Theorem fmpo 8072

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpox 8071	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 5732	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 6703	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 275	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  {csn 4606  ∪ ciun 4972   × cxp 5657  ⟶wf 6532   ∈ cmpo 7412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994

This theorem is referenced by:  fnmpo  8073  ovmpoelrn  8076  fmpoco  8099  eroprf  8834  omxpenlem  9092  mapxpen  9162  dffi3  9448  ixpiunwdom  9609  cantnfvalf  9684  iunfictbso  10133  axdc4lem  10474  axcclem  10476  addpqf  10963  mulpqf  10965  subf  11489  xaddf  13245  xmulf  13293  ixxf  13377  ioof  13469  fzf  13533  fzof  13678  axdc4uzlem  14006  sadcf  16477  smupf  16502  gcdf  16536  eucalgf  16607  vdwapf  16997  prdsplusg  17477  prdsmulr  17478  prdsvsca  17479  prdshom  17486  imasvscaf  17558  xpsff1o  17586  wunnat  17977  catcoppccl  18135  catcfuccl  18136  catcxpccl  18224  evlfcl  18239  hofcl  18276  mgmplusf  18633  grpsubf  19007  subgga  19288  lactghmga  19391  sylow1lem2  19585  sylow3lem1  19613  lsmssv  19629  smndlsmidm  19642  efgmf  19699  efgtf  19708  frgpuptf  19756  lmodscaf  20846  xrsds  21382  phlipf  21617  evlslem2  22042  mamucl  22344  matbas2d  22366  mamumat1cl  22382  ordtbas2  23134  iccordt  23157  txuni2  23508  xkotf  23528  txbasval  23549  tx1stc  23593  xkococn  23603  cnmpt12  23610  cnmpt21  23614  cnmpt2t  23616  cnmpt22  23617  cnmptcom  23621  cnmpt2k  23631  txswaphmeo  23748  xpstopnlem1  23752  cnmpt2plusg  24031  cnmpt2vsca  24138  prdsdsf  24311  blfvalps  24327  blfps  24350  blf  24351  stdbdmet  24460  met2ndci  24466  dscmet  24516  xrsxmet  24754  cnmpt2ds  24788  cnmpopc  24878  iimulcn  24890  iimulcnOLD  24891  ishtpy  24927  reparphti  24952  reparphtiOLD  24953  cnmpt2ip  25205  bcthlem5  25285  rrxmet  25365  dyadf  25549  itg1addlem2  25655  mbfi1fseqlem1  25673  mbfi1fseqlem3  25675  mbfi1fseqlem4  25676  mbfi1fseqlem5  25677  cxpcn3  26715  sgmf  27112  subsf  28025  midf  28760  grpodivf  30524  nvmf  30631  ipf  30699  hvsubf  31001  ofoprabco  32647  suppovss  32663  elrgspnlem2  33243  fedgmullem1  33674  fedgmullem2  33675  fedgmul  33676  sitmf  34389  cvxsconn  35270  cvmlift2lem5  35334  uncf  37628  mblfinlem1  37686  mblfinlem2  37687  sdclem1  37772  metf1o  37784  rrnval  37856  rrnmet  37858  aks6d1c3  42141  fmpocos  42252  resubf  42391  sn-subf  42438  evlselv  42577  frmx  42904  frmy  42905  ofoafg  43345  naddcnff  43353  mnringmulrcld  44219  icof  45210  fmpodg  48811  rescofuf  49023