Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstrvprob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstrvprob 34086
Description: The distribution of a random variable is a probability law. (TODO: could be shortened using dstrvval 34085). (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstrvprob.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstrvprob.3 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
Assertion
Ref Expression
dstrvprob (𝜑𝐷 ∈ Prob)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑎   𝑋,𝑎   𝐷,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem dstrvprob
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstrvprob.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
2 dstrvprob.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑃 ∈ Prob)
4 dstrvprob.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
54adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
6 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → 𝑎 ∈ 𝔅)
73, 5, 6orvcelel 34084 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃)
8 prob01 34028 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
93, 7, 8syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1))
10 elunitrn 13471 . . . . . . . . 9 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ)
1110rexrd 11289 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ*)
12 elunitge0 33495 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
13 elxrge0 13461 . . . . . . . 8 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
1411, 12, 13sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
159, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
161, 15fmpt3d 7121 . . . . 5 (𝜑𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞))
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 = ∅) → 𝑎 = ∅)
1817oveq2d 7431 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 = ∅) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋RV/𝑐 E ∅))
1918fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ∅) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)))
20 brsigarn 33798 . . . . . . . . 9 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
21 elrnsiga 33740 . . . . . . . . 9 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
22 0elsiga 33728 . . . . . . . . 9 (𝔅 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝔅)
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 𝔅
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ 𝔅)
252, 4, 24orvcelel 34084 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ∅) ∈ dom 𝑃)
262, 25probvalrnd 34039 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)) ∈ ℝ)
271, 19, 24, 26fvmptd 7007 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷‘∅) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)))
282, 4, 24orvcelval 34083 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ∅) = (𝑋 “ ∅))
2928fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E ∅)) = (𝑃‘(𝑋 “ ∅)))
30 ima0 6075 . . . . . . . 8 (𝑋 “ ∅) = ∅
3130fveq2i 6895 . . . . . . 7 (𝑃‘(𝑋 “ ∅)) = (𝑃‘∅)
32 probnul 34029 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
332, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘∅) = 0)
3431, 33eqtrid 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ∅)) = 0)
3527, 29, 343eqtrd 2772 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘∅) = 0)
362, 4rrvvf 34059 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
3837ffund 6721 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Fun 𝑋)
39 unipreima 32424 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑋 → (𝑋 𝑥) = 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
4039fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑋 → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)))
422ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ Prob)
43 domprobmeas 34025 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
45 nfv 1910 . . . . . . . . . . . 12 𝑎(𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
46 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 𝑥 ≼ ω
47 nfdisj1 5122 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎Disj 𝑎𝑥 𝑎
4846, 47nfan 1895 . . . . . . . . . . . 12 𝑎(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)
4945, 48nfan 1895 . . . . . . . . . . 11 𝑎((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎))
50 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝜑)
51 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎𝑥)
52 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
53 elelpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑥𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) → 𝑎 ∈ 𝔅)
5451, 52, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑎 ∈ 𝔅)
552, 4rrvfinvima 34065 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5655r19.21bi 3244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5750, 54, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
5857ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑎𝑥 → (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃))
5949, 58ralrimi 3250 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → ∀𝑎𝑥 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃)
60 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ≼ ω)
61 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎𝑥 𝑎)
62 disjpreima 32368 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝑋Disj 𝑎𝑥 𝑎) → Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
6338, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))
64 measvuni 33828 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) ∧ ∀𝑎𝑥 (𝑋𝑎) ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 (𝑋𝑎))) → (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
6544, 59, 60, 63, 64syl112anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃 𝑎𝑥 (𝑋𝑎)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
6641, 65eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑃‘(𝑋 𝑥)) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
674ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
681ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
6920, 21mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝔅 ran sigAlgebra)
