Theorem iistmd 34062

Description: The closed unit interval forms a topological monoid under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
df-iis	⊢ 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))

Assertion

Ref	Expression
iistmd	⊢ 𝐼 ∈ TopMnd

Proof of Theorem iistmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 24755	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		nrgtrg 24665	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ TopRing)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4	3	trgtmd 24140	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ TopRing → (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd)
5	1, 2, 4	mp2b 10	. 2 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd
6		unitsscn 13444	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
7		1elunit 13414	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
8		iimulcl 24914	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
9	8	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
10		nrgring 24638	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
11	3	ringmgp 20211	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
12	1, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
13		cnfldbas 21348	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14	3, 13	mgpbas 20117	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15		cnfld1 21383	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
16	3, 15	ringidval 20155	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
17		cnfldmul 21352	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
18	3, 17	mgpplusg 20116	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
19	14, 16, 18	issubm 18762	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))))
20	12, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)))
21	6, 7, 9, 20	mpbir3an 1343	. 2 ⊢ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
22		df-iis	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
23	22	submtmd 24079	. 2 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd ∧ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → 𝐼 ∈ TopMnd)
24	5, 21, 23	mp2an 693	1 ⊢ 𝐼 ∈ TopMnd

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  [,]cicc 13292   ↾_s cress 17191  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18741  mulGrpcmgp 20112  Ringcrg 20205  ℂ_fldccnfld 21344  TopMndctmd 24045  TopRingctrg 24131  NrmRingcnrg 24554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-abv 20777  df-lmod 20848  df-scaf 20849  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-tmd 24047  df-tgp 24048  df-trg 24135  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-nm 24557  df-ngp 24558  df-nrg 24560  df-nlm 24561

This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  34099  xrge0pluscn  34100  xrge0tmd  34105