Theorem omege0 45239

Description: If the outer measure of a set is greater than or equal to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omege0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omege0.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omege0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omege0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐴))

Proof of Theorem omege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11260	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 11267	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		omege0.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
6		omege0.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
7		omege0.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
8	5, 6, 7	omecl 45209	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
9		iccgelb 13379	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘𝐴))
10	2, 4, 8, 9	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  ℝ^*cxr 11246   ≤ cle 11248  [,]cicc 13326  OutMeascome 45195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-addrcl 11170  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-pnf 11249  df-xr 11251  df-icc 13330  df-ome 45196

This theorem is referenced by:  omess0  45240