MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephreg 10579
Description: A successor aleph is regular. Theorem 11.15 of [TakeutiZaring] p. 103. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephreg (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด)

Proof of Theorem alephreg
Dummy variables ๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephordilem1 10070 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
2 alephon 10066 . . . . . . . . 9 (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On
3 cff1 10255 . . . . . . . . 9 ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 โˆƒ๐‘“(๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
5 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ V
6 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
76sucex 7796 . . . . . . . . . . . . 13 suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
85, 7iunex 7957 . . . . . . . . . . . 12 โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
9 f1f 6787 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด))
109ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด))
11 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
122oneli 6478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
13 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
14 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On)
152, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On)
16 onsssuc 6454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
1715, 16sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง (๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)))) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
1817anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
1918rexbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
20 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
2119, 20bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
2221ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
2312, 22sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
2423ralbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
25 dfss3 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
2624, 25bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
2726biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
2810, 11, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
29 ssdomg 8998 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V โ†’ ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
308, 28, 29mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
31 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
32 onsuc 7801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc ๐ด โˆˆ On)
33 alephislim 10080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (suc ๐ด โˆˆ On โ†” Lim (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
34 limsuc 7840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Lim (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
3533, 34sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc ๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
3632, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
37 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง = suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
38 alephcard 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (cardโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด)
39 iscard 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((cardโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
4039simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((cardโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
4138, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)
4237, 41vtoclri 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
43 alephsucdom 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ On โ†’ (suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
4442, 43imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ On โ†’ (suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
4536, 44sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
4613, 45syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
4746expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
4847ralrimiv 3145 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
49 iundom 10539 . . . . . . . . . . . . 13 (((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ V โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
505, 48, 49sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
5131, 10, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
52 domtr 9005 . . . . . . . . . . 11 (((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆง โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
5330, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
5453expcom 414 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด))))
5554exlimdv 1936 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด))))
564, 55mpi 20 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
57 alephgeom 10079 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†” ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด))
58 alephon 10066 . . . . . . . . . . 11 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On
59 infxpen 10011 . . . . . . . . . . 11 (((โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โˆง ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
6058, 59mpan 688 . . . . . . . . . 10 (ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
6157, 60sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
62 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
6362, 41vtoclri 3576 . . . . . . . . . . 11 ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
64 alephsucdom 10076 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
6563, 64imbitrrid 245 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
66 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ V
6766xpdom1 9073 . . . . . . . . . 10 ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
6865, 67syl6 35 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด))))
69 domentr 9011 . . . . . . . . . 10 ((((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
7069expcom 414 . . . . . . . . 9 (((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ (((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
7161, 68, 70sylsyld 61 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
7271imp 407 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
73 domtr 9005 . . . . . . 7 (((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
7456, 72, 73syl2anc 584 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
75 domnsym 9101 . . . . . 6 ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
7776ex 413 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
781, 77mt2d 136 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ ยฌ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
79 cfon 10252 . . . . 5 (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ On
80 cfle 10251 . . . . . 6 (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โŠ† (โ„ตโ€˜suc ๐ด)
81 onsseleq 6405 . . . . . 6 (((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ On โˆง (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โŠ† (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆจ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))))
8280, 81mpbii 232 . . . . 5 (((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ On โˆง (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆจ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
8379, 2, 82mp2an 690 . . . 4 ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆจ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
8483ori 859 . . 3 (ยฌ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
8578, 84syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
86 cf0 10248 . . 3 (cfโ€˜โˆ…) = โˆ…
87 alephfnon 10062 . . . . . . . 8 โ„ต Fn On
8887fndmi 6653 . . . . . . 7 dom โ„ต = On
8988eleq2i 2825 . . . . . 6 (suc ๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†” suc ๐ด โˆˆ On)
90 onsucb 7807 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†” suc ๐ด โˆˆ On)
9189, 90bitr4i 277 . . . . 5 (suc ๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†” ๐ด โˆˆ On)
92 ndmfv 6926 . . . . 5 (ยฌ suc ๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) = โˆ…)
9391, 92sylnbir 330 . . . 4 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) = โˆ…)
9493fveq2d 6895 . . 3 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (cfโ€˜โˆ…))
9586, 94, 933eqtr4a 2798 . 2 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
9685, 95pm2.61i 182 1 (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  โˆช ciun 4997   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  โŸถwf 6539  โ€“1-1โ†’wf1 6540  โ€˜cfv 6543  ฯ‰com 7857   โ‰ˆ cen 8938   โ‰ผ cdom 8939   โ‰บ csdm 8940  cardccrd 9932  โ„ตcale 9933  cfccf 9934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-har 9554  df-card 9936  df-aleph 9937  df-cf 9938  df-acn 9939  df-ac 10113
This theorem is referenced by:  pwcfsdom  10580  minregex  42367
  Copyright terms: Public domain W3C validator