Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probun 31356
Description: The probability of the union two incompatible events is the sum of their probabilities. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
probun ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))

Proof of Theorem probun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1193 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑃 ∈ Prob)
2 simplr 757 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 = 𝐵)
3 simpr 477 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
4 disj3 4281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) = ∅ ↔ 𝐴 = (𝐴𝐵))
54biimpi 208 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵) = ∅ → 𝐴 = (𝐴𝐵))
6 difeq1 3977 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = (𝐵𝐵))
7 difid 4211 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐵) = ∅
86, 7syl6eq 2825 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐵) = ∅)
95, 8sylan9eqr 2831 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 = ∅)
10 eqtr2 2795 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = 𝐵𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
119, 10syldan 583 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 = ∅)
129, 11uneq12d 4024 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ ∅))
13 unidm 4012 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
1412, 13syl6eq 2825 . . . . . . 7 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
1514fveq2d 6501 . . . . . 6 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = (𝑃‘∅))
16 probnul 31351 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
1715, 16sylan9eqr 2831 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = 0)
189fveq2d 6501 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐴) = (𝑃‘∅))
1918, 16sylan9eqr 2831 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃𝐴) = 0)
2011fveq2d 6501 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐵) = (𝑃‘∅))
2120, 16sylan9eqr 2831 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃𝐵) = 0)
2219, 21oveq12d 6993 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)) = (0 + 0))
23 00id 10614 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2422, 23syl6eq 2825 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)) = 0)
2517, 24eqtr4d 2812 . . . 4 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝐴𝐵) = ∅)) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
261, 2, 3, 25syl12anc 825 . . 3 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
2726ex 405 . 2 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))
28 3anass 1077 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ↔ (𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃)))
2928anbi1i 615 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃)) ∧ 𝐴𝐵))
30 df-3an 1071 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃)) ∧ 𝐴𝐵))
3129, 30bitr4i 270 . . . . 5 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵))
32 simpl1 1172 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑃 ∈ Prob)
33 prssi 4625 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
34333ad2ant2 1115 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
3534adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
36 prex 5186 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3736elpw 4423 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 dom 𝑃 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝑃)
3835, 37sylibr 226 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 dom 𝑃)
39 prct 30227 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
40393ad2ant2 1115 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4140adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
42 simp2l 1180 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
43 simp2r 1181 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
44 simp3 1119 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
45 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
46 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
4745, 46disjprg 4922 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
4842, 43, 44, 47syl3anc 1352 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
4948biimpar 470 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)
50 probcun 31355 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 dom 𝑃 ∧ ({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥)) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥))
5132, 38, 41, 49, 50syl112anc 1355 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥))
52 uniprg 4723 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
5352fveq2d 6501 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = (𝑃‘(𝐴𝐵)))
54533ad2ant2 1115 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃 {𝐴, 𝐵}) = (𝑃‘(𝐴𝐵)))
55 fveq2 6497 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐴))
5655adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐴))
57 fveq2 6497 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐵))
5857adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑃𝑥) = (𝑃𝐵))
59 unitssxrge0 30820 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]+∞)
60 simp1 1117 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑃 ∈ Prob)
61 prob01 31350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]1))
6260, 42, 61syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]1))
6359, 62sseldi 3851 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]+∞))
64 prob01 31350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]1))
6560, 43, 64syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]1))
6659, 65sseldi 3851 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]+∞))
6756, 58, 42, 43, 63, 66, 44esumpr 31002 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)))
6854, 67eqeq12d 2788 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥) ↔ (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵))))
6968adantr 473 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑃 {𝐴, 𝐵}) = Σ*𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑃𝑥) ↔ (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵))))
7051, 69mpbid 224 . . . . 5 (((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)))
7131, 70sylanb 573 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)))
72 unitssre 12700 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℝ
73 simpll1 1193 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝑃 ∈ Prob)
74 simpll2 1194 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
7573, 74, 61syl2anc 576 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐴) ∈ (0[,]1))
7672, 75sseldi 3851 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐴) ∈ ℝ)
77 simpll3 1195 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ dom 𝑃)
7873, 77, 64syl2anc 576 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐵) ∈ (0[,]1))
7972, 78sseldi 3851 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃𝐵) ∈ ℝ)
80 rexadd 12441 . . . . 5 (((𝑃𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
8176, 79, 80syl2anc 576 . . . 4 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝑃𝐴) +𝑒 (𝑃𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
8271, 81eqtrd 2809 . . 3 ((((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵)))
8382ex 405 . 2 (((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))
8427, 83pm2.61dane 3050 1 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃𝐵 ∈ dom 𝑃) → ((𝐴𝐵) = ∅ → (𝑃‘(𝐴𝐵)) = ((𝑃𝐴) + (𝑃𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2962  cdif 3821  cun 3822  cin 3823  wss 3824  c0 4173  𝒫 cpw 4417  {cpr 4438   cuni 4709  Disj wdisj 4894   class class class wbr 4926  dom cdm 5404  cfv 6186  (class class class)co 6975  ωcom 7395  cdom 8303  cr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337  +∞cpnf 10470   +𝑒 cxad 12321  [,]cicc 12556  Σ*cesum 30963  Probcprb 31344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-ac2 9682  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412  ax-addf 10413  ax-mulf 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-disj 4895  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-ixp 8259  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-fi 8669  df-sup 8700  df-inf 8701  df-oi 8768  df-dju 9123  df-card 9161  df-acn 9164  df-ac 9335  df-cda 9387  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-q 12162  df-rp 12204  df-xneg 12323  df-xadd 12324  df-xmul 12325  df-ioo 12557  df-ioc 12558  df-ico 12559  df-icc 12560  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-fl 12976  df-mod 13052  df-seq 13184  df-exp 13244  df-fac 13448  df-bc 13477  df-hash 13505  df-shft 14286  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-limsup 14688  df-clim 14705  df-rlim 14706  df-sum 14903  df-ef 15280  df-sin 15282  df-cos 15283  df-pi 15285  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-starv 16435  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-ip 16438  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-unif 16443  df-hom 16444  df-cco 16445  df-rest 16551  df-topn 16552  df-0g 16570  df-gsum 16571  df-topgen 16572  df-pt 16573  df-prds 16576  df-ordt 16629  df-xrs 16630  df-qtop 16635  df-imas 16636  df-xps 16638  df-mre 16728  df-mrc 16729  df-acs 16731  df-ps 17681  df-tsr 17682  df-plusf 17722  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-mhm 17816  df-submnd 17817  df-grp 17907  df-minusg 17908  df-sbg 17909  df-mulg 18025  df-subg 18073  df-cntz 18231  df-cmn 18681  df-abl 18682  df-mgp 18976  df-ur 18988  df-ring 19035  df-cring 19036  df-subrg 19269  df-abv 19323  df-lmod 19371  df-scaf 19372  df-sra 19679  df-rgmod 19680  df-psmet 20255  df-xmet 20256  df-met 20257  df-bl 20258  df-mopn 20259  df-fbas 20260  df-fg 20261  df-cnfld 20264  df-top 21222  df-topon 21239  df-topsp 21261  df-bases 21274  df-cld 21347  df-ntr 21348  df-cls 21349  df-nei 21426  df-lp 21464  df-perf 21465  df-cn 21555  df-cnp 21556  df-haus 21643  df-tx 21890  df-hmeo 22083  df-fil 22174  df-fm 22266  df-flim 22267  df-flf 22268  df-tmd 22400  df-tgp 22401  df-tsms 22454  df-trg 22487  df-xms 22649  df-ms 22650  df-tms 22651  df-nm 22911  df-ngp 22912  df-nrg 22914  df-nlm 22915  df-ii 23204  df-cncf 23205  df-limc 24183  df-dv 24184  df-log 24857  df-esum 30964  df-siga 31045  df-meas 31133  df-prob 31345
This theorem is referenced by:  probdif  31357
  Copyright terms: Public domain W3C validator