Theorem omess0 46490

Description: If the outer measure of a set is 0, then the outer measure of its subsets is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omess0.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omess0.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omess0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omess0.z	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 0)
omess0.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
omess0	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = 0)

Proof of Theorem omess0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omess0.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
2		omess0.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
3		omess0.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4		omess0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	3, 4	sstrd 4006	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
6	1, 2, 5	omexrcl 46463	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
7		0xr 11306	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9	1, 2, 4, 3	omessle 46454	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ (𝑂‘𝐴))
10		omess0.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = 0)
11	9, 10	breqtrd 5174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ 0)
12	1, 2, 5	omege0 46489	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
13	6, 8, 11, 12	xrletrid 13194	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  0cc0 11153  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  OutMeascome 46445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391  df-ome 46446

This theorem is referenced by:  caragencmpl  46491  voncmpl  46577