Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omege0 43112
Description: If the outer measure of a set is greater than or equal to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omege0.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omege0.x 𝑋 = dom 𝑂
omege0.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
omege0 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐴))

Proof of Theorem omege0
StepHypRef Expression
1 0xr 10677 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 10684 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 omege0.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
6 omege0.x . . 3 𝑋 = dom 𝑂
7 omege0.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
85, 6, 7omecl 43082 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
9 iccgelb 12781 . 2 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂𝐴))
102, 4, 8, 9syl3anc 1368 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  wss 3908   cuni 4813   class class class wbr 5042  dom cdm 5532  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  *cxr 10663  cle 10665  [,]cicc 12729  OutMeascome 43068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-pnf 10666  df-xr 10668  df-icc 12733  df-ome 43069
This theorem is referenced by:  omess0  43113
  Copyright terms: Public domain W3C validator