Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omege0 45122
Description: If the outer measure of a set is greater than or equal to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omege0.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omege0.x 𝑋 = dom 𝑂
omege0.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
omege0 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐴))

Proof of Theorem omege0
StepHypRef Expression
1 0xr 11248 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11255 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 omege0.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
6 omege0.x . . 3 𝑋 = dom 𝑂
7 omege0.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
85, 6, 7omecl 45092 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
9 iccgelb 13367 . 2 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂𝐴))
102, 4, 8, 9syl3anc 1372 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3946   cuni 4904   class class class wbr 5144  dom cdm 5672  cfv 6535  (class class class)co 7396  0cc0 11097  +∞cpnf 11232  *cxr 11234  cle 11236  [,]cicc 13314  OutMeascome 45078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-addrcl 11158  ax-rnegex 11168  ax-cnre 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-pnf 11237  df-xr 11239  df-icc 13318  df-ome 45079
This theorem is referenced by:  omess0  45123
  Copyright terms: Public domain W3C validator