Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omege0 44848
Description: If the outer measure of a set is greater than or equal to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omege0.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omege0.x 𝑋 = dom 𝑂
omege0.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
omege0 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐴))

Proof of Theorem omege0
StepHypRef Expression
1 0xr 11209 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 11216 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 omege0.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
6 omege0.x . . 3 𝑋 = dom 𝑂
7 omege0.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
85, 6, 7omecl 44818 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
9 iccgelb 13327 . 2 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂𝐴))
102, 4, 8, 9syl3anc 1372 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3915   cuni 4870   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  *cxr 11195  cle 11197  [,]cicc 13274  OutMeascome 44804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-addrcl 11119  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-pnf 11198  df-xr 11200  df-icc 13278  df-ome 44805
This theorem is referenced by:  omess0  44849
  Copyright terms: Public domain W3C validator