Theorem fmpo 7894

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpox 7893	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 5658	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 6588	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 274	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065  {csn 4566  ∪ ciun 4929   × cxp 5586  ⟶wf 6426   ∈ cmpo 7270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818

This theorem is referenced by:  fnmpo  7895  ovmpoelrn  7898  fmpoco  7919  eroprf  8578  omxpenlem  8829  mapxpen  8895  dffi3  9151  ixpiunwdom  9310  cantnfvalf  9384  iunfictbso  9854  axdc4lem  10195  axcclem  10197  addpqf  10684  mulpqf  10686  subf  11206  xaddf  12940  xmulf  12988  ixxf  13071  ioof  13161  fzf  13225  fzof  13366  axdc4uzlem  13684  sadcf  16141  smupf  16166  gcdf  16200  eucalgf  16269  vdwapf  16654  prdsplusg  17150  prdsmulr  17151  prdsvsca  17152  prdshom  17159  imasvscaf  17231  xpsff1o  17259  wunnat  17653  wunnatOLD  17654  catcoppccl  17813  catcoppcclOLD  17814  catcfuccl  17815  catcfucclOLD  17816  catcxpccl  17905  catcxpcclOLD  17906  evlfcl  17921  hofcl  17958  mgmplusf  18317  grpsubf  18635  subgga  18887  lactghmga  18994  sylow1lem2  19185  sylow3lem1  19213  lsmssv  19229  smndlsmidm  19242  lsmidmOLD  19250  efgmf  19300  efgtf  19309  frgpuptf  19357  lmodscaf  20126  xrsds  20622  phlipf  20838  evlslem2  21270  mamucl  21529  matbas2d  21553  mamumat1cl  21569  ordtbas2  22323  iccordt  22346  txuni2  22697  xkotf  22717  txbasval  22738  tx1stc  22782  xkococn  22792  cnmpt12  22799  cnmpt21  22803  cnmpt2t  22805  cnmpt22  22806  cnmptcom  22810  cnmpt2k  22820  txswaphmeo  22937  xpstopnlem1  22941  cnmpt2plusg  23220  cnmpt2vsca  23327  prdsdsf  23501  blfvalps  23517  blfps  23540  blf  23541  stdbdmet  23653  met2ndci  23659  dscmet  23709  xrsxmet  23953  cnmpt2ds  23987  cnmpopc  24072  iimulcn  24082  ishtpy  24116  reparphti  24141  cnmpt2ip  24393  bcthlem5  24473  rrxmet  24553  dyadf  24736  itg1addlem2  24842  mbfi1fseqlem1  24861  mbfi1fseqlem3  24863  mbfi1fseqlem4  24864  mbfi1fseqlem5  24865  cxpcn3  25882  sgmf  26275  midf  27118  grpodivf  28879  nvmf  28986  ipf  29054  hvsubf  29356  ofoprabco  30980  suppovss  30996  fedgmullem1  31689  fedgmullem2  31690  fedgmul  31691  sitmf  32298  cvxsconn  33184  cvmlift2lem5  33248  uncf  35735  mblfinlem1  35793  mblfinlem2  35794  sdclem1  35880  metf1o  35892  rrnval  35964  rrnmet  35966  resubf  40344  sn-subf  40390  frmx  40715  frmy  40716  mnringmulrcld  41799  icof  42712