MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankr1c 9715
Description: A relationship between the rank function and the cumulative hierarchy of sets function 𝑅1. Proposition 9.15(2) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1c (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐵 = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))

Proof of Theorem rankr1c
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐵 = (rank‘𝐴) → 𝐵 = (rank‘𝐴))
2 rankdmr1 9695 . . . 4 (rank‘𝐴) ∈ dom 𝑅1
31, 2eqeltrdi 2846 . . 3 (𝐵 = (rank‘𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
43a1i 11 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐵 = (rank‘𝐴) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
5 elfvdm 6876 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
6 r1funlim 9660 . . . . . . 7 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
76simpri 486 . . . . . 6 Lim dom 𝑅1
8 limsuc 7777 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
105, 9sylibr 233 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
1110adantl 482 . . 3 ((¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
1211a1i 11 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
13 eqss 3957 . . . 4 (𝐵 = (rank‘𝐴) ↔ (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
14 rankr1clem 9714 . . . . 5 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
15 rankr1ag 9696 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
169, 15sylan2b 594 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
17 rankon 9689 . . . . . . 7 (rank‘𝐴) ∈ On
18 limord 6375 . . . . . . . . . 10 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
197, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Ord dom 𝑅1
20 ordelon 6339 . . . . . . . . 9 ((Ord dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
2119, 20mpan 688 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
2221adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
23 onsssuc 6405 . . . . . . 7 (((rank‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
2417, 22, 23sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
2516, 24bitr4d 281 . . . . 5 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
2614, 25anbi12d 631 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) ↔ (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ∧ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵)))
2713, 26bitr4id 289 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐵 = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
2827ex 413 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝐵 = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))))
294, 12, 28pm5.21ndd 380 1 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐵 = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908   cuni 4863  dom cdm 5631  cima 5634  Ord word 6314  Oncon0 6315  Lim wlim 6316  suc csuc 6317  Fun wfun 6487  cfv 6493  𝑅1cr1 9656  rankcrnk 9657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-r1 9658  df-rank 9659
This theorem is referenced by:  rankidn  9716  rankpwi  9717  rankr1g  9726  r1tskina  10676
  Copyright terms: Public domain W3C validator