Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | excom 2169 |
. . . 4
⊢
(∃𝑧∃𝑤∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑤∃𝑧∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
2 | | exrot4 2173 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑧∃𝑤∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
3 | | opeq1 4756 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 〈𝑤, 𝑧〉 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
4 | 3 | eqeq2d 2749 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ↔ 𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉)) |
5 | 4 | pm5.32ri 579 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ (𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
6 | 5 | anbi1i 627 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ 𝜑)) |
7 | | anass 472 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ 𝜑) ↔ (𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
8 | | an32 646 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
9 | 6, 7, 8 | 3bitr3i 304 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
10 | 9 | exbii 1854 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑤(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑤((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
11 | | opex 5319 |
. . . . . . . . 9
⊢
〈𝑥, 𝑦〉 ∈ V |
12 | 11 | isseti 3412 |
. . . . . . . 8
⊢
∃𝑤 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 |
13 | | 19.42v 1960 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑤((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ ((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑤 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
14 | 12, 13 | mpbiran2 710 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑤((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ (𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)) |
15 | 10, 14 | bitri 278 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑤(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)) |
16 | 15 | 3exbii 1856 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)) |
17 | 2, 16 | bitri 278 |
. . . 4
⊢
(∃𝑧∃𝑤∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)) |
18 | | 19.42vv 1964 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
19 | 18 | 2exbii 1855 |
. . . 4
⊢
(∃𝑤∃𝑧∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
20 | 1, 17, 19 | 3bitr3i 304 |
. . 3
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
21 | 20 | abbii 2803 |
. 2
⊢ {𝑣 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)} = {𝑣 ∣ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))} |
22 | | df-oprab 7168 |
. 2
⊢
{〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑} = {𝑣 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)} |
23 | | df-opab 5090 |
. 2
⊢
{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} = {𝑣 ∣ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))} |
24 | 21, 22, 23 | 3eqtr4i 2771 |
1
⊢
{〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑} = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} |