Theorem omess0 45298

Description: If the outer measure of a set is 0, then the outer measure of its subsets is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omess0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omess0.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omess0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omess0.z	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 0)
omess0.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
omess0	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = 0)

Proof of Theorem omess0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omess0.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		omess0.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		omess0.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		omess0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	3, 4	sstrd 3993	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6	1, 2, 5	omexrcl 45271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
7		0xr 11261	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9	1, 2, 4, 3	omessle 45262	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ (𝑂‘𝐴))
10		omess0.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 0)
11	9, 10	breqtrd 5175	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ 0)
12	1, 2, 5	omege0 45297	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
13	6, 8, 11, 12	xrletrid 13134	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ∪ cuni 4909  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  0cc0 11110  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249  OutMeascome 45253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-icc 13331  df-ome 45254

This theorem is referenced by:  caragencmpl  45299  voncmpl  45385