Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probun 33184
Description: The probability of the union two incompatible events is the sum of their probabilities. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
probun ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))

Proof of Theorem probun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1212 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑃 ∈ Prob)
2 simplr 767 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 = 𝐵)
3 simpr 485 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
4 disj3 4444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) = ∅ ↔ 𝐴 = (𝐴𝐵))
54biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) = ∅ → 𝐴 = (𝐴𝐵))
6 difeq1 4106 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = (𝐵𝐵))
7 difid 4361 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐵) = ∅
86, 7eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = ∅)
95, 8sylan9eqr 2793 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 = ∅)
10 eqtr2 2755 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = 𝐵𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
119, 10syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 = ∅)
129, 11uneq12d 4155 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ ∅))
13 unidm 4143 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
1412, 13eqtrdi 2787 . . . . . . 7 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
1514fveq2d 6877 . . . . . 6 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = (𝑃‘∅))
16 probnul 33179 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
1715, 16sylan9eqr 2793 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = 0)
189fveq2d 6877 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐴) = (𝑃‘∅))
1918, 16sylan9eqr 2793 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃𝐴) = 0)
2011fveq2d 6877 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐵) = (𝑃‘∅))
2120, 16sylan9eqr 2793 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃𝐵) = 0)
2219, 21oveq12d 7406 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)) = (0 + 0))
23 00id 11366 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2422, 23eqtrdi 2787 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)) = 0)
2517, 24eqtr4d 2774 . . . 4 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
261, 2, 3, 25syl12anc 835 . . 3 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
2726ex 413 . 2 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))
28 3anass 1095 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃)))
2928anbi1i 624 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃)) ∧ 𝐴𝐵))
30 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃)) ∧ 𝐴𝐵))
3129, 30bitr4i 277 . . . . 5 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵))
32 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑃 ∈ Prob)
33 prssi 4812 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
34333ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
3534adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
36 prex 5420 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3736elpw 4595 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 dom 𝑃 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
3835, 37sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 dom 𝑃)
39 prct 31756 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
40393ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4140adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
42 simp2l 1199 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
43 simp2r 1200 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
44 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
45 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
46 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
4745, 46disjprg 5132 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
4842, 43, 44, 47syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
4948biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
50 probcun 33183 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ ({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥))
5132, 38, 41, 49, 50syl112anc 1374 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥))
52 uniprg 4913 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
5352fveq2d 6877 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = (𝑃‘(𝐴𝐵)))
54533ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = (𝑃‘(𝐴𝐵)))
55 fveq2 6873 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐴))
5655adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐴))
57 fveq2 6873 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐵))
5857adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐵))
59 unitssxrge0 32646 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)
60 simp1 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ Prob)
61 prob01 33178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]1))
6260, 42, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]1))
6359, 62sselid 3971 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]+∞))
64 prob01 33178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]1))
6560, 43, 64syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]1))
6659, 65sselid 3971 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞))
6756, 58, 42, 43, 63, 66, 44esumpr 32830 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)))
