Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1bg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankr1bg 9221
 Description: A relationship between rank and 𝑅1. See rankr1ag 9220 for the membership version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1bg ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1bg
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9184 . . . . 5 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 486 . . . 4 Lim dom 𝑅1
3 limsuc 7552 . . . 4 (Lim dom 𝑅1 → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
5 rankr1ag 9220 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
64, 5sylan2b 593 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
7 r1sucg 9187 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
87adantl 482 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
98eleq2d 2903 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵)))
10 fvex 6680 . . . 4 (𝑅1𝐵) ∈ V
1110elpw2 5245 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
129, 11syl6rbb 289 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
13 rankon 9213 . . 3 (rank‘𝐴) ∈ On
14 limord 6248 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
152, 14ax-mp 5 . . . . 5 Ord dom 𝑅1
16 ordelon 6213 . . . . 5 ((Ord dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
1715, 16mpan 686 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
1817adantl 482 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
19 onsssuc 6276 . . 3 (((rank‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
2013, 18, 19sylancr 587 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
216, 12, 203bitr4d 312 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3940  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4837  dom cdm 5554   “ cima 5557  Ord word 6188  Oncon0 6189  Lim wlim 6190  suc csuc 6191  Fun wfun 6346  ‘cfv 6352  𝑅1cr1 9180  rankcrnk 9181 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-r1 9182  df-rank 9183 This theorem is referenced by:  r1rankidb  9222  rankval3b  9244  rankssb  9266  rankeq0b  9278  rankr1id  9280  rankr1b  9282
 Copyright terms: Public domain W3C validator