Theorem prob01 34411

Description: A probability is an element of [ 0 , 1 ]. First axiom of Kolmogorov. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prob01	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem prob01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34408	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2		measvxrge0 34202	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4		elxrge0 13425	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
5	3, 4	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
6	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
8		measbase 34194	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
9		unielsiga 34125	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
10	6, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
11		elssuni 4904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑃 → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
13	6, 7, 10, 12	measssd 34212	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃))
14		probtot 34410	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
15	14	breq2d 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
17	13, 16	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ 1)
18		df-3an 1088	. . 3 ⊢ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1) ↔ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
19	5, 17, 18	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
20		0xr 11228	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
21		1xr 11240	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		elicc1 13357	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1)))
23	20, 21, 22	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
24	19, 23	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216  [,]cicc 13316  sigAlgebracsiga 34105  measurescmeas 34192  Probcprb 34405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-ordt 17471  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-plusf 18573  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-abv 20725  df-lmod 20775  df-scaf 20776  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-tmd 23966  df-tgp 23967  df-tsms 24021  df-trg 24054  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-nm 24477  df-ngp 24478  df-nrg 24480  df-nlm 24481  df-ii 24777  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-esum 34025  df-siga 34106  df-meas 34193  df-prob 34406

This theorem is referenced by:  probun  34417  probdif  34418  probvalrnd  34422  totprobd  34424  cndprobin  34432  cndprob01  34433  cndprobtot  34434  cndprobnul  34435  cndprobprob  34436  bayesth  34437  dstrvprob  34470  dstfrvclim1  34476