70 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅)
71 sigaclcu 33731 . . . . . . . . . 10 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝔅𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ 𝔅)
7269, 70, 60, 71syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → 𝑥 ∈ 𝔅)
7342, 67, 68, 72dstrvval 34085 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝐷 𝑥) = (𝑃‘(𝑋 𝑥)))
741, 9fvmpt2d 7013 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎 ∈ 𝔅) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
7550, 54, 74syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)))
7642adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑃 ∈ Prob)
7767adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7876, 77, 54orvcelval 34083 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋𝑎))
7978fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8075, 79eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) ∧ 𝑎𝑥) → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8180ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝑎𝑥 → (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎))))
8249, 81ralrimi 3250 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → ∀𝑎𝑥 (𝐷𝑎) = (𝑃‘(𝑋𝑎)))
8349, 82esumeq2d 33651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎) = Σ*𝑎𝑥(𝑃‘(𝑋𝑎)))
8466, 73, 833eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎)) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎))
8584ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝔅) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))
8685ralrimiva 3142 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))
87 ismeas 33813 . . . . . 6 (𝔅 ran sigAlgebra → (𝐷 ∈ (measures‘𝔅) ↔ (𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎)))))
8820, 21, 87mp2b 10 . . . . 5 (𝐷 ∈ (measures‘𝔅) ↔ (𝐷:𝔅⟶(0[,]+∞) ∧ (𝐷‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝔅((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑎𝑥 𝑎) → (𝐷 𝑥) = Σ*𝑎𝑥(𝐷𝑎))))
8916, 35, 86, 88syl3anbrc 1341 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (measures‘𝔅))
901dmeqd 5903 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐷 = dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))))
9115ralrimiva 3142 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞))
92 dmmptg 6241 . . . . . . 7 (∀𝑎 ∈ 𝔅 (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) ∈ (0[,]+∞) → dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅)
9391, 92syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑎 ∈ 𝔅 ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎))) = 𝔅)
9490, 93eqtrd 2768 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐷 = 𝔅)
9594fveq2d 6896 . . . 4 (𝜑 → (measures‘dom 𝐷) = (measures‘𝔅))
9689, 95eleqtrrd 2832 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
97 measbasedom 33816 . . 3 (𝐷 ran measures ↔ 𝐷 ∈ (measures‘dom 𝐷))
9896, 97sylibr 233 . 2 (𝜑𝐷 ran measures)
9994unieqd 4917 . . . . 5 (𝜑 dom 𝐷 = 𝔅)
100 unibrsiga 33800 . . . . 5 𝔅 = ℝ
10199, 100eqtrdi 2784 . . . 4 (𝜑 dom 𝐷 = ℝ)
102101fveq2d 6896 . . 3 (𝜑 → (𝐷 dom 𝐷) = (𝐷‘ℝ))
103 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 = ℝ) → 𝑎 = ℝ)
104103oveq2d 7431 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋RV/𝑐 E ℝ))
105 baselsiga 33729 . . . . . . . . . 10 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → ℝ ∈ 𝔅)
10620, 105mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ 𝔅)
1072, 4, 106orvcelval 34083 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐 E ℝ) = (𝑋 “ ℝ))
108107adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E ℝ) = (𝑋 “ ℝ))
109104, 108eqtrd 2768 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑋RV/𝑐 E 𝑎) = (𝑋 “ ℝ))
110109fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)))
111 fimacnv 6740 . . . . . . . . 9 (𝑋: dom 𝑃⟶ℝ → (𝑋 “ ℝ) = dom 𝑃)
11236, 111syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 “ ℝ) = dom 𝑃)
113112fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = (𝑃 dom 𝑃))
114 probtot 34027 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
1152, 114syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
116113, 115eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = 1)
117116adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋 “ ℝ)) = 1)
118110, 117eqtrd 2768 . . . 4 ((𝜑𝑎 = ℝ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐 E 𝑎)) = 1)
119 1red 11240 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1201, 118, 106, 119fvmptd 7007 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘ℝ) = 1)
121102, 120eqtrd 2768 . 2 (𝜑 → (𝐷 dom 𝐷) = 1)
122 elprob 34024 . 2 (𝐷 ∈ Prob ↔ (𝐷 ran measures ∧ (𝐷 dom 𝐷) = 1))
12398, 121, 122sylanbrc 582 1 (𝜑𝐷 ∈ Prob)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  c0 4319  𝒫 cpw 4599   cuni 4904   ciun 4992  Disj wdisj 5108   class class class wbr 5143  cmpt 5226   E cep 5576  ccnv 5672  dom cdm 5673  ran crn 5674  cima 5676  Fun wfun 6537  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  ωcom 7865  cdom 8956  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134  +∞cpnf 11270  *cxr 11272  cle 11274  [,]cicc 13354  Σ*cesum 33641  sigAlgebracsiga 33722  𝔅cbrsiga 33795  measurescmeas 33809  Probcprb 34022  rRndVarcrrv 34055  RV/𝑐corvc 34070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-ac2 10481  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-ac 10134  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-ordt 17477  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-ps 18552  df-tsr 18553  df-plusf 18593  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-abv 20691  df-lmod 20739  df-scaf 20740  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-haus 23213  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-tmd 23970  df-tgp 23971  df-tsms 24025  df-trg 24058  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-nm 24485  df-ngp 24486  df-nrg 24488  df-nlm 24489  df-ii 24791  df-cncf 24792  df-limc 25789  df-dv 25790  df-log 26484  df-esum 33642  df-siga 33723  df-sigagen 33753  df-brsiga 33796  df-meas 33810  df-mbfm 33864  df-prob 34023  df-rrv 34056  df-orvc 34071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator