Theorem prob01 34664

Description: A probability is an element of [ 0 , 1 ]. First axiom of Kolmogorov. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prob01	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem prob01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34661	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2		measvxrge0 34456	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sylan 588	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4		elxrge0 13451	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
5	3, 4	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
6	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
7		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
8		measbase 34448	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
9		unielsiga 34379	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
10	6, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
11		elssuni 4891	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑃 → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
12	11	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
13	6, 7, 10, 12	measssd 34466	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃))
14		probtot 34663	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
15	14	breq2d 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
16	15	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
17	13, 16	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ 1)
18		df-3an 1097	. . 3 ⊢ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1) ↔ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
19	5, 17, 18	sylanbrc 591	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
20		0xr 11219	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
21		1xr 11231	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		elicc1 13383	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1)))
23	20, 21, 22	mp2an 700	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
24	19, 23	sylibr 236	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4859   class class class wbr 5094  dom cdm 5640  ran crn 5641  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  0cc0 11063  1c1 11064  +∞cpnf 11203  ℝ^*cxr 11205   ≤ cle 11207  [,]cicc 13342  sigAlgebracsiga 34359  measurescmeas 34446  Probcprb 34658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-ac2 10410  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142  ax-mulf 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-disj 5062  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-dju 9849  df-card 9887  df-acn 9890  df-ac 10062  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ioc 13344  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14277  df-bc 14306  df-hash 14334  df-shft 15070  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-limsup 15474  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-ef 16073  df-sin 16075  df-cos 16076  df-pi 16078  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-ordt 17507  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-ps 18574  df-tsr 18575  df-plusf 18649  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mhm 18793  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-abv 20831  df-lmod 20902  df-scaf 20903  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-fbas 21394  df-fg 21395  df-cnfld 21398  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cld 23052  df-ntr 23053  df-cls 23054  df-nei 23131  df-lp 23169  df-perf 23170  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-haus 23348  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-fil 23879  df-fm 23971  df-flim 23972  df-flf 23973  df-tmd 24105  df-tgp 24106  df-tsms 24160  df-trg 24193  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-nm 24615  df-ngp 24616  df-nrg 24618  df-nlm 24619  df-ii 24912  df-cncf 24913  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26591  df-esum 34279  df-siga 34360  df-meas 34447  df-prob 34659

This theorem is referenced by:  probun  34670  probdif  34671  probvalrnd  34675  totprobd  34677  cndprobin  34685  cndprob01  34686  cndprobtot  34687  cndprobnul  34688  cndprobprob  34689  bayesth  34690  dstrvprob  34723  dstfrvclim1  34729