Theorem fmpo 8083

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpox 8082	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 5724	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 6706	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 278	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {csn 4584  ∪ ciun 4950   × cxp 5649  ⟶wf 6539   ∈ cmpo 7426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006

This theorem is used by:  fnmpo  8084  fmpodg  8087  ovmpoelrn  8089  fmpoco  8111  eroprf  8843  uncf  8898  omxpenlem  9104  mapxpen  9169  dffi3  9430  ixpiunwdom  9591  cantnfvalf  9673  iunfictbso  10200  axdc4lem  10540  axcclem  10542  addpqf  11036  mulpqf  11038  subf  11566  xaddf  13361  xmulf  13409  ixxf  13493  ioof  13585  fzf  13650  fzof  13797  axdc4uzlem  14133  sadcf  16632  smupf  16657  gcdf  16693  eucalgf  16767  vdwapf  17159  prdsplusg  17638  prdsmulr  17639  prdsvsca  17640  prdshom  17647  imasvscaf  17720  xpsff1o  17748  wunnat  18143  catcoppccl  18301  catcfuccl  18302  catcxpccl  18390  evlfcl  18405  hofcl  18442  mgmplusf  18835  grpsubf  19238  subgga  19523  lactghmga  19628  sylow1lem2  19822  sylow3lem1  19850  lsmssv  19866  smndlsmidm  19879  efgmf  19936  efgtf  19945  frgpuptf  19993  lmodscaf  21168  xrsds  21725  phlipf  21967  evlslem2  22397  mamucl  22725  matbas2d  22747  mamumat1cl  22763  ordtbas2  23518  iccordt  23541  txuni2  23893  xkotf  23913  txbasval  23934  tx1stc  23978  xkococn  23988  cnmpt12  23995  cnmpt21  23999  cnmpt2t  24001  cnmpt22  24002  cnmptcom  24006  cnmpt2k  24016  txswaphmeo  24133  xpstopnlem1  24137  cnmpt2plusg  24416  cnmpt2vsca  24523  prdsdsf  24695  blfvalps  24711  blfps  24734  blf  24735  stdbdmet  24844  met2ndci  24850  dscmet  24900  xrsxmet  25138  cnmpt2ds  25172  cnmpopc  25258  iimulcn  25268  ishtpy  25302  reparphti  25327  cnmpt2ip  25578  bcthlem5  25658  rrxmet  25738  dyadf  25921  itg1addlem2  26027  mbfi1fseqlem1  26045  mbfi1fseqlem3  26047  mbfi1fseqlem4  26048  mbfi1fseqlem5  26049  cxpcn3  27085  sgmf  27481  subsf  28459  midf  29290  grpodivf  31149  nvmf  31256  ipf  31324  hvsubf  31626  ofoprabco  33309  suppovss  33325  elrgspnlem2  33854  fedgmullem1  34311  fedgmullem2  34312  fedgmul  34313  sitmf  35034  cvxsconn  36098  cvmlift2lem5  36162  mblfinlem1  38684  mblfinlem2  38685  sdclem1  38786  metf1o  38798  rrnval  38870  rrnmet  38872  aks6d1c3  43282  fmpocos  43396  resubf  43541  sn-subf  43589  evlselv  43726  frmx  44029  frmy  44030  ofoafg  44465  naddcnff  44473  mnringmulrcld  45335  icof  46340  rescofuf  50316