Theorem rankr1bg 9838

Description: A relationship between rank and 𝑅₁. See rankr1ag 9837 for the membership version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1bg	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1bg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1dmlim 9799	. . . 4 ⊢ Lim dom 𝑅1
2		limsuc 7884	. . . 4 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
4		rankr1ag 9837	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
5	3, 4	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
6		r1sucg 9803	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
8	7	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵)))
9		fvex 6921	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐵) ∈ V
10	9	elpw2 5300	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
11	8, 10	bitr2di 291	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
12		rankon 9830	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
13		limord 6442	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Ord dom 𝑅1
15		ordelon 6404	. . . . 5 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
16	14, 15	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → 𝐵 ∈ On)
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
18		onsssuc 6473	. . 3 ⊢ (((rank‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
19	12, 17, 18	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
20	5, 11, 19	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  dom cdm 5655   “ cima 5658  Ord word 6379  Oncon0 6380  Lim wlim 6381  suc csuc 6382  ‘cfv 6558  𝑅₁cr1 9793  rankcrnk 9794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-r1 9795  df-rank 9796

This theorem is used by:  r1rankidb  9839  rankval3b  9863  rankssb  9889  rankeq0b  9903  rankr1id  9905  rankr1b  9908