MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1bg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankr1bg 9221
Description: A relationship between rank and 𝑅1. See rankr1ag 9220 for the membership version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1bg ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1bg
StepHypRef Expression
1 r1funlim 9184 . . . . 5 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 486 . . . 4 Lim dom 𝑅1
3 limsuc 7552 . . . 4 (Lim dom 𝑅1 → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
5 rankr1ag 9220 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
64, 5sylan2b 593 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
7 r1sucg 9187 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
87adantl 482 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
98eleq2d 2903 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵)))
10 fvex 6680 . . . 4 (𝑅1𝐵) ∈ V
1110elpw2 5245 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
129, 11syl6rbb 289 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
13 rankon 9213 . . 3 (rank‘𝐴) ∈ On
14 limord 6248 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
152, 14ax-mp 5 . . . . 5 Ord dom 𝑅1
16 ordelon 6213 . . . . 5 ((Ord dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
1715, 16mpan 686 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
1817adantl 482 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
19 onsssuc 6276 . . 3 (((rank‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
2013, 18, 19sylancr 587 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
216, 12, 203bitr4d 312 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3940  𝒫 cpw 4542   cuni 4837  dom cdm 5554  cima 5557  Ord word 6188  Oncon0 6189  Lim wlim 6190  suc csuc 6191  Fun wfun 6346  cfv 6352  𝑅1cr1 9180  rankcrnk 9181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-r1 9182  df-rank 9183
This theorem is referenced by:  r1rankidb  9222  rankval3b  9244  rankssb  9266  rankeq0b  9278  rankr1id  9280  rankr1b  9282
  Copyright terms: Public domain W3C validator