Theorem oaun3lem4 43961

Description: The class of all ordinal sums of elements from two ordinals is less than the successor to the sum. Lemma for oaun3 43966. (Contributed by RP, 12-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oaun3lem4	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ∈ suc (𝐴 +o 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥   𝐵,𝑎,𝑏,𝑥

Proof of Theorem oaun3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaun3lem2 43959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ⊆ (𝐴 +o 𝐵))
2		oaun3lem3 43960	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ∈ On)
3		oacl 8508	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ On)
4		onsssuc 6442	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ∈ On ∧ (𝐴 +o 𝐵) ∈ On) → ({𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ∈ suc (𝐴 +o 𝐵)))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ({𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ⊆ (𝐴 +o 𝐵) ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ∈ suc (𝐴 +o 𝐵)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → {𝑥 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑎 +o 𝑏)} ∈ suc (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {cab 2743  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907  Oncon0 6349  suc csuc 6351  (class class class)co 7400   +_o coa 8438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-oadd 8445

This theorem is referenced by:  oaun3  43966