Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prob01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prob01 32786
Description: A probability is an element of [ 0 , 1 ]. First axiom of Kolmogorov. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
prob01 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem prob01
StepHypRef Expression
1 domprobmeas 32783 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
2 measvxrge0 32577 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
31, 2sylan 580 . . . 4 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
4 elxrge0 13302 . . . 4 ((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π΄)))
53, 4sylib 217 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π΄)))
61adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ 𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃))
7 simpr 485 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑃)
8 measbase 32569 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (measuresβ€˜dom 𝑃) β†’ dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
9 unielsiga 32500 . . . . . 6 (dom 𝑃 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
106, 8, 93syl 18 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ βˆͺ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
11 elssuni 4896 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑃 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑃)
1211adantl 482 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ dom 𝑃)
136, 7, 10, 12measssd 32587 . . . 4 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) ≀ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃))
14 probtot 32785 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob β†’ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) = 1)
1514breq2d 5115 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) ≀ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) ↔ (π‘ƒβ€˜π΄) ≀ 1))
1615adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) ≀ (π‘ƒβ€˜βˆͺ dom 𝑃) ↔ (π‘ƒβ€˜π΄) ≀ 1))
1713, 16mpbid 231 . . 3 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) ≀ 1)
18 df-3an 1089 . . 3 (((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π΄) ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ (((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π΄)) ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) ≀ 1))
195, 17, 18sylanbrc 583 . 2 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π΄) ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) ≀ 1))
20 0xr 11135 . . 3 0 ∈ ℝ*
21 1xr 11147 . . 3 1 ∈ ℝ*
22 elicc1 13236 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ (0[,]1) ↔ ((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π΄) ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) ≀ 1)))
2320, 21, 22mp2an 690 . 2 ((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ (0[,]1) ↔ ((π‘ƒβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π΄) ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) ≀ 1))
2419, 23sylibr 233 1 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3908  βˆͺ cuni 4863   class class class wbr 5103  dom cdm 5630  ran crn 5631  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  0cc0 10984  1c1 10985  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   ≀ cle 11123  [,]cicc 13195  sigAlgebracsiga 32480  measurescmeas 32567  Probcprb 32780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-ac2 10332  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063  ax-mulf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-supp 8060  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fsupp 9239  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-dju 9770  df-card 9808  df-acn 9811  df-ac 9985  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ioc 13197  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-mod 13703  df-seq 13835  df-exp 13896  df-fac 14101  df-bc 14130  df-hash 14158  df-shft 14885  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-limsup 15287  df-clim 15304  df-rlim 15305  df-sum 15505  df-ef 15884  df-sin 15886  df-cos 15887  df-pi 15889  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-starv 17082  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-unif 17090  df-hom 17091  df-cco 17092  df-rest 17238  df-topn 17239  df-0g 17257  df-gsum 17258  df-topgen 17259  df-pt 17260  df-prds 17263  df-ordt 17317  df-xrs 17318  df-qtop 17323  df-imas 17324  df-xps 17326  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-ps 18389  df-tsr 18390  df-plusf 18430  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-mhm 18535  df-submnd 18536  df-grp 18685  df-minusg 18686  df-sbg 18687  df-mulg 18806  df-subg 18857  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-abl 19494  df-mgp 19826  df-ur 19843  df-ring 19890  df-cring 19891  df-subrg 20143  df-abv 20199  df-lmod 20247  df-scaf 20248  df-sra 20556  df-rgmod 20557  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-fbas 20716  df-fg 20717  df-cnfld 20720  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-cld 22292  df-ntr 22293  df-cls 22294  df-nei 22371  df-lp 22409  df-perf 22410  df-cn 22500  df-cnp 22501  df-haus 22588  df-tx 22835  df-hmeo 23028  df-fil 23119  df-fm 23211  df-flim 23212  df-flf 23213  df-tmd 23345  df-tgp 23346  df-tsms 23400  df-trg 23433  df-xms 23595  df-ms 23596  df-tms 23597  df-nm 23860  df-ngp 23861  df-nrg 23863  df-nlm 23864  df-ii 24162  df-cncf 24163  df-limc 25152  df-dv 25153  df-log 25834  df-esum 32400  df-siga 32481  df-meas 32568  df-prob 32781
This theorem is referenced by:  probun  32792  probdif  32793  probvalrnd  32797  totprobd  32799  cndprobin  32807  cndprob01  32808  cndprobtot  32809  cndprobnul  32810  cndprobprob  32811  bayesth  32812  dstrvprob  32844  dstfrvclim1  32850
  Copyright terms: Public domain W3C validator