Theorem fmpo 8092

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpox 8091	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 5761	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 6729	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 275	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {csn 4631  ∪ ciun 4996   × cxp 5687  ⟶wf 6559   ∈ cmpo 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014

This theorem is referenced by:  fnmpo  8093  ovmpoelrn  8096  fmpoco  8119  eroprf  8854  omxpenlem  9112  mapxpen  9182  dffi3  9469  ixpiunwdom  9628  cantnfvalf  9703  iunfictbso  10152  axdc4lem  10493  axcclem  10495  addpqf  10982  mulpqf  10984  subf  11508  xaddf  13263  xmulf  13311  ixxf  13394  ioof  13484  fzf  13548  fzof  13693  axdc4uzlem  14021  sadcf  16487  smupf  16512  gcdf  16546  eucalgf  16617  vdwapf  17006  prdsplusg  17505  prdsmulr  17506  prdsvsca  17507  prdshom  17514  imasvscaf  17586  xpsff1o  17614  wunnat  18011  wunnatOLD  18012  catcoppccl  18171  catcoppcclOLD  18172  catcfuccl  18173  catcfucclOLD  18174  catcxpccl  18263  catcxpcclOLD  18264  evlfcl  18279  hofcl  18316  mgmplusf  18676  grpsubf  19050  subgga  19331  lactghmga  19438  sylow1lem2  19632  sylow3lem1  19660  lsmssv  19676  smndlsmidm  19689  efgmf  19746  efgtf  19755  frgpuptf  19803  lmodscaf  20899  xrsds  21445  phlipf  21688  evlslem2  22121  mamucl  22421  matbas2d  22445  mamumat1cl  22461  ordtbas2  23215  iccordt  23238  txuni2  23589  xkotf  23609  txbasval  23630  tx1stc  23674  xkococn  23684  cnmpt12  23691  cnmpt21  23695  cnmpt2t  23697  cnmpt22  23698  cnmptcom  23702  cnmpt2k  23712  txswaphmeo  23829  xpstopnlem1  23833  cnmpt2plusg  24112  cnmpt2vsca  24219  prdsdsf  24393  blfvalps  24409  blfps  24432  blf  24433  stdbdmet  24545  met2ndci  24551  dscmet  24601  xrsxmet  24845  cnmpt2ds  24879  cnmpopc  24969  iimulcn  24981  iimulcnOLD  24982  ishtpy  25018  reparphti  25043  reparphtiOLD  25044  cnmpt2ip  25296  bcthlem5  25376  rrxmet  25456  dyadf  25640  itg1addlem2  25746  mbfi1fseqlem1  25765  mbfi1fseqlem3  25767  mbfi1fseqlem4  25768  mbfi1fseqlem5  25769  cxpcn3  26806  sgmf  27203  subsf  28109  midf  28799  grpodivf  30567  nvmf  30674  ipf  30742  hvsubf  31044  ofoprabco  32681  suppovss  32696  elrgspnlem2  33233  fedgmullem1  33657  fedgmullem2  33658  fedgmul  33659  sitmf  34334  cvxsconn  35228  cvmlift2lem5  35292  uncf  37586  mblfinlem1  37644  mblfinlem2  37645  sdclem1  37730  metf1o  37742  rrnval  37814  rrnmet  37816  aks6d1c3  42105  fmpocos  42254  resubf  42388  sn-subf  42435  evlselv  42574  frmx  42902  frmy  42903  ofoafg  43344  naddcnff  43352  mnringmulrcld  44224  icof  45162