Theorem omess0 46519

Description: If the outer measure of a set is 0, then the outer measure of its subsets is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omess0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omess0.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omess0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omess0.z	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 0)
omess0.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
omess0	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = 0)

Proof of Theorem omess0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omess0.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		omess0.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		omess0.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		omess0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	3, 4	sstrd 3948	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6	1, 2, 5	omexrcl 46492	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
7		0xr 11181	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9	1, 2, 4, 3	omessle 46483	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ (𝑂‘𝐴))
10		omess0.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 0)
11	9, 10	breqtrd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ 0)
12	1, 2, 5	omege0 46518	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
13	6, 8, 11, 12	xrletrid 13075	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4861  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  0cc0 11028  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169  OutMeascome 46474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13273  df-ome 46475

This theorem is referenced by:  caragencmpl  46520  voncmpl  46606