |