Theorem prob01 34748

Description: A probability is an element of [ 0 , 1 ]. First axiom of Kolmogorov. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prob01	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem prob01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domprobmeas 34745	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
2		measvxrge0 34540	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
4		elxrge0 13484	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
5	3, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)))
6	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
7		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
8		measbase 34532	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
9		unielsiga 34463	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
10	6, 8, 9	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ∪ dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
11		elssuni 4906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑃 → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
12	11	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → 𝐴 ⊆ ∪ dom 𝑃)
13	6, 7, 10, 12	measssd 34550	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃))
14		probtot 34747	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
15	14	breq2d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
16	15	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ≤ (𝑃‘∪ dom 𝑃) ↔ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
17	13, 16	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ≤ 1)
18		df-3an 1103	. . 3 ⊢ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1) ↔ (((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴)) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
19	5, 17, 18	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
20		0xr 11256	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
21		1xr 11268	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
22		elicc1 13416	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1)))
23	20, 21, 22	mp2an 704	. 2 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑃‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘𝐴) ∧ (𝑃‘𝐴) ≤ 1))
24	19, 23	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111  dom cdm 5662  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  [,]cicc 13375  sigAlgebracsiga 34443  measurescmeas 34530  Probcprb 34742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-ac2 10447  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-ac 10100  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-ordt 17555  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-ps 18622  df-tsr 18623  df-plusf 18697  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-abv 20890  df-lmod 20961  df-scaf 20962  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-tmd 24198  df-tgp 24199  df-tsms 24253  df-trg 24286  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-nm 24708  df-ngp 24709  df-nrg 24711  df-nlm 24712  df-ii 25005  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-esum 34363  df-siga 34444  df-meas 34531  df-prob 34743

This theorem is referenced by:  probun  34754  probdif  34755  probvalrnd  34759  totprobd  34761  cndprobin  34769  cndprob01  34770  cndprobtot  34771  cndprobnul  34772  cndprobprob  34773  bayesth  34774  dstrvprob  34807  dstfrvclim1  34813