Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omess0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omess0 44707
Description: If the outer measure of a set is 0, then the outer measure of its subsets is 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omess0.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omess0.x 𝑋 = dom 𝑂
omess0.a (𝜑𝐴𝑋)
omess0.z (𝜑 → (𝑂𝐴) = 0)
omess0.s (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
omess0 (𝜑 → (𝑂𝐵) = 0)

Proof of Theorem omess0
StepHypRef Expression
1 omess0.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 omess0.x . . 3 𝑋 = dom 𝑂
3 omess0.s . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
4 omess0.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
53, 4sstrd 3952 . . 3 (𝜑𝐵𝑋)
61, 2, 5omexrcl 44680 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ*)
7 0xr 11198 . . 3 0 ∈ ℝ*
87a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
91, 2, 4, 3omessle 44671 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) ≤ (𝑂𝐴))
10 omess0.z . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 0)
119, 10breqtrd 5129 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐵) ≤ 0)
121, 2, 5omege0 44706 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐵))
136, 8, 11, 12xrletrid 13066 1 (𝜑 → (𝑂𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908   cuni 4863  dom cdm 5631  cfv 6493  0cc0 11047  *cxr 11184  cle 11186  OutMeascome 44662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-addrcl 11108  ax-rnegex 11118  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-icc 13263  df-ome 44663
This theorem is referenced by:  caragencmpl  44708  voncmpl  44794
  Copyright terms: Public domain W3C validator