Theorem dstrvprob 34578

Description: The distribution of a random variable is a probability law. (TODO: could be shortened using dstrvval 34577). (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
dstrvprob	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐷,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem dstrvprob

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
2		dstrvprob.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑃 ∈ Prob)
4		dstrvprob.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
5	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
7	3, 5, 6	orvcelel 34576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃)
8		prob01 34519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
9	3, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
10		elunitrn 13381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ*)
12		elunitge0 34005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
13		elxrge0 13371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
14	11, 12, 13	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
15	9, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	fmpt3d 7059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞))
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → 𝑎 = ∅)
18	17	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ∅))
19	18	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
20		brsigarn 34290	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
21		elrnsiga 34232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
22		0elsiga 34220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝔅ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
25	2, 4, 24	orvcelel 34576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) ∈ dom 𝑃)
26	2, 25	probvalrnd 34530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) ∈ ℝ)
27	1, 19, 24, 26	fvmptd 6946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
28	2, 4, 24	orvcelval 34575	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) = (◡𝑋 “ ∅))
29	28	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)))
30		ima0 6034	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 “ ∅) = ∅
31	30	fveq2i 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = (𝑃‘∅)
32		probnul 34520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
33	2, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
34	31, 33	eqtrid 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = 0)
35	27, 29, 34	3eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = 0)
36	2, 4	rrvvf 34550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
38	37	ffund 6664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Fun 𝑋)
39		unipreima 32670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝑋 → (◡𝑋 “ ∪ 𝑥) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
40	39	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝑋 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
41	38, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
42	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ Prob)
43		domprobmeas 34516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
45		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
46		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ≼ ω
47		nfdisj1 5077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎
48	46, 47	nfan 1900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
49	45, 48	nfan 1900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎))
50		simplll 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝜑)
51		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑥)
52		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
53		elelpwi 4562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
54	51, 52, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
55	2, 4	rrvfinvima 34556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
56	55	r19.21bi 3226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
57	50, 54, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
58	57	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃))
59	49, 58	ralrimi 3232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
60		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ≼ ω)
61		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
62		disjpreima 32608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
63	38, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
64		measvuni 34320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
65	44, 59, 60, 63, 64	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
66	41, 65	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
67	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
68	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
69	20, 21	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
70		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
71		sigaclcu 34223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
72	69, 70, 60, 71	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
73	42, 67, 68, 72	dstrvval 34577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)))
74	1, 9	fvmpt2d 6952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
75	50, 54, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
76	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑃 ∈ Prob)
77	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
78	76, 77, 54	orvcelval 34575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ 𝑎))
79	78	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
80	75, 79	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
81	80	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎))))
82	49, 81	ralrimi 3232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
83	49, 82	esumeq2d 34143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
84	66, 73, 83	3eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))
85	84	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
86	85	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
87		ismeas 34305	. . . . . 6 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))))
88	20, 21, 87	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))))
89	16, 35, 86, 88	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ))
90	1	dmeqd 5852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
91	15	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
92		dmmptg 6198	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
93	91, 92	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
94	90, 93	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = 𝔅ℝ)
95	94	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (measures‘dom 𝐷) = (measures‘𝔅ℝ))
96	89, 95	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
97		measbasedom 34308	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ↔ 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
98	96, 97	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ∪ ran measures)
99	94	unieqd 4874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ∪ 𝔅ℝ)
100		unibrsiga 34292	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
101	99, 100	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ℝ)
102	101	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = (𝐷‘ℝ))
103		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → 𝑎 = ℝ)
104	103	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ))
105		baselsiga 34221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
106	20, 105	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
107	2, 4, 106	orvcelval 34575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
108	107	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
109	104, 108	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ ℝ))
110	109	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)))
111		fimacnv 6682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
112	36, 111	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
113	112	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = (𝑃‘∪ dom 𝑃))
114		probtot 34518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
115	2, 114	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
116	113, 115	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
117	116	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
118	110, 117	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = 1)
119		1red 11131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
120	1, 118, 106, 119	fvmptd 6946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ℝ) = 1)
121	102, 120	eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1)
122		elprob 34515	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Prob ↔ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ∧ (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1))
123	98, 121, 122	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4861  ∪ ciun 4944  Disj wdisj 5063   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177   E cep 5521  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623   “ cima 5625  Fun wfun 6484  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ωcom 7806   ≼ cdom 8879  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025  +∞cpnf 11161  ℝ^*cxr 11163   ≤ cle 11165  [,]cicc 13262  Σ^*cesum 34133  sigAlgebracsiga 34214  𝔅_ℝcbrsiga 34287  measurescmeas 34301  Probcprb 34513  rRndVarcrrv 34546  ∘_RV/𝑐corvc 34562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-ac2 10371  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-acn 9852  df-ac 10024  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-ordt 17420  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-plusf 18562  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-abv 20740  df-lmod 20811  df-scaf 20812  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-tmd 24014  df-tgp 24015  df-tsms 24069  df-trg 24102  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-nm 24524  df-ngp 24525  df-nrg 24527  df-nlm 24528  df-ii 24824  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-esum 34134  df-siga 34215  df-sigagen 34245  df-brsiga 34288  df-meas 34302  df-mbfm 34356  df-prob 34514  df-rrv 34547  df-orvc 34563

This theorem is referenced by: (None)