Theorem prob01 32380

Description: A probability is an element of [ 0 , 1 ]. First axiom of Kolmogorov. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prob01	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem prob01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 32377	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2		measvxrge0 32173	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4		elxrge0 13189	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
5	3, 4	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
6	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
7		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
8		measbase 32165	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
9		unielsiga 32096	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
10	6, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
11		elssuni 4871	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑃 → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
12	11	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
13	6, 7, 10, 12	measssd 32183	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃))
14		probtot 32379	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
15	14	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
17	13, 16	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ 1)
18		df-3an 1088	. . 3 ⊢ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1) ↔ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
19	5, 17, 18	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
20		0xr 11022	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
21		1xr 11034	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		elicc1 13123	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1)))
23	20, 21, 22	mp2an 689	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
24	19, 23	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082  sigAlgebracsiga 32076  measurescmeas 32163  Probcprb 32374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-ac2 10219  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-ac 9872  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-ordt 17212  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-ps 18284  df-tsr 18285  df-plusf 18325  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-abv 20077  df-lmod 20125  df-scaf 20126  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-tmd 23223  df-tgp 23224  df-tsms 23278  df-trg 23311  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nrg 23741  df-nlm 23742  df-ii 24040  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-esum 31996  df-siga 32077  df-meas 32164  df-prob 32375

This theorem is referenced by:  probun  32386  probdif  32387  probvalrnd  32391  totprobd  32393  cndprobin  32401  cndprob01  32402  cndprobtot  32403  cndprobnul  32404  cndprobprob  32405  bayesth  32406  dstrvprob  32438  dstfrvclim1  32444