Theorem iistmd 34617

Description: The closed unit interval forms a topological monoid under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
df-iis	⊢ 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))

Assertion

Ref	Expression
iistmd	⊢ 𝐼 ∈ TopMnd

Proof of Theorem iistmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 25132	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		nrgtrg 25042	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ TopRing)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4	3	trgtmd 24517	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ TopRing → (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd)
5	1, 2, 4	mp2b 10	. 2 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd
6		unitsscn 13661	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
7		1elunit 13631	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
8		iimulcl 25291	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
9	8	rgen2 3206	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
10		nrgring 25015	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ NrmRing → ℂfld ∈ Ring)
11	3	ringmgp 20498	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
12	1, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
13		cnfldbas 21715	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14	3, 13	mgpbas 20398	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
15		cnfld1 21736	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
16	3, 15	ringidval 20442	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
17		cnfldmul 21719	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
18	3, 17	mgpplusg 20397	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
19	14, 16, 18	issubm 19030	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))))
20	12, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ ((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)))
21	6, 7, 9, 20	mpbir3an 1360	. 2 ⊢ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
22		df-iis	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
23	22	submtmd 24456	. 2 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ∈ TopMnd ∧ (0[,]1) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → 𝐼 ∈ TopMnd)
24	5, 21, 23	mp2an 705	1 ⊢ 𝐼 ∈ TopMnd

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231   · cmul 11235  [,]cicc 13509   ↾_s cress 17440  Mndcmnd 18955  SubMndcsubmnd 19009  mulGrpcmgp 20393  Ringcrg 20492  ℂ_fldccnfld 21711  TopMndctmd 24422  TopRingctrg 24508  NrmRingcnrg 24931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-plusf 18847  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-abv 21099  df-lmod 21170  df-scaf 21171  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-tmd 24424  df-tgp 24425  df-trg 24512  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-nm 24934  df-ngp 24935  df-nrg 24937  df-nlm 24938

This theorem is used by:  xrge0iifmhm  34654  xrge0pluscn  34655  xrge0tmd  34660