Theorem fmpo 8109

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpox 8108	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 5772	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 6739	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 275	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {csn 4648  ∪ ciun 5015   × cxp 5698  ⟶wf 6569   ∈ cmpo 7450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031

This theorem is referenced by:  fnmpo  8110  ovmpoelrn  8113  fmpoco  8136  eroprf  8873  omxpenlem  9139  mapxpen  9209  dffi3  9500  ixpiunwdom  9659  cantnfvalf  9734  iunfictbso  10183  axdc4lem  10524  axcclem  10526  addpqf  11013  mulpqf  11015  subf  11538  xaddf  13286  xmulf  13334  ixxf  13417  ioof  13507  fzf  13571  fzof  13713  axdc4uzlem  14034  sadcf  16499  smupf  16524  gcdf  16558  eucalgf  16630  vdwapf  17019  prdsplusg  17518  prdsmulr  17519  prdsvsca  17520  prdshom  17527  imasvscaf  17599  xpsff1o  17627  wunnat  18024  wunnatOLD  18025  catcoppccl  18184  catcoppcclOLD  18185  catcfuccl  18186  catcfucclOLD  18187  catcxpccl  18276  catcxpcclOLD  18277  evlfcl  18292  hofcl  18329  mgmplusf  18688  grpsubf  19059  subgga  19340  lactghmga  19447  sylow1lem2  19641  sylow3lem1  19669  lsmssv  19685  smndlsmidm  19698  efgmf  19755  efgtf  19764  frgpuptf  19812  lmodscaf  20904  xrsds  21450  phlipf  21693  evlslem2  22126  mamucl  22426  matbas2d  22450  mamumat1cl  22466  ordtbas2  23220  iccordt  23243  txuni2  23594  xkotf  23614  txbasval  23635  tx1stc  23679  xkococn  23689  cnmpt12  23696  cnmpt21  23700  cnmpt2t  23702  cnmpt22  23703  cnmptcom  23707  cnmpt2k  23717  txswaphmeo  23834  xpstopnlem1  23838  cnmpt2plusg  24117  cnmpt2vsca  24224  prdsdsf  24398  blfvalps  24414  blfps  24437  blf  24438  stdbdmet  24550  met2ndci  24556  dscmet  24606  xrsxmet  24850  cnmpt2ds  24884  cnmpopc  24974  iimulcn  24986  iimulcnOLD  24987  ishtpy  25023  reparphti  25048  reparphtiOLD  25049  cnmpt2ip  25301  bcthlem5  25381  rrxmet  25461  dyadf  25645  itg1addlem2  25751  mbfi1fseqlem1  25770  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  cxpcn3  26809  sgmf  27206  subsf  28112  midf  28802  grpodivf  30570  nvmf  30677  ipf  30745  hvsubf  31047  ofoprabco  32682  suppovss  32697  fedgmullem1  33642  fedgmullem2  33643  fedgmul  33644  sitmf  34317  cvxsconn  35211  cvmlift2lem5  35275  uncf  37559  mblfinlem1  37617  mblfinlem2  37618  sdclem1  37703  metf1o  37715  rrnval  37787  rrnmet  37789  aks6d1c3  42080  fmpocos  42229  resubf  42357  sn-subf  42404  evlselv  42542  frmx  42870  frmy  42871  ofoafg  43316  naddcnff  43324  mnringmulrcld  44197  icof  45126