Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iistmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iistmd 33863
Description: The closed unit interval forms a topological monoid under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
df-iis 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
Assertion
Ref Expression
iistmd 𝐼 ∈ TopMnd

Proof of Theorem iistmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnnrg 24817 . . 3 fld ∈ NrmRing
2 nrgtrg 24727 . . 3 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ TopRing)
3 eqid 2735 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
43trgtmd 24189 . . 3 (ℂfld ∈ TopRing → (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd)
51, 2, 4mp2b 10 . 2 (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd
6 unitsscn 13537 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℂ
7 1elunit 13507 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
8 iimulcl 24980 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
98rgen2 3197 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
10 nrgring 24700 . . . . 5 (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
113ringmgp 20257 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
121, 10, 11mp2b 10 . . . 4 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
13 cnfldbas 21386 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
143, 13mgpbas 20158 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15 cnfld1 21424 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
163, 15ringidval 20201 . . . . 5 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
17 cnfldmul 21390 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
183, 17mgpplusg 20156 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
1914, 16, 18issubm 18829 . . . 4 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))))
2012, 19ax-mp 5 . . 3 ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)))
216, 7, 9, 20mpbir3an 1340 . 2 (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
22 df-iis . . 3 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
2322submtmd 24128 . 2 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd ∧ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → 𝐼 ∈ TopMnd)
245, 21, 23mp2an 692 1 𝐼 ∈ TopMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  [,]cicc 13387  s cress 17274  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  fldccnfld 21382  TopMndctmd 24094  TopRingctrg 24180  NrmRingcnrg 24608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-abv 20827  df-lmod 20877  df-scaf 20878  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-tmd 24096  df-tgp 24097  df-trg 24184  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nrg 24614  df-nlm 24615
This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  33900  xrge0pluscn  33901  xrge0tmd  33906
  Copyright terms: Public domain W3C validator