Theorem rankr1bg 9719

Description: A relationship between rank and 𝑅₁. See rankr1ag 9718 for the membership version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1bg	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1bg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 9682	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 485	. . . 4 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limsuc 7793	. . . 4 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
5		rankr1ag 9718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
6	4, 5	sylan2b 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
7		r1sucg 9685	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
9	8	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵)))
10		fvex 6848	. . . 4 ⊢ (𝑅1‘𝐵) ∈ V
11	10	elpw2 5280	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
12	9, 11	bitr2di 288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
13		rankon 9711	. . 3 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On
14		limord 6379	. . . . . 6 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
15	2, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Ord dom 𝑅1
16		ordelon 6342	. . . . 5 ⊢ ((Ord dom 𝑅1 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
17	15, 16	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → 𝐵 ∈ On)
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
19		onsssuc 6410	. . 3 ⊢ (((rank‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
20	13, 18, 19	sylancr 588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
21	6, 12, 20	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4864  dom cdm 5625   “ cima 5628  Ord word 6317  Oncon0 6318  Lim wlim 6319  suc csuc 6320  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493  𝑅₁cr1 9678  rankcrnk 9679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-r1 9680  df-rank 9681

This theorem is referenced by:  r1rankidb  9720  rankval3b  9742  rankssb  9764  rankeq0b  9776  rankr1id  9778  rankr1b  9780