Theorem prob01 33698

Description: A probability is an element of [ 0 , 1 ]. First axiom of Kolmogorov. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prob01	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem prob01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 33695	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2		measvxrge0 33489	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4		elxrge0 13438	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
5	3, 4	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
6	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
7		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
8		measbase 33481	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
9		unielsiga 33412	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
10	6, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
11		elssuni 4941	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑃 → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
12	11	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
13	6, 7, 10, 12	measssd 33499	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃))
14		probtot 33697	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
15	14	breq2d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
17	13, 16	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ 1)
18		df-3an 1089	. . 3 ⊢ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1) ↔ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
19	5, 17, 18	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
20		0xr 11265	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
21		1xr 11277	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		elicc1 13372	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1)))
23	20, 21, 22	mp2an 690	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
24	19, 23	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   ≤ cle 11253  [,]cicc 13331  sigAlgebracsiga 33392  measurescmeas 33479  Probcprb 33692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-abv 20568  df-lmod 20616  df-scaf 20617  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tmd 23796  df-tgp 23797  df-tsms 23851  df-trg 23884  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-ii 24617  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289  df-esum 33312  df-siga 33393  df-meas 33480  df-prob 33693

This theorem is referenced by:  probun  33704  probdif  33705  probvalrnd  33709  totprobd  33711  cndprobin  33719  cndprob01  33720  cndprobtot  33721  cndprobnul  33722  cndprobprob  33723  bayesth  33724  dstrvprob  33756  dstfrvclim1  33762