Theorem iistmd 30758

Description: The closed unit interval forms a topological monoid under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
df-iis	⊢ 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))

Assertion

Ref	Expression
iistmd	⊢ 𝐼 ∈ TopMnd

Proof of Theorem iistmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 23076	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		nrgtrg 22986	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ TopRing)
3		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4	3	trgtmd 22460	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ TopRing → (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd)
5	1, 2, 4	mp2b 10	. 2 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd
6		unitsscn 30752	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
7		1elunit 12710	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
8		iimulcl 23228	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
9	8	rgen2a 3195	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
10		nrgring 22959	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
11	3	ringmgp 18997	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
12	1, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
13		cnfldbas 20235	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14	3, 13	mgpbas 18939	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15		cnfld1 20256	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
16	3, 15	ringidval 18947	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
17		cnfldmul 20237	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
18	3, 17	mgpplusg 18937	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
19	14, 16, 18	issubm 17790	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))))
20	12, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)))
21	6, 7, 9, 20	mpbir3an 1334	. 2 ⊢ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
22		df-iis	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
23	22	submtmd 22400	. 2 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd ∧ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → 𝐼 ∈ TopMnd)
24	5, 21, 23	mp2an 688	1 ⊢ 𝐼 ∈ TopMnd

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107   ⊆ wss 3865  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395  [,]cicc 12595   ↾_s cress 16317  Mndcmnd 17737  SubMndcsubmnd 17777  mulGrpcmgp 18933  Ringcrg 18991  ℂ_fldccnfld 20231  TopMndctmd 22366  TopRingctrg 22451  NrmRingcnrg 22876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-plusf 17684  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-subrg 19227  df-abv 19282  df-lmod 19330  df-scaf 19331  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-tmd 22368  df-tgp 22369  df-trg 22455  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-nm 22879  df-ngp 22880  df-nrg 22882  df-nlm 22883

This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  30795  xrge0pluscn  30796  xrge0tmd  30801