Theorem omege0 45921

Description: If the outer measure of a set is greater than or equal to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omege0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omege0.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omege0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omege0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐴))

Proof of Theorem omege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11292	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11299	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		omege0.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
6		omege0.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
7		omege0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
8	5, 6, 7	omecl 45891	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
9		iccgelb 13413	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘𝐴))
10	2, 4, 8, 9	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139  +∞cpnf 11276  ℝ^*cxr 11278   ≤ cle 11280  [,]cicc 13360  OutMeascome 45877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-addrcl 11200  ax-rnegex 11210  ax-cnre 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-pnf 11281  df-xr 11283  df-icc 13364  df-ome 45878

This theorem is referenced by:  omess0  45922