Theorem rankr1bg 9759

Description: A relationship between rank and 𝑅₁. See rankr1ag 9758 for the membership version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1bg	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1bg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9722	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 489	. . . 4 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limsuc 7829	. . . 4 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
5		rankr1ag 9758	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
6	4, 5	sylan2b 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
7		r1sucg 9725	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
8	7	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
9	8	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵)))
10		fvex 6880	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐵) ∈ V
11	10	elpw2 5291	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
12	9, 11	bitr2di 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
13		rankon 9751	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
14		limord 6407	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
15	2, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Ord dom 𝑅1
16		ordelon 6370	. . . . 5 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
17	15, 16	mpan 700	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → 𝐵 ∈ On)
18	17	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
19		onsssuc 6438	. . 3 ⊢ (((rank‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
20	13, 18, 19	sylancr 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
21	6, 12, 20	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  dom cdm 5648   “ cima 5651  Ord word 6345  Oncon0 6346  Lim wlim 6347  suc csuc 6348  Fun wfun 6515  ‘cfv 6521  𝑅₁cr1 9718  rankcrnk 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-r1 9720  df-rank 9721

This theorem is referenced by:  r1rankidb  9760  rankval3b  9782  rankssb  9804  rankeq0b  9816  rankr1id  9818  rankr1b  9820