Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probun 30803
Description: The probability of the union two incompatible events is the sum of their probabilities. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
probun ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))

Proof of Theorem probun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1262 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑃 ∈ Prob)
2 simplr 776 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 = 𝐵)
3 simpr 473 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
4 disj3 4215 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) = ∅ ↔ 𝐴 = (𝐴𝐵))
54biimpi 207 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) = ∅ → 𝐴 = (𝐴𝐵))
6 difeq1 3917 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = (𝐵𝐵))
7 difid 4146 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐵) = ∅
86, 7syl6eq 2855 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = ∅)
95, 8sylan9eqr 2861 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 = ∅)
10 eqtr2 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = 𝐵𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
119, 10syldan 581 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 = ∅)
129, 11uneq12d 3964 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ ∅))
13 unidm 3952 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
1412, 13syl6eq 2855 . . . . . . 7 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
1514fveq2d 6409 . . . . . 6 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = (𝑃‘∅))
16 probnul 30798 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
1715, 16sylan9eqr 2861 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = 0)
189fveq2d 6409 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐴) = (𝑃‘∅))
1918, 16sylan9eqr 2861 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃𝐴) = 0)
2011fveq2d 6409 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐵) = (𝑃‘∅))
2120, 16sylan9eqr 2861 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃𝐵) = 0)
2219, 21oveq12d 6889 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)) = (0 + 0))
23 00id 10493 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2422, 23syl6eq 2855 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)) = 0)
2517, 24eqtr4d 2842 . . . 4 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
261, 2, 3, 25syl12anc 856 . . 3 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
2726ex 399 . 2 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))
28 3anass 1109 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃)))
2928anbi1i 612 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃)) ∧ 𝐴𝐵))
30 df-3an 1102 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃)) ∧ 𝐴𝐵))
3129, 30bitr4i 269 . . . . 5 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵))
32 simpl1 1235 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑃 ∈ Prob)
33 prssi 4539 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
34333ad2ant2 1157 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
3534adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
36 prex 5096 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3736elpw 4354 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 dom 𝑃 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
3835, 37sylibr 225 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 dom 𝑃)
39 prct 29816 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
40393ad2ant2 1157 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4140adantr 468 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
42 simp2l 1249 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
43 simp2r 1250 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
44 simp3 1161 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
45 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
46 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
4745, 46disjprg 4836 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
4842, 43, 44, 47syl3anc 1483 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
4948biimpar 465 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
50 probcun 30802 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ ({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥))
5132, 38, 41, 49, 50syl112anc 1486 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥))
52 uniprg 4640 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
5352fveq2d 6409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = (𝑃‘(𝐴𝐵)))
54533ad2ant2 1157 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = (𝑃‘(𝐴𝐵)))
55 fveq2 6405 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐴))
5655adantl 469 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐴))
57 fveq2 6405 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐵))
5857adantl 469 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐵))
59 unitssxrge0 30268 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)
60 simp1 1159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ Prob)
61 prob01 30797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]1))
6260, 42, 61syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]1))
6359, 62sseldi 3793 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]+∞))
64 prob01 30797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]1))
6560, 43, 64syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]1))
6659, 65sseldi 3793 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞))
6756, 58, 42, 43, 63, 66, 44esumpr 30450 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)))
6854, 67eqeq12d 2820 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥) ↔ (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵))))
6968adantr 468 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥) ↔ (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵))))
7051, 69mpbid 223 . . . . 5 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)))
7131, 70sylanb 572 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)))
72 unitssre 12538 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℝ
73 simpll1 1262 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑃 ∈ Prob)
74 simpll2 1264 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
7573, 74, 61syl2anc 575 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]1))
7672, 75sseldi 3793 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐴) ∈ ℝ)
77 simpll3 1266 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
7873, 77, 64syl2anc 575 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]1))
7972, 78sseldi 3793 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐵) ∈ ℝ)
80 rexadd 12277 . . . . 5 (((𝑃𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
8176, 79, 80syl2anc 575 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
8271, 81eqtrd 2839 . . 3 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
8382ex 399 . 2 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))
8427, 83pm2.61dane 3064 1 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2158  wne 2977  cdif 3763  cun 3764  cin 3765  wss 3766  c0 4113  𝒫 cpw 4348  {cpr 4369   cuni 4626  Disj wdisj 4808   class class class wbr 4840  dom cdm 5308  cfv 6098  (class class class)co 6871  ωcom 7292  cdom 8187  cr 10217  0cc0 10218  1c1 10219   + caddc 10221  +∞cpnf 10353   +𝑒 cxad 12156  [,]cicc 12392  Σ*cesum 30411  Probcprb 30791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782  ax-ac2 9567  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-pre-sup 10296  ax-addf 10297  ax-mulf 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-disj 4809  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-se 5268  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-isom 6107  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-of 7124  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-supp 7527  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-1o 7793  df-2o 7794  df-oadd 7797  df-er 7976  df-map 8091  df-pm 8092  df-ixp 8143  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-fin 8193  df-fsupp 8512  df-fi 8553  df-sup 8584  df-inf 8585  df-oi 8651  df-card 9045  df-acn 9048  df-ac 9219  df-cda 9272  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15014  df-sin 15016  df-cos 15017  df-pi 15019  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-ordt 16362  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-plusf 17442  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17789  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-abl 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-subrg 18978  df-abv 19017  df-lmod 19065  df-scaf 19066  df-sra 19377  df-rgmod 19378  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-lp 21150  df-perf 21151  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-tmd 22085  df-tgp 22086  df-tsms 22139  df-trg 22172  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-nm 22596  df-ngp 22597  df-nrg 22599  df-nlm 22600  df-ii 22889  df-cncf 22890  df-limc 23840  df-dv 23841  df-log 24513  df-esum 30412  df-siga 30493  df-meas 30581  df-prob 30792
This theorem is referenced by:  probdif  30804
  Copyright terms: Public domain W3C validator