Theorem probnul 34925

Description: The probability of the empty event set is 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probnul	⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)

Proof of Theorem probnul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34921	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2		measvnul 34717	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → (𝑃‘∅) = 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  0cc0 11124  measurescmeas 34706  Probcprb 34918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-esum 34538  df-meas 34707  df-prob 34919

This theorem is used by:  probun  34930  cndprobnul  34948  dstrvprob  34983