| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | excom 2162 |
. . . 4
⊢
(∃𝑧∃𝑤∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑤∃𝑧∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
| 2 | | exrot4 2166 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑧∃𝑤∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
| 3 | | opeq1 4873 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 → 〈𝑤, 𝑧〉 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉) |
| 4 | 3 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ↔ 𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉)) |
| 5 | 4 | pm5.32ri 575 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ (𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
| 6 | 5 | anbi1i 624 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ 𝜑)) |
| 7 | | anass 468 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ 𝜑) ↔ (𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
| 8 | | an32 646 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
| 9 | 6, 7, 8 | 3bitr3i 301 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
| 10 | 9 | exbii 1848 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑤(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑤((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
| 11 | | opex 5469 |
. . . . . . . . 9
⊢
〈𝑥, 𝑦〉 ∈ V |
| 12 | 11 | isseti 3498 |
. . . . . . . 8
⊢
∃𝑤 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 |
| 13 | | 19.42v 1953 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑤((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ ((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑤 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉)) |
| 14 | 12, 13 | mpbiran2 710 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑤((𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ∧ 𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉) ↔ (𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)) |
| 15 | 10, 14 | bitri 275 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑤(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)) |
| 16 | 15 | 3exbii 1850 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)) |
| 17 | 2, 16 | bitri 275 |
. . . 4
⊢
(∃𝑧∃𝑤∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)) |
| 18 | | 19.42vv 1957 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
| 19 | 18 | 2exbii 1849 |
. . . 4
⊢
(∃𝑤∃𝑧∃𝑥∃𝑦(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ (𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
| 20 | 1, 17, 19 | 3bitr3i 301 |
. . 3
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))) |
| 21 | 20 | abbii 2809 |
. 2
⊢ {𝑣 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)} = {𝑣 ∣ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))} |
| 22 | | df-oprab 7435 |
. 2
⊢
{〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑} = {𝑣 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑣 = 〈〈𝑥, 𝑦〉, 𝑧〉 ∧ 𝜑)} |
| 23 | | df-opab 5206 |
. 2
⊢
{〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} = {𝑣 ∣ ∃𝑤∃𝑧(𝑣 = 〈𝑤, 𝑧〉 ∧ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑))} |
| 24 | 21, 22, 23 | 3eqtr4i 2775 |
1
⊢
{〈〈𝑥,
𝑦〉, 𝑧〉 ∣ 𝜑} = {〈𝑤, 𝑧〉 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑤 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} |