MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fovcdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fovcdm 7564
Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fovcdm ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdm
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5709 . . 3 ((𝐴𝑅𝐵𝑆) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆))
2 df-ov 7399 . . . 4 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
3 ffvelcdm 7071 . . . 4 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝐶)
42, 3eqeltrid 2838 . . 3 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑅 × 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
51, 4sylan2 594 . 2 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ (𝐴𝑅𝐵𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
653impb 1116 1 ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶𝐴𝑅𝐵𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  cop 4630   × cxp 5670  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-fv 6543  df-ov 7399
This theorem is referenced by:  fovcdmda  7565  fovcdmd  7566  ovmpoelrn  8045  curry1f  8079  curry2f  8081  mapxpen  9131  axdc4lem  10437  axdc4uzlem  13935  imasmnd2  18649  grpsubcl  18890  imasgrp2  18925  imasring  20122  tsmsxplem1  23626  psmetcl  23782  xmetcl  23806  metcl  23807  blssm  23893  mbfi1fseqlem3  25204  mbfi1fseqlem4  25205  mbfi1fseqlem5  25206  grpocl  29718  grpodivcl  29757  vccl  29781  nvmcl  29864  cvmliftphtlem  34239  matunitlindflem1  36389  isbnd3  36558  clmgmOLD  36625  rngocl  36675  isdrngo2  36732
  Copyright terms: Public domain W3C validator