MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephreg 10577
Description: A successor aleph is regular. Theorem 11.15 of [TakeutiZaring] p. 103. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephreg (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด)

Proof of Theorem alephreg
Dummy variables ๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alephordilem1 10068 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
2 alephon 10064 . . . . . . . . 9 (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On
3 cff1 10253 . . . . . . . . 9 ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 โˆƒ๐‘“(๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
5 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ V
6 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
76sucex 7794 . . . . . . . . . . . . 13 suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
85, 7iunex 7955 . . . . . . . . . . . 12 โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V
9 f1f 6788 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด))
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด))
11 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
122oneli 6479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
13 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
14 onelon 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On โˆง (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On)
152, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On)
16 onsssuc 6455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
1715, 16sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง (๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)))) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
1817anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
1918rexbidva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
20 eliun 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โˆˆ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
2119, 20bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
2221ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
2312, 22sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
2423ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
25 dfss3 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ฅ โˆˆ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
2624, 25bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†” (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
2726biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
2810, 11, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
29 ssdomg 8996 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V โ†’ ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โŠ† โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))
308, 28, 29mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))
31 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
32 onsuc 7799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ On โ†’ suc ๐ด โˆˆ On)
33 alephislim 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (suc ๐ด โˆˆ On โ†” Lim (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
34 limsuc 7838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Lim (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
3533, 34sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc ๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
3632, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
37 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ง = suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
38 alephcard 10065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (cardโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด)
39 iscard 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((cardโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
4039simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((cardโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
4138, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)
4237, 41vtoclri 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
43 alephsucdom 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ On โ†’ (suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
4442, 43imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ On โ†’ (suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
4536, 44sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
4613, 45syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
4746expdimp 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
4847ralrimiv 3146 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
49 iundom 10537 . . . . . . . . . . . . 13 (((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ V โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
505, 48, 49sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โŸถ(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
5131, 10, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
52 domtr 9003 . . . . . . . . . . 11 (((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โˆง โˆช ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))suc (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
5330, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โˆง (๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
5453expcom 415 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ ((๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด))))
5554exlimdv 1937 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))โ€“1-1โ†’(โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด))๐‘ฅ โŠ† (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด))))
564, 55mpi 20 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
57 alephgeom 10077 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†” ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด))
58 alephon 10064 . . . . . . . . . . 11 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On
59 infxpen 10009 . . . . . . . . . . 11 (((โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ On โˆง ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
6058, 59mpan 689 . . . . . . . . . 10 (ฯ‰ โŠ† (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
6157, 60sylbi 216 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด))
62 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (๐‘ง โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
6362, 41vtoclri 3577 . . . . . . . . . . 11 ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
64 alephsucdom 10074 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†” (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
6563, 64imbitrrid 245 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
66 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (โ„ตโ€˜๐ด) โˆˆ V
6766xpdom1 9071 . . . . . . . . . 10 ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)))
6865, 67syl6 35 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด))))
69 domentr 9009 . . . . . . . . . 10 ((((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
7069expcom 415 . . . . . . . . 9 (((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ˆ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ (((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ ((โ„ตโ€˜๐ด) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
7161, 68, 70sylsyld 61 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)))
7271imp 408 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
73 domtr 9003 . . . . . . 7 (((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โˆง ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) ร— (โ„ตโ€˜๐ด)) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
7456, 72, 73syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด))
75 domnsym 9099 . . . . . 6 ((โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ‰ผ (โ„ตโ€˜๐ด) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
7776ex 414 . . . 4 (๐ด โˆˆ On โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ ยฌ (โ„ตโ€˜๐ด) โ‰บ (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
781, 77mt2d 136 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ ยฌ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
79 cfon 10250 . . . . 5 (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ On
80 cfle 10249 . . . . . 6 (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โŠ† (โ„ตโ€˜suc ๐ด)
81 onsseleq 6406 . . . . . 6 (((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ On โˆง (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โŠ† (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†” ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆจ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))))
8280, 81mpbii 232 . . . . 5 (((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ On โˆง (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆˆ On) โ†’ ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆจ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด)))
8379, 2, 82mp2an 691 . . . 4 ((cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โˆจ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
8483ori 860 . . 3 (ยฌ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) โˆˆ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
8578, 84syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
86 cf0 10246 . . 3 (cfโ€˜โˆ…) = โˆ…
87 alephfnon 10060 . . . . . . . 8 โ„ต Fn On
8887fndmi 6654 . . . . . . 7 dom โ„ต = On
8988eleq2i 2826 . . . . . 6 (suc ๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†” suc ๐ด โˆˆ On)
90 onsucb 7805 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†” suc ๐ด โˆˆ On)
9189, 90bitr4i 278 . . . . 5 (suc ๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†” ๐ด โˆˆ On)
92 ndmfv 6927 . . . . 5 (ยฌ suc ๐ด โˆˆ dom โ„ต โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) = โˆ…)
9391, 92sylnbir 331 . . . 4 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (โ„ตโ€˜suc ๐ด) = โˆ…)
9493fveq2d 6896 . . 3 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (cfโ€˜โˆ…))
9586, 94, 933eqtr4a 2799 . 2 (ยฌ ๐ด โˆˆ On โ†’ (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด))
9685, 95pm2.61i 182 1 (cfโ€˜(โ„ตโ€˜suc ๐ด)) = (โ„ตโ€˜suc ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  โˆช ciun 4998   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  dom cdm 5677  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  โŸถwf 6540  โ€“1-1โ†’wf1 6541  โ€˜cfv 6544  ฯ‰com 7855   โ‰ˆ cen 8936   โ‰ผ cdom 8937   โ‰บ csdm 8938  cardccrd 9930  โ„ตcale 9931  cfccf 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-har 9552  df-card 9934  df-aleph 9935  df-cf 9936  df-acn 9937  df-ac 10111
This theorem is referenced by:  pwcfsdom  10578  minregex  42285
  Copyright terms: Public domain W3C validator