Theorem cndprobnul 34450

Description: The conditional probability given empty event is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cndprobnul	⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨∅, 𝐴⟩) = 0)

Proof of Theorem cndprobnul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → 𝑃 ∈ Prob)
2		nuleldmp 34430	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → ∅ ∈ dom 𝑃)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ∅ ∈ dom 𝑃)
4		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ dom 𝑃)
5		cndprobval 34446	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ ∅ ∈ dom 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → ((cprob‘𝑃)‘⟨∅, 𝐴⟩) = ((𝑃‘(∅ ∩ 𝐴)) / (𝑃‘𝐴)))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨∅, 𝐴⟩) = ((𝑃‘(∅ ∩ 𝐴)) / (𝑃‘𝐴)))
7		0in 4344	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ 𝐴) = ∅
8	7	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (𝑃‘(∅ ∩ 𝐴)) = (𝑃‘∅)
9	8	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘(∅ ∩ 𝐴)) / (𝑃‘𝐴)) = ((𝑃‘∅) / (𝑃‘𝐴))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑃‘(∅ ∩ 𝐴)) / (𝑃‘𝐴)) = ((𝑃‘∅) / (𝑃‘𝐴)))
11		probnul 34427	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → (𝑃‘∅) = 0)
12	1, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (𝑃‘∅) = 0)
13	12	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑃‘∅) / (𝑃‘𝐴)) = (0 / (𝑃‘𝐴)))
14		prob01 34426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))
15	14	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1))
16		elunitcn 13368	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝐴) ∈ (0[,]1) → (𝑃‘𝐴) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (𝑃‘𝐴) ∈ ℂ)
18		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (𝑃‘𝐴) ≠ 0)
19	17, 18	div0d 11896	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → (0 / (𝑃‘𝐴)) = 0)
20	10, 13, 19	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((𝑃‘(∅ ∩ 𝐴)) / (𝑃‘𝐴)) = 0)
21	6, 20	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑃 ∧ (𝑃‘𝐴) ≠ 0) → ((cprob‘𝑃)‘⟨∅, 𝐴⟩) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∩ cin 3896  ∅c0 4280  ⟨cop 4579  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   / cdiv 11774  [,]cicc 13248  Probcprb 34420  cprobccprob 34444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-ordt 17405  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-plusf 18547  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-abv 20724  df-lmod 20795  df-scaf 20796  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-tmd 23987  df-tgp 23988  df-tsms 24042  df-trg 24075  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-nm 24497  df-ngp 24498  df-nrg 24500  df-nlm 24501  df-ii 24797  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492  df-esum 34041  df-siga 34122  df-meas 34209  df-prob 34421  df-cndprob 34445

This theorem is referenced by: (None)