Theorem fmpo 8000

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpox 7999	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷)
3		iunxpconst 5687	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
4	3	feq2i 6643	. 2 ⊢ (𝐹:∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)⟶𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)
5	2, 4	bitri 275	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝐷 ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {csn 4573  ∪ ciun 4939   × cxp 5612  ⟶wf 6477   ∈ cmpo 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922

This theorem is referenced by:  fnmpo  8001  ovmpoelrn  8004  fmpoco  8025  eroprf  8739  omxpenlem  8991  mapxpen  9056  dffi3  9315  ixpiunwdom  9476  cantnfvalf  9555  iunfictbso  10005  axdc4lem  10346  axcclem  10348  addpqf  10835  mulpqf  10837  subf  11362  xaddf  13123  xmulf  13171  ixxf  13255  ioof  13347  fzf  13411  fzof  13556  axdc4uzlem  13890  sadcf  16364  smupf  16389  gcdf  16423  eucalgf  16494  vdwapf  16884  prdsplusg  17362  prdsmulr  17363  prdsvsca  17364  prdshom  17371  imasvscaf  17443  xpsff1o  17471  wunnat  17866  catcoppccl  18024  catcfuccl  18025  catcxpccl  18113  evlfcl  18128  hofcl  18165  mgmplusf  18558  grpsubf  18932  subgga  19212  lactghmga  19317  sylow1lem2  19511  sylow3lem1  19539  lsmssv  19555  smndlsmidm  19568  efgmf  19625  efgtf  19634  frgpuptf  19682  lmodscaf  20817  xrsds  21346  phlipf  21589  evlslem2  22014  mamucl  22316  matbas2d  22338  mamumat1cl  22354  ordtbas2  23106  iccordt  23129  txuni2  23480  xkotf  23500  txbasval  23521  tx1stc  23565  xkococn  23575  cnmpt12  23582  cnmpt21  23586  cnmpt2t  23588  cnmpt22  23589  cnmptcom  23593  cnmpt2k  23603  txswaphmeo  23720  xpstopnlem1  23724  cnmpt2plusg  24003  cnmpt2vsca  24110  prdsdsf  24282  blfvalps  24298  blfps  24321  blf  24322  stdbdmet  24431  met2ndci  24437  dscmet  24487  xrsxmet  24725  cnmpt2ds  24759  cnmpopc  24849  iimulcn  24861  iimulcnOLD  24862  ishtpy  24898  reparphti  24923  reparphtiOLD  24924  cnmpt2ip  25175  bcthlem5  25255  rrxmet  25335  dyadf  25519  itg1addlem2  25625  mbfi1fseqlem1  25643  mbfi1fseqlem3  25645  mbfi1fseqlem4  25646  mbfi1fseqlem5  25647  cxpcn3  26685  sgmf  27082  subsf  28004  midf  28754  grpodivf  30518  nvmf  30625  ipf  30693  hvsubf  30995  ofoprabco  32646  suppovss  32662  elrgspnlem2  33210  fedgmullem1  33642  fedgmullem2  33643  fedgmul  33644  sitmf  34365  cvxsconn  35287  cvmlift2lem5  35351  uncf  37647  mblfinlem1  37705  mblfinlem2  37706  sdclem1  37791  metf1o  37803  rrnval  37875  rrnmet  37877  aks6d1c3  42164  fmpocos  42275  resubf  42422  sn-subf  42470  evlselv  42628  frmx  42954  frmy  42955  ofoafg  43395  naddcnff  43403  mnringmulrcld  44269  icof  45264  fmpodg  48908  rescofuf  49133