Theorem omess0 46225

Description: If the outer measure of a set is 0, then the outer measure of its subsets is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omess0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omess0.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omess0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omess0.z	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 0)
omess0.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
omess0	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = 0)

Proof of Theorem omess0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omess0.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		omess0.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		omess0.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		omess0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	3, 4	sstrd 4002	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6	1, 2, 5	omexrcl 46198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
7		0xr 11318	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9	1, 2, 4, 3	omessle 46189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ (𝑂‘𝐴))
10		omess0.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 0)
11	9, 10	breqtrd 5182	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ 0)
12	1, 2, 5	omege0 46224	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
13	6, 8, 11, 12	xrletrid 13198	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ⊆ wss 3959  ∪ cuni 4918  dom cdm 5686  ‘cfv 6558  0cc0 11165  ℝ^*cxr 11304   ≤ cle 11306  OutMeascome 46180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-addrcl 11226  ax-rnegex 11236  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-id 5584  df-po 5598  df-so 5599  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-icc 13395  df-ome 46181

This theorem is referenced by:  caragencmpl  46226  voncmpl  46312