Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstrvprob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstrvprob 31068
Description: The distribution of a random variable is a probability law. (TODO: could be shortened using dstrvval 31067) (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
Assertion
Ref Expression
dstrvprob (𝜑𝐷 ∈ Prob)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐷,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem dstrvprob
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
2 dstrvprob.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
32adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑃 ∈ Prob)
4 dstrvprob.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
54adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑎 ∈ 𝔅)
73, 5, 6orvcelel 31066 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃)
8 prob01 31010 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
93, 7, 8syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
10 elunitrn 30477 . . . . . . . . 9 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ)
1110rexrd 10406 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ*)
12 elunitge0 30479 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
13 elxrge0 12571 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
1411, 12, 13sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
159, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
161, 15fmpt3d 6635 . . . . 5 (𝜑𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞))
17 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 = ∅) → 𝑎 = ∅)
1817oveq2d 6921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 = ∅) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋RV/𝑐 E ∅))
1918fveq2d 6437 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ∅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)))
20 brsigarn 30781 . . . . . . . . 9 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
21 elrnsiga 30723 . . . . . . . . 9 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
22 0elsiga 30711 . . . . . . . . 9 (𝔅 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝔅)
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝔅
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ 𝔅)
252, 4, 24orvcelel 31066 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ∅) ∈ dom 𝑃)
262, 25probvalrnd 31021 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)) ∈ ℝ)
271, 19, 24, 26fvmptd 6535 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷‘∅) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)))
282, 4, 24orvcelval 31065 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ∅) = (𝑋 “ ∅))
2928fveq2d 6437 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)) = (𝑃‘(𝑋 “ ∅)))
30 ima0 5722 . . . . . . . 8 (𝑋 “ ∅) = ∅
3130fveq2i 6436 . . . . . . 7 (𝑃‘(𝑋 “ ∅)) = (𝑃‘∅)
32 probnul 31011 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
332, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
3431, 33syl5eq 2873 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ∅)) = 0)
3527, 29, 343eqtrd 2865 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘∅) = 0)
362, 4rrvvf 31041 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
3736ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
3837ffund 6282 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Fun 𝑋)
39 unipreima 29984 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑋 → (𝑋 𝑥) = 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
4039fveq2d 6437 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑋 → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)))
422ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ Prob)
43 domprobmeas 31007 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
45 nfv 2013 . . . . . . . . . . . 12 𝑎(𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
46 nfv 2013 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 𝑥 ≼ ω
47 nfdisj1 4854 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎Disj 𝑎𝑥 𝑎
4846, 47nfan 2002 . . . . . . . . . . . 12 𝑎(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)
4945, 48nfan 2002 . . . . . . . . . . 11 𝑎((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎))
50 simplll 791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝜑)
51 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎𝑥)
52 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
53 elelpwi 4391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) → 𝑎 ∈ 𝔅)
5451, 52, 53syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎 ∈ 𝔅)
552, 4rrvfinvima 31047 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5655r19.21bi 3141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5750, 54, 56syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5857ex 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑎𝑥 → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃))
5949, 58ralrimi 3166 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → ∀𝑎𝑥 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
60 simprl 787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ≼ ω)
61 simprr 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎𝑥 𝑎)
62 disjpreima 29933 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝑋Disj 𝑎𝑥 𝑎) → Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
6338, 61, 62syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
64 measvuni 30811 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ ∀𝑎𝑥 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))) → (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
6544, 59, 60, 63, 64syl112anc 1497 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
6641, 65eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
674ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
681ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
