Theorem fmpo 8003

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpox 8002	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 5692	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 6644	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 275	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {csn 4577  ∪ ciun 4941   × cxp 5617  ⟶wf 6478   ∈ cmpo 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925

This theorem is referenced by:  fnmpo  8004  ovmpoelrn  8007  fmpoco  8028  eroprf  8742  omxpenlem  8995  mapxpen  9060  dffi3  9321  ixpiunwdom  9482  cantnfvalf  9561  iunfictbso  10008  axdc4lem  10349  axcclem  10351  addpqf  10838  mulpqf  10840  subf  11365  xaddf  13126  xmulf  13174  ixxf  13258  ioof  13350  fzf  13414  fzof  13559  axdc4uzlem  13890  sadcf  16364  smupf  16389  gcdf  16423  eucalgf  16494  vdwapf  16884  prdsplusg  17362  prdsmulr  17363  prdsvsca  17364  prdshom  17371  imasvscaf  17443  xpsff1o  17471  wunnat  17866  catcoppccl  18024  catcfuccl  18025  catcxpccl  18113  evlfcl  18128  hofcl  18165  mgmplusf  18524  grpsubf  18898  subgga  19179  lactghmga  19284  sylow1lem2  19478  sylow3lem1  19506  lsmssv  19522  smndlsmidm  19535  efgmf  19592  efgtf  19601  frgpuptf  19649  lmodscaf  20787  xrsds  21316  phlipf  21559  evlslem2  21984  mamucl  22286  matbas2d  22308  mamumat1cl  22324  ordtbas2  23076  iccordt  23099  txuni2  23450  xkotf  23470  txbasval  23491  tx1stc  23535  xkococn  23545  cnmpt12  23552  cnmpt21  23556  cnmpt2t  23558  cnmpt22  23559  cnmptcom  23563  cnmpt2k  23573  txswaphmeo  23690  xpstopnlem1  23694  cnmpt2plusg  23973  cnmpt2vsca  24080  prdsdsf  24253  blfvalps  24269  blfps  24292  blf  24293  stdbdmet  24402  met2ndci  24408  dscmet  24458  xrsxmet  24696  cnmpt2ds  24730  cnmpopc  24820  iimulcn  24832  iimulcnOLD  24833  ishtpy  24869  reparphti  24894  reparphtiOLD  24895  cnmpt2ip  25146  bcthlem5  25226  rrxmet  25306  dyadf  25490  itg1addlem2  25596  mbfi1fseqlem1  25614  mbfi1fseqlem3  25616  mbfi1fseqlem4  25617  mbfi1fseqlem5  25618  cxpcn3  26656  sgmf  27053  subsf  27975  midf  28725  grpodivf  30486  nvmf  30593  ipf  30661  hvsubf  30963  ofoprabco  32615  suppovss  32631  elrgspnlem2  33192  fedgmullem1  33612  fedgmullem2  33613  fedgmul  33614  sitmf  34336  cvxsconn  35236  cvmlift2lem5  35300  uncf  37599  mblfinlem1  37657  mblfinlem2  37658  sdclem1  37743  metf1o  37755  rrnval  37827  rrnmet  37829  aks6d1c3  42116  fmpocos  42227  resubf  42374  sn-subf  42422  evlselv  42580  frmx  42906  frmy  42907  ofoafg  43347  naddcnff  43355  mnringmulrcld  44221  icof  45217  fmpodg  48873  rescofuf  49098