Theorem dstrvprob 35215

Description: The distribution of a random variable is a probability law. (TODO: could be shortened using dstrvval 35214). (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))

Assertion

Ref	Expression
dstrvprob	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐷,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem dstrvprob

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
2		dstrvprob.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
3	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑃 ∈ Prob)
4		dstrvprob.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
5	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
7	3, 5, 6	orvcelel 35213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃)
8		prob01 35156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
9	3, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
10		elunitrn 13638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ*)
12		elunitge0 34642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
13		elxrge0 13628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
14	11, 12, 13	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
15	9, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 15	fmpt3d 7148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞))
17		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → 𝑎 = ∅)
18	17	oveq2d 7467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ∅))
19	18	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ∅) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
20		brsigarn 34928	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
21		elrnsiga 34869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
22		0elsiga 34857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
23	20, 21, 22	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 𝔅ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝔅ℝ)
25	2, 4, 24	orvcelel 35213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) ∈ dom 𝑃)
26	2, 25	probvalrnd 35167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) ∈ ℝ)
27	1, 19, 24, 26	fvmptd 7032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)))
28	2, 4, 24	orvcelval 35212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ∅) = (◡𝑋 “ ∅))
29	28	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E ∅)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)))
30		ima0 6093	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑋 “ ∅) = ∅
31	30	fveq2i 6919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = (𝑃‘∅)
32		probnul 35157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
33	2, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
34	31, 33	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∅)) = 0)
35	27, 29, 34	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∅) = 0)
36	2, 4	rrvvf 35187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ)
38	37	ffund 6744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Fun 𝑋)
39		unipreima 33335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun 𝑋 → (◡𝑋 “ ∪ 𝑥) = ∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
40	39	fveq2d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun 𝑋 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
41	38, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)))
42	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ Prob)
43		domprobmeas 35153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
45		nfv 1949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
46		nfv 1949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ≼ ω
47		nfdisj1 5089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑎Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎
48	46, 47	nfan 1934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
49	45, 48	nfan 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎))
50		simplll 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝜑)
51		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝑥)
52		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
53		elelpwi 4570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
54	51, 52, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑎 ∈ 𝔅ℝ)
55	2, 4	rrvfinvima 35193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
56	55	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
57	50, 54, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
58	57	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃))
59	49, 58	ralrimi 3264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃)
60		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ≼ ω)
61		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)
62		disjpreima 33276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
63	38, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))
64		measvuni 34958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎))) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
65	44, 59, 60, 63, 64	syl112anc 1402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘∪ 𝑎 ∈ 𝑥 (◡𝑋 “ 𝑎)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
66	41, 65	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
67	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
68	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
69	20, 21	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
70		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ)
71		sigaclcu 34860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
72	69, 70, 60, 71	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝔅ℝ)
73	42, 67, 68, 72	dstrvval 35214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ∪ 𝑥)))
74	1, 9	fvmpt2d 7038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝔅ℝ) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
75	50, 54, 74	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)))
76	42	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑃 ∈ Prob)
77	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
78	76, 77, 54	orvcelval 35212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ 𝑎))
79	78	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
80	75, 79	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑥) → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
81	80	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝑎 ∈ 𝑥 → (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎))))
82	49, 81	ralrimi 3264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → ∀𝑎 ∈ 𝑥 (𝐷‘𝑎) = (𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
83	49, 82	esumeq2d 34780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝑃‘(◡𝑋 “ 𝑎)))
84	66, 73, 83	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎)) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))
85	84	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
86	85	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))
87		ismeas 34943	. . . . . 6 ⊢ (𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra → (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎)))))
88	20, 21, 87	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ) ↔ (𝐷:𝔅ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅ℝ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎 ∈ 𝑥 𝑎) → (𝐷‘∪ 𝑥) = Σ*𝑎 ∈ 𝑥(𝐷‘𝑎))))
89	16, 35, 86, 88	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘𝔅ℝ))
90	1	dmeqd 5899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))))
91	15	ralrimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
92		dmmptg 6262	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝔅ℝ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
93	91, 92	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑎 ∈ 𝔅ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅ℝ)
94	90, 93	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐷 = 𝔅ℝ)
95	94	fveq2d 6920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (measures‘dom 𝐷) = (measures‘𝔅ℝ))
96	89, 95	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
97		measbasedom 34946	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ↔ 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
98	96, 97	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ∪ ran measures)
99	94	unieqd 4885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ∪ 𝔅ℝ)
100		unibrsiga 34930	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
101	99, 100	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom 𝐷 = ℝ)
102	101	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = (𝐷‘ℝ))
103		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → 𝑎 = ℝ)
104	103	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ))
105		baselsiga 34858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
106	20, 105	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ 𝔅ℝ)
107	2, 4, 106	orvcelval 35212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
108	107	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E ℝ) = (◡𝑋 “ ℝ))
109	104, 108	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎) = (◡𝑋 “ ℝ))
110	109	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)))
111		fimacnv 6762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋:∪ dom 𝑃⟶ℝ → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
112	36, 111	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ ℝ) = ∪ dom 𝑃)
113	112	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = (𝑃‘∪ dom 𝑃))
114		probtot 35155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
115	2, 114	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘∪ dom 𝑃) = 1)
116	113, 115	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
117	116	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(◡𝑋 “ ℝ)) = 1)
118	110, 117	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋∘RV/𝑐 E 𝑎)) = 1)
119		1red 11348	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
120	1, 118, 106, 119	fvmptd 7032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ℝ) = 1)
121	102, 120	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1)
122		elprob 35152	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Prob ↔ (𝐷 ∈ ∪ ran measures ∧ (𝐷‘∪ dom 𝐷) = 1))
123	98, 121, 122	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Prob)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4872  ∪ ciun 4956  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   E cep 5557  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659   “ cima 5661  Fun wfun 6560  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ωcom 7911   ≼ cdom 9009  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519  Σ^*cesum 34770  sigAlgebracsiga 34851  𝔅_ℝcbrsiga 34925  measurescmeas 34939  Probcprb 35150  rRndVarcrrv 35183  ∘_RV/𝑐corvc 35199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-ordt 17723  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-ps 18790  df-tsr 18791  df-plusf 18865  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-abv 21117  df-lmod 21188  df-scaf 21189  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-tmd 24446  df-tgp 24447  df-tsms 24501  df-trg 24534  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-nm 24956  df-ngp 24957  df-nrg 24959  df-nlm 24960  df-ii 25253  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-esum 34771  df-siga 34852  df-sigagen 34883  df-brsiga 34926  df-meas 34940  df-mbfm 34994  df-prob 35151  df-rrv 35184  df-orvc 35200

This theorem is used by: (None)