6920, 21mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝔅 ran sigAlgebra)
70 simplr 785 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
71 sigaclcu 30714 . . . . . . . . . 10 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ 𝔅)
7269, 70, 60, 71syl3anc 1494 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝔅)
7342, 67, 68, 72dstrvval 31067 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝐷 𝑥) = (𝑃‘(𝑋 𝑥)))
741, 9fvmpt2d 6540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
7550, 54, 74syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
7642adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑃 ∈ Prob)
7767adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7876, 77, 54orvcelval 31065 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋𝑎))
7978fveq2d 6437 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8075, 79eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8180ex 403 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑎𝑥 → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎))))
8249, 81ralrimi 3166 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → ∀𝑎𝑥 (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8349, 82esumeq2d 30633 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
8466, 73, 833eqtr4d 2871 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎))
8584ex 403 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))
8685ralrimiva 3175 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))
87 ismeas 30796 . . . . . 6 (𝔅 ran sigAlgebra → (𝐷 ∈ (measures‘𝔅) ↔ (𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))))
8820, 21, 87mp2b 10 . . . . 5 (𝐷 ∈ (measures‘𝔅) ↔ (𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎))))
8916, 35, 86, 88syl3anbrc 1447 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (measures‘𝔅))
901dmeqd 5558 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐷 = dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
9115ralrimiva 3175 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
92 dmmptg 5873 . . . . . . 7 (∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) → dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅)
9391, 92syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅)
9490, 93eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐷 = 𝔅)
9594fveq2d 6437 . . . 4 (𝜑 → (measures‘dom 𝐷) = (measures‘𝔅))
9689, 95eleqtrrd 2909 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
97 measbasedom 30799 . . 3 (𝐷 ran measures ↔ 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
9896, 97sylibr 226 . 2 (𝜑𝐷 ran measures)
9994unieqd 4668 . . . . 5 (𝜑 dom 𝐷 = 𝔅)
100 unibrsiga 30783 . . . . 5 𝔅 = ℝ
10199, 100syl6eq 2877 . . . 4 (𝜑 dom 𝐷 = ℝ)
102101fveq2d 6437 . . 3 (𝜑 → (𝐷 dom 𝐷) = (𝐷‘ℝ))
103 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 = ℝ) → 𝑎 = ℝ)
104103oveq2d 6921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋RV/𝑐 E ℝ))
105 baselsiga 30712 . . . . . . . . . 10 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → ℝ ∈ 𝔅)
10620, 105mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ 𝔅)
1072, 4, 106orvcelval 31065 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ℝ) = (𝑋 “ ℝ))
108107adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E ℝ) = (𝑋 “ ℝ))
109104, 108eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋 “ ℝ))
110109fveq2d 6437 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)))
111 fimacnv 6596 . . . . . . . . 9 (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ → (𝑋 “ ℝ) = dom 𝑃)
11236, 111syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 “ ℝ) = dom 𝑃)
113112fveq2d 6437 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = (𝑃 dom 𝑃))
114 probtot 31009 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
1152, 114syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
116113, 115eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = 1)
117116adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = 1)
118110, 117eqtrd 2861 . . . 4 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = 1)
119 1red 10357 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1201, 118, 106, 119fvmptd 6535 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘ℝ) = 1)
121102, 120eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → (𝐷 dom 𝐷) = 1)
122 elprob 31006 . 2 (𝐷 ∈ Prob ↔ (𝐷 ran measures ∧ (𝐷 dom 𝐷) = 1))
12398, 121, 122sylanbrc 578 1 (𝜑𝐷 ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  c0 4144  𝒫 cpw 4378   cuni 4658   ciun 4740  Disj wdisj 4841   class class class wbr 4873  cmpt 4952   E cep 5254  ccnv 5341  dom cdm 5342  ran crn 5343  cima 5345  Fun wfun 6117  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  ωcom 7326  cdom 8220  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253  +∞cpnf 10388  *cxr 10390  cle 10392  [,]cicc 12466  Σ*cesum 30623  sigAlgebracsiga 30704  𝔅cbrsiga 30778  measurescmeas 30792  Probcprb 31004  rRndVarcrrv 31037  RV/𝑐corvc 31052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-ac2 9600  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-ac 9252  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-ordt 16514  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-ps 17553  df-tsr 17554  df-plusf 17594  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-cring 18904  df-subrg 19134  df-abv 19173  df-lmod 19221  df-scaf 19222  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-tmd 22246  df-tgp 22247  df-tsms 22300  df-trg 22333  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-nm 22757  df-ngp 22758  df-nrg 22760  df-nlm 22761  df-ii 23050  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702  df-esum 30624  df-siga 30705  df-sigagen 30736  df-brsiga 30779  df-meas 30793  df-mbfm 30847  df-prob 31005  df-rrv 31038  df-orvc 31053
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator