Theorem dstrvprob 34862

Description: The distribution of a random variable is a probability law. (TODO: could be shortened using dstrvval 34861). (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
dstrvprob	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐷,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem dstrvprob

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
2		dstrvprob.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑃 ∈ Prob)
4		dstrvprob.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
5	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
7	3, 5, 6	orvcelel 34860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃)
8		prob01 34803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
9	3, 7, 8	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
10		elunitrn 13489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ*)
12		elunitge0 34289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
13		elxrge0 13479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
14	11, 12, 13	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
15	9, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	fmpt3d 7111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞))
17		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → 𝑎 = ∅)
18	17	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ∅))
19	18	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
20		brsigarn 34574	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
21		elrnsiga 34516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
22		0elsiga 34504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝔅ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
25	2, 4, 24	orvcelel 34860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) ∈ dom 𝑃)
26	2, 25	probvalrnd 34814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) ∈ ℝ)
27	1, 19, 24, 26	fvmptd 6997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
28	2, 4, 24	orvcelval 34859	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) = (◡𝑋 “ ∅))
29	28	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)))
30		ima0 6079	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 “ ∅) = ∅
31	30	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = (𝑃‘∅)
32		probnul 34804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
33	2, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
34	31, 33	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = 0)
35	27, 29, 34	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = 0)
36	2, 4	rrvvf 34834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
37	36	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
38	37	ffund 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Fun 𝑋)
39		unipreima 32988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝑋 → (◡𝑋 “ ∪ 𝑥) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
40	39	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝑋 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
41	38, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
42	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ Prob)
43		domprobmeas 34800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
45		nfv 1944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
46		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ≼ ω
47		nfdisj1 5090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎
48	46, 47	nfan 1929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
49	45, 48	nfan 1929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎))
50		simplll 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝜑)
51		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑥)
52		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
53		elelpwi 4572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
54	51, 52, 53	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
55	2, 4	rrvfinvima 34840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
56	55	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
57	50, 54, 56	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
58	57	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃))
59	49, 58	ralrimi 3263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
60		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ≼ ω)
61		simprr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
62		disjpreima 32929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
63	38, 61, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
64		measvuni 34604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
65	44, 59, 60, 63, 64	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
66	41, 65	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
67	4	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
68	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
69	20, 21	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
70		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
71		sigaclcu 34507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
72	69, 70, 60, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
73	42, 67, 68, 72	dstrvval 34861	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)))
74	1, 9	fvmpt2d 7003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
75	50, 54, 74	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
76	42	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑃 ∈ Prob)
77	67	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
78	76, 77, 54	orvcelval 34859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ 𝑎))
79	78	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
80	75, 79	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
81	80	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎))))
82	49, 81	ralrimi 3263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
83	49, 82	esumeq2d 34427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
84	66, 73, 83	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))
85	84	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
86	85	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
87		ismeas 34589	. . . . . 6 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))))
88	20, 21, 87	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))))
89	16, 35, 86, 88	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ))
90	1	dmeqd 5895	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
91	15	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
92		dmmptg 6243	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
93	91, 92	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
94	90, 93	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = 𝔅ℝ)
95	94	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (measures‘dom 𝐷) = (measures‘𝔅ℝ))
96	89, 95	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
97		measbasedom 34592	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ↔ 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
98	96, 97	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ∪ ran measures)
99	94	unieqd 4885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ∪ 𝔅ℝ)
100		unibrsiga 34576	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
101	99, 100	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ℝ)
102	101	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = (𝐷‘ℝ))
103		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → 𝑎 = ℝ)
104	103	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ))
105		baselsiga 34505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
106	20, 105	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
107	2, 4, 106	orvcelval 34859	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
108	107	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
109	104, 108	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ ℝ))
110	109	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)))
111		fimacnv 6728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
112	36, 111	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
113	112	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = (𝑃‘∪ dom 𝑃))
114		probtot 34802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
115	2, 114	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
116	113, 115	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
117	116	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
118	110, 117	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = 1)
119		1red 11204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
120	1, 118, 106, 119	fvmptd 6997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ℝ) = 1)
121	102, 120	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1)
122		elprob 34799	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Prob ↔ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ∧ (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1))
123	98, 121, 122	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  ∪ cuni 4872  ∪ ciun 4956  Disj wdisj 5076   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   E cep 5560  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858   ≼ cdom 8937  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   ≤ cle 11239  [,]cicc 13370  Σ^*cesum 34417  sigAlgebracsiga 34498  𝔅_ℝcbrsiga 34571  measurescmeas 34585  Probcprb 34797  rRndVarcrrv 34830  ∘_RV/𝑐corvc 34846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-ac2 10442  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-acn 9924  df-ac 10096  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-ordt 17550  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-ps 18617  df-tsr 18618  df-plusf 18692  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-abv 20912  df-lmod 20983  df-scaf 20984  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-tmd 24229  df-tgp 24230  df-tsms 24284  df-trg 24317  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-nm 24739  df-ngp 24740  df-nrg 24742  df-nlm 24743  df-ii 25036  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-log 26721  df-esum 34418  df-siga 34499  df-sigagen 34529  df-brsiga 34572  df-meas 34586  df-mbfm 34640  df-prob 34798  df-rrv 34831  df-orvc 34847

This theorem is referenced by: (None)