Theorem fovcdm 7587

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fovcdm	⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5696	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆))
2		df-ov 7419	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
3		ffvelcdm 7077	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝐶)
4	2, 3	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
6	5	3impb 1132	1 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419

This theorem is used by:  fovcdmda  7588  fovcdmd  7589  ovmpoelrn  8074  curry1f  8106  curry2f  8108  mapxpen  9144  axdc4lem  10460  axdc4uzlem  14049  imasmnd2  18883  grpsubcl  19144  imasgrp2  19179  imasring  20472  matunitlindflem1  22902  tsmsxplem1  24380  psmetcl  24534  xmetcl  24558  metcl  24559  blssm  24645  mbfi1fseqlem3  25946  mbfi1fseqlem4  25947  mbfi1fseqlem5  25948  grpocl  30967  grpodivcl  31006  vccl  31030  nvmcl  31113  cvmliftphtlem  35883  isbnd3  38521  clmgmOLD  38588  rngocl  38638  isdrngo2  38695