Theorem nrgtdrg 24905

Description: A normed division ring is a topological division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgtdrg	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)

Proof of Theorem nrgtdrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgtrg 24902	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopRing)
3		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
4		nrgring 24875	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
8	6, 7	unitgrp 20515	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
9	5, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp)
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	10	trgtmd 24377	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ TopRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd)
13	6, 10	unitsubm 20518	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
14	5, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
15	7	submtmd 24316	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ TopMnd ∧ (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
16	12, 14, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd)
17		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
20	17, 6, 18, 19	nrginvrcn 24904	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (invr‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (invr‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅))))
22	10, 19	mgptopn 20272	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘(mulGrp‘𝑅))
23	7, 22	resstopn 23397	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) = (TopOpen‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
24	6, 7, 18	invrfval 20521	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)))
25	23, 24	istgp 24289	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp ↔ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ Grp ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopMnd ∧ (invr‘𝑅) ∈ (((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)) Cn ((TopOpen‘𝑅) ↾t (Unit‘𝑅)))))
26	9, 16, 21, 25	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp)
27	10, 6	istdrg 24378	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TopDRing ↔ (𝑅 ∈ TopRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅)) ∈ TopGrp))
28	2, 3, 26, 27	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ TopDRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295   ↾_s cress 17316   ↾_t crest 17499  TopOpenctopn 17500  SubMndcsubmnd 18881  Grpcgrp 19048  mulGrpcmgp 20264  Ringcrg 20363  Unitcui 20487  inv_rcinvr 20519  DivRingcdr 20881   Cn ccn 23435  TopMndctmd 24282  TopGrpctgp 24283  TopRingctrg 24368  TopDRingctdrg 24369  NrmRingcnrg 24791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-q 12993  df-rp 13037  df-xneg 13157  df-xadd 13158  df-xmul 13159  df-ico 13398  df-icc 13399  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-hom 17360  df-cco 17361  df-rest 17501  df-topn 17502  df-0g 17520  df-gsum 17521  df-topgen 17522  df-pt 17523  df-prds 17526  df-xrs 17582  df-qtop 17587  df-imas 17588  df-xps 17590  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-plusf 18723  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-mulg 19182  df-subg 19237  df-cntz 19435  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-nzr 20664  df-subrng 20699  df-subrg 20723  df-abv 20966  df-lmod 21037  df-scaf 21038  df-sra 21348  df-rgmod 21349  df-psmet 21568  df-xmet 21569  df-met 21570  df-bl 21571  df-mopn 21572  df-top 23105  df-topon 23122  df-topsp 23144  df-bases 23157  df-cn 23438  df-cnp 23439  df-tx 23774  df-hmeo 23967  df-tmd 24284  df-tgp 24285  df-trg 24372  df-tdrg 24373  df-xms 24532  df-ms 24533  df-tms 24534  df-nm 24794  df-ngp 24795  df-nrg 24797  df-nlm 24798

This theorem is used by:  nvctvc  24912