Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iistmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iistmd 33503
Description: The closed unit interval forms a topological monoid under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
df-iis 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
Assertion
Ref Expression
iistmd 𝐼 ∈ TopMnd

Proof of Theorem iistmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 24710 . . 3 fld ∈ NrmRing
2 nrgtrg 24620 . . 3 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ TopRing)
3 eqid 2728 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
43trgtmd 24082 . . 3 (ℂfld ∈ TopRing → (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd)
51, 2, 4mp2b 10 . 2 (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd
6 unitsscn 13510 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℂ
7 1elunit 13480 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
8 iimulcl 24873 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
98rgen2 3194 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
10 nrgring 24593 . . . . 5 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
113ringmgp 20179 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
121, 10, 11mp2b 10 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
13 cnfldbas 21283 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
143, 13mgpbas 20080 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15 cnfld1 21321 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
163, 15ringidval 20123 . . . . 5 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
17 cnfldmul 21287 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
183, 17mgpplusg 20078 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
1914, 16, 18issubm 18755 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))))
2012, 19ax-mp 5 . . 3 ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)))
216, 7, 9, 20mpbir3an 1339 . 2 (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
22 df-iis . . 3 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
2322submtmd 24021 . 2 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd ∧ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → 𝐼 ∈ TopMnd)
245, 21, 23mp2an 691 1 𝐼 ∈ TopMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  wss 3947  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   · cmul 11144  [,]cicc 13360  s cress 17209  Mndcmnd 18694  SubMndcsubmnd 18739  mulGrpcmgp 20074  Ringcrg 20173  fldccnfld 21279  TopMndctmd 23987  TopRingctrg 24073  NrmRingcnrg 24501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-plusf 18599  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-abv 20697  df-lmod 20745  df-scaf 20746  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-tmd 23989  df-tgp 23990  df-trg 24077  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508
This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  33540  xrge0pluscn  33541  xrge0tmd  33546
  Copyright terms: Public domain W3C validator