Theorem probnul 34804

Description: The probability of the empty event set is 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
probnul	⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)

Proof of Theorem probnul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34800	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2		measvnul 34596	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → (𝑃‘∅) = 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  0cc0 11095  measurescmeas 34585  Probcprb 34797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-esum 34418  df-meas 34586  df-prob 34798

This theorem is referenced by:  probun  34809  cndprobnul  34827  dstrvprob  34862