6854, 67eqeq12d 2747 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥) ↔ (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵))))
6968adantr 481 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥) ↔ (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵))))
7051, 69mpbid 231 . . . . 5 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)))
7131, 70sylanb 581 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)))
72 unitssre 13453 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℝ
73 simpll1 1212 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑃 ∈ Prob)
74 simpll2 1213 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
7573, 74, 61syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]1))
7672, 75sselid 3971 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐴) ∈ ℝ)
77 simpll3 1214 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
7873, 77, 64syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]1))
7972, 78sselid 3971 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐵) ∈ ℝ)
80 rexadd 13188 . . . . 5 (((𝑃𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
8176, 79, 80syl2anc 584 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
8271, 81eqtrd 2771 . . 3 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
8382ex 413 . 2 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))
8427, 83pm2.61dane 3028 1 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  cdif 3936  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4313  𝒫 cpw 4591  {cpr 4619   cuni 4896  Disj wdisj 5101   class class class wbr 5136  dom cdm 5664  cfv 6527  (class class class)co 7388  ωcom 7833  cdom 8915  cr 11086  0cc0 11087  1c1 11088   + caddc 11090  +∞cpnf 11222   +𝑒 cxad 13067  [,]cicc 13304  Σ*cesum 32791  Probcprb 33172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5273  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703  ax-inf2 9613  ax-ac2 10435  ax-cnex 11143  ax-resscn 11144  ax-1cn 11145  ax-icn 11146  ax-addcl 11147  ax-addrcl 11148  ax-mulcl 11149  ax-mulrcl 11150  ax-mulcom 11151  ax-addass 11152  ax-mulass 11153  ax-distr 11154  ax-i2m1 11155  ax-1ne0 11156  ax-1rid 11157  ax-rnegex 11158  ax-rrecex 11159  ax-cnre 11160  ax-pre-lttri 11161  ax-pre-lttrn 11162  ax-pre-ltadd 11163  ax-pre-mulgt0 11164  ax-pre-sup 11165  ax-addf 11166  ax-mulf 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3429  df-v 3471  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-tp 4622  df-op 4624  df-uni 4897  df-int 4939  df-iun 4987  df-iin 4988  df-disj 5102  df-br 5137  df-opab 5199  df-mpt 5220  df-tr 5254  df-id 5562  df-eprel 5568  df-po 5576  df-so 5577  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6284  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7344  df-ov 7391  df-oprab 7392  df-mpo 7393  df-of 7648  df-om 7834  df-1st 7952  df-2nd 7953  df-supp 8124  df-frecs 8243  df-wrecs 8274  df-recs 8348  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-er 8681  df-map 8800  df-pm 8801  df-ixp 8870  df-en 8918  df-dom 8919  df-sdom 8920  df-fin 8921  df-fsupp 9340  df-fi 9383  df-sup 9414  df-inf 9415  df-oi 9482  df-dju 9873  df-card 9911  df-acn 9914  df-ac 10088  df-pnf 11227  df-mnf 11228  df-xr 11229  df-ltxr 11230  df-le 11231  df-sub 11423  df-neg 11424  df-div 11849  df-nn 12190  df-2 12252  df-3 12253  df-4 12254  df-5 12255  df-6 12256  df-7 12257  df-8 12258  df-9 12259  df-n0 12450  df-z 12536  df-dec 12655  df-uz 12800  df-q 12910  df-rp 12952  df-xneg 13069  df-xadd 13070  df-xmul 13071  df-ioo 13305  df-ioc 13306  df-ico 13307  df-icc 13308  df-fz 13462  df-fzo 13605  df-fl 13734  df-mod 13812  df-seq 13944  df-exp 14005  df-fac 14211  df-bc 14240  df-hash 14268  df-shft 14991  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15610  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17057  df-sets 17074  df-slot 17092  df-ndx 17104  df-base 17122  df-ress 17151  df-plusg 17187  df-mulr 17188  df-starv 17189  df-sca 17190  df-vsca 17191  df-ip 17192  df-tset 17193  df-ple 17194  df-ds 17196  df-unif 17197  df-hom 17198  df-cco 17199  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-ordt 17424  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-ps 18496  df-tsr 18497  df-plusf 18537  df-mgm 18538  df-sgrp 18587  df-mnd 18598  df-mhm 18642  df-submnd 18643  df-grp 18792  df-minusg 18793  df-sbg 18794  df-mulg 18918  df-subg 18970  df-cntz 19142  df-cmn 19609  df-abl 19610  df-mgp 19942  df-ur 19959  df-ring 20011  df-cring 20012  df-subrg 20303  df-abv 20367  df-lmod 20415  df-scaf 20416  df-sra 20727  df-rgmod 20728  df-psmet 20863  df-xmet 20864  df-met 20865  df-bl 20866  df-mopn 20867  df-fbas 20868  df-fg 20869  df-cnfld 20872  df-top 22318  df-topon 22335  df-topsp 22357  df-bases 22371  df-cld 22445  df-ntr 22446  df-cls 22447  df-nei 22524  df-lp 22562  df-perf 22563  df-cn 22653  df-cnp 22654  df-haus 22741  df-tx 22988  df-hmeo 23181  df-fil 23272  df-fm 23364  df-flim 23365  df-flf 23366  df-tmd 23498  df-tgp 23499  df-tsms 23553  df-trg 23586  df-xms 23748  df-ms 23749  df-tms 23750  df-nm 24013  df-ngp 24014  df-nrg 24016  df-nlm 24017  df-ii 24315  df-cncf 24316  df-limc 25305  df-dv 25306  df-log 25987  df-esum 32792  df-siga 32873  df-meas 32960  df-prob 33173
This theorem is referenced by:  probdif  33185
  Copyright terms: Public domain W3C validator